高一数学(下学期)期末复习试卷及参考答案

x
y O
3
2π- 2 3
4π
－4
高一数学期末复习试卷
第I 卷（选择题）
一、选择题
1．已知|a |=1，|b |=2，c =a +b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
2．已知︱OA ︱=1，︱OB ︱=3,OB OA ∙=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设
OC =m OA +n OB (m 、n ∈R )，则
n
m
等于（ ） A ．
3
1
B ．3
C ．33
D ．3
3．将函数sin()3
y x =-π
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
，再将所得图像向左平移
3π
个单位，则所得函数图像对应的解析式为（ ）. A.1sin()26y x =-π B.1sin()23y x =-π
C.1sin 2
y x = D.sin(2)6y x =-π
4．已知函数sin()y A x B ωφ=++(0,0,||2
A ωφπ
>><)的周期为T ，在一个周期内的图
象如图所示，则正确的结论是（ ）. A.3,2A T ==π B.2,1=-=ωB
C.4,6T φπ=π=-
D.3,6
A φπ== 5．在等差数列{}n a 中，若4612a a +=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则9S =（ ） A ．48
B ．54
C ．60
D ．108 6．设函数的最小正周期为，且
，则( )
A 、在单调递减
B 、在单调递减
C 、在单调递增
D 、在单调递增
3,44
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
()f x 0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
()f x 3,44ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
()f x 0,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭
()f x ()()f x f x -=π()sin()cos()(0,)2
f x x x π
ωϕωϕωϕ=+++><
7．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )
A ．－12 B.1
2
C ．－1
D ．1
8．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列， ∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )
A ．1＋ 3
B ．3＋ 3 C.3＋3
3
D ．2＋3
9．设实数满足，则的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．在数列{}n a 中，12a =， 11
ln(1)n n a a n
+=++，则n a = ( )
A ．2ln n +
B ．2(1)ln n n +-
C ．2ln n n +
D ．1ln n n ++
第II 卷（非选择题）
二、填空题
11． 若,，且与的夹角为，则 .
12．已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),且a ±≠b ，那么b a +与b a -的夹角的大小是 。

13.若()b a P ,是直线4141+-
=x y 落在第一象限部分上的动点，则b a 1
1+的最小值为 14．设,x y 满足条件3
10x y y x y +≤⎧⎪
≤-⎨⎪≥⎩
，则22(1)x y w e ++=的最小值
15．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．
16．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b a ＋a
b
＝6cos C ，
则tan C tan A ＋tan C tan B
的值是________． 17.数列{}n a 的前n 项和为s n ，a 1=1，s n =3a n+1，则a n =
三、解答题（第18、22题15分、第19、20、21题14分)
1,44⎡⎤
⎢⎥⎣⎦510,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦22x y u xy +=x y 20
x 2y 50y 20
--≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
x,y 3a =2b =a b 0
60a b -=
18．已知)2sin 3,1(),1,2cos 1(a x N x M ++(,,x a a ∈∈R R 是常数），且ON OM y ⋅=（其中O 为坐标原点）.
（1）求y 关于x 的函数关系式)(x f y =； （2）求函数)(x f y =的单调区间；
（3）若[0,]2
x π
∈时，)(x f 的最大值为4，求a 的值.
19．已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边． （Ⅰ）若，求的值; （Ⅱ）若B c a cos =，且A c b sin =，试判断ABC ∆的形状．
20．设n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，且211
122
n n n S a a =
+- （*n N ∈）． C sin c b A 3,3
1
cos ==
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若2n n b =，设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .
21．某企业生产,A B 两种产品，每生产1吨产品所需的劳动力、煤、电消耗及利润如下表：
产品品种
劳动力（个） 煤（吨） 电（千瓦时） 利润（万元） A 产品
4 9 3 7 B 产品
5
4
10
12
因条件限制，该企业仅有劳动力200个，煤360吨，供电局最多供电300千瓦时，试问该企业生产,A B 两种产品各多少吨时能获得最大利润？并求最大利润．
22．已知二次函数2
()f x ax bx =+满足条件：①(0)(1)f f =；②()f x 的最小值为18
-
. （1）求函数()f x 的解析式；
（2）设数列{}n a 的前n 项积为n T ，且()
45f n n T ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，求数列{}n a 的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若5()n f a 是n b 与n a 的等差中项，试问数列{}n b 中第几项的值最
小? 求出这个最小值．
答案：一、1.C 2.D 3.A 4.C 5.B 6.A 7.D 8.C 9.B 10.A
二、11.10 12.2π 13.9 14.e 4
15.72 16.4 17.a n =⎪⎩⎪⎨⎧
=-2)3
4(31)11n n （
18.【解析】（1）数量积的坐标运算；（2）利用辅助角公式化简函数，由复合函数的单调性，解不等式； （3）先确定得到676
26
ππ
π
≤
+
≤x ，将26x π+看作t,研究函数y=sint 在766
t ππ
≤≤的
最值情况。

解：（1）a x x ON OM y +++=⋅=2sin 32cos 1， 所以a x x x f +++=12sin 32cos )(. （2）由（1）可得a x x f +++=1)6
2sin(2)(π
，
由2222
6
2k x k π
π
π
ππ-
<+
<+
， 解得()36
k x k k Z π
π
ππ-
<<+
∈；
由3222262k x k πππππ+<+<+， 解得2()63
k x k k Z ππ
ππ+<<+
∈， 所以()f x 的单调递增区间为[,]()3
6
k k k Z π
π
ππ-+
∈，
单调递减区间为2[,]()6
3
k k k Z π
π
ππ+
+
∈. （3）a x x f +++=1)6
2sin(2)(π
，因为2
0π
≤
≤x ， 所以
6
76
26
ππ
π
≤
+
≤x ， 当2
6
2π
π
=
+
x ，即6
π
=
x 时，)(x f 取最大值a +3，
所以43=+a ，即1=a .
19.【解析】出现余弦，应考
虑余弦定理，A c b sin =，等号两边均有边长，且次数相同，已考虑正弦定理，此题是正余弦定理的综合应用，属于简单题
（Ⅰ）由 故△ABC 是直角三角形，且.
（Ⅱ）
222222
cos 22a c b a c b a c B c ac a
+-+-==⋅=，∴，即；
.
,cos 23,31
cos 222222c b a A bc c b a c b A -=-+===得及.,cos 23,3
1
cos 222222c b a A bc c b a c b A -=-+===得及3
1
cos sin ,2===A C B 所以π222c a b =+090C ∠=
A
c
b sin
=，由正弦定理可得0
sin sin sin sin90sin sin
B C A A A
===，∴sin sin
B A
=，又,A B均为锐角，
∴A B
=．∴ABC
∆为等腰直角三角形．
20.【解析】考查数列中
,n n
a S之间的关系，1
1
,(1)
,(2)
n
n n
S n
a
S S n
-
=
⎧
=⎨
-≥
⎩
，可解得}
{
n
a的通项公式，由2
11
1
22
n n n
S a a
=+-得出2
111
11
1
22
n n n
S a a
---
=+-并做差，是关键；
()12n
n n n
c a b n
==+是差比数列，其和用错误相减法，
()
123
22324212n
n
T n
=⨯+⨯+⨯+++
()
2341
2223242212
n n
n
T n n+
=⨯+⨯+⨯++⋅++
相同次数对齐，注意最后一项的符号。

（Ⅰ）当1
n=时，2
1111
11
1
22
S a a a
==+-，解得
1
1
a=-（舍去），
1
2
a=．
当2
n≥时，由2
11
1
22
n n n
S a a
=+-得，2
111
11
1
22
n n n
S a a
---
=+-，
两式作差，得22
111
1111
2222
n n n n n n n
S S a a a a a
---
-==+--，
整理得22
11
1111
2222
n n n n
a a a a
--
---=，()
22
11
n n n n
a a a a
--
--+=，
()()()
111
n n n n n n
a a a a a a
---
+--+=，()()
11
10
n n n n
a a a a
--
+--=，
数列{}n a为正项数列，10
n n
a a
-
+>，
∴
1
10
n n
a a
-
--=，即
1
1
n n
a a
-
-=，数列{}n a是公差为1的等差数列，
∴()()
1
1211
n
a a n d n n
=+-=+-=+．
（Ⅱ）()12n
n n n
c a b n
==+，
∴()
123
22324212n
n
T n
=⨯+⨯+⨯+++，①
()
2341
2223242212
n n
n
T n n+
=⨯+⨯+⨯++⋅++，②
()()
12311
22222122
n n n
n
T n n
++
-=⨯++++-+=-⋅，
∴1
2n
n
T n+
=⋅
21．【解析】本试题主要是考查了线性规划问题中最优解的求解和运用。

解:设生产A x 吨生产B y 吨。

1分
由题意：⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0030010336049200
54y x y x y x y x ，目标函数y x z 127+=，上。

5分
述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域。

作直线
0127:0=+y x l ，并作平行于直线0l 的一组直线，与可行域相交，其中有一条直线经过
可行域上的点M ，且与直线0127=+y x 的距离最大，其中M 点是直线2004=+y x 和直线300103=+y x 的交点，………………………………………………………………8分 图（略）。

10分 解方程组⎩⎨
⎧=+=+300
103200
54y x y x 得24,20==y x ，此时4282412207=⨯+⨯=z （万元），
当24,20==y x 时，z 最得最大值。

14分
答：该企业生产A 产品20吨，B 产品24吨时能获得最大利润428万元。

12分 22.解：（1）∵f(0)=f(1) 所以a+b=0
又∵错误！未找到引用源。

， 所以错误！未找到引用源。

解得:a=错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

所以错误！
未找到引用源。

……………………4分 （2）当n=1时错误！未找到引用源。

当错误！未找到引用源。

时错误！未找到引用源。

(7)
分
经验证n=1时也成立 所以错误！未找到引用
源。

………………………9分
（3）由题知错误！未找到引用源。

代入可得：错误！未找到引用源。

……………………11分
设t=错误！未找到引用源。

则错误！未找到引用源。

对称轴为t=错误！未找
到引用源。

又错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

离对称轴最近
所以n=3时最小，且最小值为错误！未找到引用
源。

…………………15分。