24.2.2垂径分弦

已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，，AB=6cm，CD=8cm ，⊙O的半径为5cm， （1）请根据题意画出符合条件的图形
（2）求出AB、与CD间的距离。
A
B
O
C
D
（1）
A C
B
D O
（2）
学生练习
B
已知：AB是⊙O直径，CD
O.
是弦，AE⊥CD，BF⊥CD
求证：EC＝DF
A
EC
DF
M
C
D
A
AM⌒ －CM⌒
＝
⌒
BM
－D⌒M
∴AC⌒＝BD⌒ 圆的两条平行弦所夹的弧相等
如何找圆心？
• 当未知一个圆或一条弧的圆心时，如何把它找出 来？
试一试P93 12
挑战自我填一填
• 1、判断：
• ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对
的两条弧.
（）
• ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所
对的另一条弧.
想一想 判断下列说法的正误：
(1)弦是直径； (2)半圆是弧； (3)过圆心的直线是直径； (4)半圆是最长的弧； (5)直径是最长的弦；
?
不借助任何工具，你能找到一张圆形纸片 的圆心吗?
由此你能得到圆的什么特性？
你能证明圆是轴对称图形吗？
?
C
在⊙O上，你能找到
关于直线CD的一对对称
点A、B吗？
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
2
C2
又 ∵AC=AB，
∴ AE=AD. ∴ 四边形ADOE为正方形.
E
·O
A

B
例题2
例2 已知：如图，在以
O为圆心的两个同心圆中，
大圆的弦AB交小圆于C，
D两点。
A
O.
E┐
C
D
B
求证：AC＝BD。
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
定理：
弦的垂直平分线经过圆心， 并且平分弦所对的两条弧。
C
A M└
B
●O
D
如图 ∵ AM=BM, CD⊥AB,
∴ CD经过圆心是直径,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D=B⌒D.
课堂小结
1、本节课我们学习了……; 2、回顾本节课的学习历程，
我们是怎样探究垂径分弦的定理的？
A⌒M－C⌒M＝BM⌒－DM⌒
∴AC⌒＝BD⌒
试一试P93 11
挑战自我画一画
驶向胜利 的彼岸
• 如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过 点M.并且AM=BM.
●M ●O
2、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是 直线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等 腰三角形。
O
E
B
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
小结:
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心 作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结 半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件 。
C
O
A
A
E
B
A
O
D
B
D
B
O
D
C
A
A
O
C
B
C
C
B
D
O
D
探究规律
根据垂径定理与推论：对于一个圆和一条 直线来说，如果具备：
① 经过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对的优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
那么，由五个条件中的任何两个条件 是否都可以推出其他三个结论？
课堂讨论
① CD是直径
,④A⌒C=B⌒C,
②⑤AC⌒DD=⊥B⌒DA.B, ③ AM=BM,
解决求赵州桥拱半径的问题：
AB
如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R．
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C.根据前面 的结论可知，D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高．
在图中 AB=37.4 m，CD=7.2 m，
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
.C O E
A
B
D
条件 结论
命题
①④ ②③⑤
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ②⑤ ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
2
2
OD=OC－CD=R－7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
C
OA2=AD2+OD2
即
R2=18.72+（R－7.2）2
解得R≈27.9.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m.
D
A
B
R
O
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到弦AB的距离为
3 cm，求⊙O的半径．
解： OE AB
• 不经历风雨，怎么见彩虹 • 没有人能随随便便成功!
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
A
E
B
AE 1 AB 1 8 4 22
O·
在Rt△AOE中，
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5 cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方 形． 证明： OE AC OD AB AB AC
CA
BD
3、如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD 与大圆的弦AB在同一条直线上。你认为AC与BD 的大小有什么关系？为什么？
O
A C G DB
随堂练习P92 10
挑战自我垂径定理的推论
驶向胜利 的彼岸
• 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?
• 老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:
（）
• ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ）
• ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.
• ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
• 2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
B
.
M
E
图中相等的劣弧有:
D
A
.
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD
例题3
C
A 例3 已知：⊙O中
弦AB∥CD。
求证：A⌒C＝B⌒D
M
D B
.O
证明：作直径MN⊥AB。
N
∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM， CM＝DM（垂直平⌒分弦⌒的直径⌒平分弦⌒
所对的弦）
AB”．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧， 每一条弧都叫做半圆．
B
O·
A
C
劣弧与优弧
小于半圆的弧叫做劣弧. （如图中的A⌒C）
大于半圆的弧叫做优弧. (用三个字母表示,如图中的A⌒BC)
B
O·
A
C
等圆与等弧
能够重合的两个圆叫做等圆， 等圆的半径相等。
在同圆或等圆中， 能够互相重合的弧叫等弧。
OF
C
N
• 3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为 弧AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ， CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
C
A
D
B
O
• 4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A
H
MG
D
BE
0·N
F
C
思考题：
D
M
C
D
M
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
讲解
M
如果圆的两条弦互相平 C 行，那么这两条弦所夹 A
的弧相等吗？
已知：⊙O中弦 AB∥CD。
D B
.O
求证：A⌒C＝B⌒D
N
证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD， ∴MN⊥CD。则AM＝⌒BM，⌒CM＝D⌒M（垂⌒直 平分弦的直径平分弦所对的弦）
O
A
E
B 由此，我们能发现
D 垂直于弦的直径有什么特殊的性质？
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB。 求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。 C
O
A
E
B
D
垂径定理三种语言
• 定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
C
A M└ ●O
D
如图∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
与圆有关的概念
弦 连接圆上任意两点的线段（如图AC）
叫做弦，
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
注意:
B
1、弦和直径都是线段。
2、直径是弦,是经过圆心的特殊
O·
弦，是圆中最长的弦，但弦不一
定是直径。
A
C
弧
圆 为上端任点意 的两 弧点 记间作的A⌒部B 分，叫读做作圆“弧圆弧，简AB称”或弧“．弧以A、B
1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
A
●O
B
C
D
C
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
B ●O
D
垂径定理的推论
• 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?
• 老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
A
B
●O
C
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D=B⌒D.
我们是否还可以得到结论：
平分弦的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧．
C
C
B
O A
D
·O
E
A
B
D
定理：
平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦，并且平分弦所对的两条弧．
如图∵ CD是直径,
C
AM=BM,
A M└
B
●O
∴ CD⊥AB,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D=B⌒D.