2020年福建省厦门市高考数学模拟试卷(文科)(一)(3月份)(含答案解析)

2020年福建省厦门市高考数学模拟试卷(文科)(一)(3月份)
一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合A ={−1,0，1，2，3，4}，B ={y|y =x 2,x ∈A}，则A ∩B =( )
A. {0,1，2}
B. {0,1，4}
C. {−1,0，1，2}
D. {−1,0，1，4}
2. 椭圆3x 2+2y 2=1的焦点坐标是( )
A. (0,−√66)、(0,√6
6
)
B. (0,−1)、(0,1)
C. (−1,0)、(1,0)
D. (−√66,0)、(√6
6
,0) 3. 在等差数列{a n }中，a 7=8，前7项和S 7=42，则其公差是( )
A. −1
3
B. −2
3
C. 1
3
D. 2
3
4. 如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定
理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影).设直角三角形有一内角为30
∘
，若向弦图内随机抛掷1000颗米粒(大小忽略不计
)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )
A. 134
B. 866
C. 300
D. 500
5. 已知tanα=1
3，则tan2α=( )
A. −4
3
B. 4
3
C. −3
4
D. 3
4
6. 已知直线l ⊥平面α，直线m//平面β，则下列命题正确的是( )
A. 若α⊥β，则l//m
B. 若l ⊥m ，则α//β
C. 若l//β，则m ⊥α
D. 若α//β，则l ⊥m
7. 在边长为4的菱形ABCD 中，∠BAD =60°，E 为CD 的中点，则AE
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 4 B. 8
C. −6
D. −4
8. 已知数列{a n }满足a 1=2
3，且对任意的正整数m ，n ，都有a m+n =a m ⋅a n ，则{a n }前n 项和S n 等
于( )
A. 2−(2
3)n−1
B. 2−(2
3)n
C. 2−2n
3n+1
D. 2−2n+1
3n
9. 3、已知
，则
等于( )
A.
B.
C.
D.
10.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E=
B1F，有下面四个结论：
①EF⊥AA1；②EF//AC；③EF与AC异面；④EF//平面ABCD.其中一定正确的有()
A. ①②
B. ②③
C. ②④
D. ①④
11.已知双曲线C：x2
a −y2
b
=1的左，右焦点分别为F1，F2，A，B是双曲线C上的两点，且AF1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F
1
B
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，
cos∠AF2B=3
5
，则该双曲线的离心率为()
A. √10
B. √10
2C. √5
2
D. √5
12.函数f(x)=x−e x(x∈R)的最大值为()
A. 1
B. −1
C. e−1
D. 1−e
二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）
13.i是虚数单位，复数6+7i
1+2i
=______．
14.设实数x，y满足约束条件{3x+y≥5
x−4y≥−7
4x−3y≤11
，则z=x+2y的最大值为______．
15.数列{a n}中，若a n+a n+1=7n+5，n∈N∗，则a1+a100=______ ．
三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）
16.若函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[−π
6,π
4
]上单调递增，则ω的最大值为(1)，f(x)的值域
为(2)．
四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+√2b
c =cosA
cos(A+B)
．
(1)求角C的大小；
(2)若点D为边AB上的点，且BC⊥CD，△ACD面积是△BCD面积的3倍，c=20，求a，b的值．
18.如图，已知AB⊥BC，BE//CD，∠DCB=90°，平面BCDE⊥平面
ABC，CD=4，AB=BC=BE=2，F为AD中点．
(1)证明：EF//平面ABC；
(2)求三棱锥D−BCF的体积．
19.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布
直方图(如图)
(1)根据频率分布直方图完成以上表格；
(2)用组中值估计这10 000人月收入的平均值；
(3)为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2000,3500)(元)月收入段应抽出多少人？
20.平面内动点P(x,y)与两定点A(−2,0)，B(2,0)连线的斜率之积等于−1/3，若点P的轨迹为曲线E，
过点Q(−1,0)作斜率不为零的直线CD交曲线E于点C，D．(1)求曲线E的方程；(2)求证：AC⊥AD；
21.已知函数f(x)=e x
−x2．
e
(1)证明：函数f(x)有两个极值点x1，x2；
(2)若g(x)=f(x)+ax为增函数，求实数a的取值范围．
22.在平面直角坐标系xOy中，C1的参数方程为为参数，0≤α<π)，以坐标
)．原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，C2的极坐标方程为ρ=2√2cos(θ−π
4 (Ⅰ)求C2的直角坐标方程，并指出其图形的形状；
(Ⅱ)C1与C2相交于不同两点A，B，线段AB中点为M，点N(0,−1)，若|MN|=2，求C1参数方程中sinα的值．
23.已知函数f(x)=|x−2|．
(1)求不等式f(x)−|x|<1的解集；
(2)设g(x)=|x+1|，若∀x∈R，f(x)+g(x)≥a2−2a恒成立，求a的取值范围．
【答案与解析】1.答案：B
解析：
本题考查集合的交集运算，属于基础题．
先求出集合B，由此能求出交集A∩B.
解：由题意得到B={y|y=x2,x∈A}={1,0,4,9,16}，
所以A∩B={0,1，4}；
故选B．
2.答案：A
解析：解：∵椭圆的方程为3x2+2y2=1，
∴其标准方程为：y 2
1 2+x21
3
=1，
∴其焦点在y轴上，且c2=1
2−1
3
=1
6
，
∴c=√6
6
，
∴其焦点坐标为(0,−√6
6)、(0,√6
6
).
故选A．
利用椭圆的标准方程即可求得其焦点坐标．
本题考查椭圆的简单性质，将椭圆的方程3x2+2y2=1转化为标准方程是关键，属于基础题．3.答案：D
解析：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，
由a7=8，S7=42，得
{a1+6d=8
7a1+7×6
2
d=42，解得：{
a1=4
d=2
3
．
故选：D．
直接由已知结合等差数列的通项公式和前n项和列式求得公差．
本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．
4.答案：A
解析：
本题考查概率的求法，考查几何概型概率计算公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
设大正方形的边长为2x，则小正方形的边长为√3x−x，由此利用几何概型概率计算公式能求出向弦图内随机抛掷1000颗米粒(大小忽略不计)，落在小正方形(阴影)内的米粒数个数．
解：设大正方形的边长为2x，则小正方形的边长为√3x−x，
向弦图内随机抛掷1000颗米粒(大小忽略不计)，
设落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为a，
则a
1000=(√3x−x)2
(2x)2
，
解得a=1000(4−2√3
4
)≈134．故选：A．
5.答案：D
解析：解：由tan2α=2tanα
1−tan2α=2×
1
3
1−1
9
=3
4
．
故选：D．
根据正切的二倍角公式求解即可．
本题主要考察了正切的二倍角公式的应用，属于基本知识的考查．
6.答案：D
解析：
本题考查的知识点是空间平面与平面关系的判定及直线与直线关系的判定，熟练掌握空间线面关系的几何特征是解答本题的关键．A中l与m位置不确定，B中α与β可能相交，C中m与α的位置不确定，D正确．
解：对于A，若α⊥β，直线l⊥平面α，直线m//平面β，则l与m可能平行、可能相交也可能异面，故A不正确；
对于B，若l⊥m，直线l⊥平面α，直线m//平面β，则α与β可能平行也可能相交，故B不正确；
对于C，m与α的位置不确定，故C不正确；
对于D ，若α//β，直线l ⊥平面α，则直线l ⊥平面β，又∵直线m//平面β，则l ⊥m ，故D 正确． 故选D ．
7.答案：A
解析：解：如图，
根据条件：∠ADC =120°，|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4；
且AE ⃗⃗⃗⃗⃗
=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )； ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(−DA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )
=DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12
DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2
=16−4−8
=4． 故选：A ．
可画出图形，根据条件可得到∠ADC =120°，|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，并可得到AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−DA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，这样代入AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 进行数量积的运算即可求出该数量积的值． 考查菱形的概念，向量加法的平行四边形法则，向量加法的几何意义，以及相反向量的概念，向量数量积的运算及计算公式．
8.答案：D
解析：解：∵a m+n =a m a n 对任意的m ，n 都成立，
∴a n =a n−1a 1=a n−2a 12
=⋯=a 1n =(2
3)n
故数列{a n }以23为首项，2
3为公比的等比数列， 由等比数列的前n 项和公式可得S n =23(1−(2
3
)n )1−23
=2−
2n+13n
．
故选：D ．
由数列递推式得到a n =a n−1a 1=a n−2a 1
2
=⋯=a 1n =(23)n ，由此可得数列{a n }以23为首项，2
3为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得答案．
本题考查了数列递推式，考查了等比数列的和，是中档题．
9.答案：B
解析：lg12=lg4+lg3=2lg2+lg3=2a +b ．
10.答案：D
解析：解：如图所示．由于AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，EF ⊂平面A 1B 1C 1D 1，
则EF ⊥AA 1，所以①正确；
当E ，F 分别不是线段A 1B 1，B 1C 1的等比分点时，EF 与AC 异面，
所以②不正确；
当E ，F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1的中点时，EF//A 1C 1，又AC//A 1C 1，
则EF//AC ，所以③不正确；
由于平面A 1B 1C 1D 1//平面ABCD ，EF ⊂平面A 1B 1C 1D 1， 所以EF//平面ABCD ，所以④正确． 故选D ．
作出正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，利用正方体的结构特征，结合题设条件，能够作出正确判断． 本题考查命题的真假判断及其应用，解题时要认真审题，注意正方体的结构特征的灵活运用．
11.答案：B
解析：
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查离心率的计算能力．属于中档题．
设|F 1A|=3x ，|F 1B|=x ，在△ABF 2中，由余弦定理列方程可得△ABF 2是直角三角形，从而得出a ，b ，c 的关系，即可得该双曲线的离心率．
解：∵AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴A ，B 在F 的y 异侧，∴A ，B 在双曲线同一支上，
如图，
设|F1A|=3x，|F1B|=x，则|AB|=4x，|BF2|=2a+x，|AF2|=2a+3x，在△ABF2中，由余弦定理得：
(4x)2=(2a+x)2+(2a+3x)2−2(2a+x)(2a+3x)×3
，
5
解得x=a，∴AF2=5a，AB=4a，BF2=3a，
∴△ABF2是直角三角形，
．
在Rt△F1BF2中，a2+(3a)2=(2c)2，代入得10a2=4c2，即e2=5
2
．
则该双曲线的离心率为e=√10
2
故选：B．
12.答案：B
解析：
本题主要考查利用导数研究函数的单调性及求最值．
解：由题意解得，f′(x)=1−e x，
则函数f(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，
则f(x)max=f(0)=−1，
故选B．
13.答案：4−i
解析：
本题考查复数的运算，属于基础题． 解：6+7i 1+2i =(6+7i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=
20−5i 5=4−i ．
故答案为4−i ． 14.答案：11
解析：解：作出约束条件表示的可行域如图，
化目标函数z =x +2y 为y =−x 2+z
2，
联立{x −4y =−74x −3y =11
，解得A(5,3)， 由图可知，当直线z =x +2y 过点(5,3)时，z 取得最大值11．
故答案为：11．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是中档题． 15.答案：355
解析：解：∵a n +a n+1=7n +5，n ∈N ∗，
∴a 1+a 100=(a 1+a 2)−(a 2+a 3)+(a 3+a 4)−⋯+(a 99+a 100)=12+7×49=355．
故答案为：355．
本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，利用a1+a100=(a1+a2)−(a2+a3)+(a3+a4)−⋯+(a99+a100)是关键．
16.答案：2
[−2,2]
解析：
本题主要考查三角函数单调性和值域的求解，利用三角函数的周期公式以及三角函数单调性的性质是解决本题的关键．根据三角函数的单调性的性质求出ω的值，结合三角函数的值域和单调性的关系进行求解即可．
解：∵ω>0，
∴函数的周期T=2π
ω，则函数在[−T
4
,T
4
]上是增函数，
若f(x)在区间[−π
6 , π
4
]上单调递增，
则π
4≤T
4
，即T≥π，即2π
ω
≥π，则ω≤2，
则ω的最大值为2，
此时f(x)=2sin2x，则函数的最大值为2，最小值为−2，
即函数的值域为[−2,2]，
故答案为2 [−2,2]
17.答案：解：(1)由，则，可得，
由正弦定理可得，
整理得，
得，即，故，
由，，所以，
可得，
又，所以，
(2)已知，
得b=3√2a，
在ΔABC中，由余弦定理可得，
可得a2+18a2+6a2=400，
解得a=4,b=12√2．
解析：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，以及三角形面积公式，对正弦定理和余弦定理公式及其变形公式熟练记忆，是解决本题的关键．
(1)利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦整理可求得cos C的值，进而求得C.
(2)由△ACD面积是△BCD面积的3倍，可得b=3√2a，由余弦定理可得a2+18a2+6a2=400，求解可得结果．
18.答案：证明：(1)设AC中点为G，连FG，BG，
∵F为AD中点，∴FG//DC，FG=1
2
DC，
又由题意BE//CD，BE=1
2
CD，
∴EB//FG，且EB=FG，∴四边形BEFG为平行四边形，
∴EB//FG，又BG⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，
∴EF//平面ABC．
(2)∵平面BCDE所在平面垂直平面ABC，平面BCDE∩平面ABC=BC，
AB⊂平面ABC，AB⊥BC，∴AB⊥平面BCDE，
∵F为AD中点，
∴V D−BCF=V F−BCD=1
2V A−BCD=1
6
(1
2
BC⋅DC)AB=4
3
，
所以，三棱锥D−BCF的体积是4
3
．
解析：(1)设AC中点为G，连FG，BG，推导出四边形BEFG为平行四边形，从而EB//FG，由此能证明EF//平面ABC．
(2)V D−BCF=V F−BCD=1
2
V A−BCD，由此能求出三棱锥D−BCF的体积．
本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.答案：0.10；0.0002；0.20；0.25；0.0005；0.25；0.15；0.0003；0.05；1；0.002
解析：解：(1)由频率=小矩形的高×组距求得各组的频率，列表如下：
(2)平均值为1250×0.10+1750×0.20+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+3750×
0.05=2400(元)．
(3)分层抽样的抽取比例为100
10000=1
100
，
数据在[2000,3500)的频率为(0.25+0.25+0.15)=0.65，
∴总体中在[2000,3500)(元)月收入的人数为10000×0.65=6500，
∴应抽出的人数为6500×1
100
=65人．
(1)根据频率分布直方图中频率=小矩形的高×组距完成频率分布表；
(2)数据的平均数为各个小矩形底边中点的横坐标乘以对应小矩形面积的和，由此计算可得；
(3)求得分层抽样的抽取比例，利用频数=样本容量×频率求得总体中在[2000,3500)(元)月收入的人数，抽取的人数=抽取比例×频数．
本题考查了频率分布直方图，频率分布表及分层抽样方法，在频率分布直方图中频率=小矩形的高×
组距=频数
样本容量
．
20.答案：(1)解：设动点P 坐标为(x,y)，当x ≠±2时，由条件得：y x−2⋅y x+2=−13，
化简得x 24+3y 24=1，
故曲线E 的方程为：x 24+3y 24=1(x ≠±2)；
(2)证明：CD 斜率不为0，所以可设CD 方程为my =x +1，与椭圆联立得：(m 2+3)y 2−2my −3=0， 设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，所以y 1+y 2=2m m 2+3，y 1y 2=−3
m 2+3，
(x 1+2,y 1)⋅(x 2+2,y 2)=(m 2+1)y 1y 2+m(y 1+y 2)+1
=(m 2+1)(−3m 2+3)+m ⋅2m m 2+3+1=0，
所以AC ⊥AD ．
解析：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
(1)设动点P 坐标为(x,y)，当x ≠±2时，由条件得：y x−2⋅y x+2=−13，化简得曲线E 的方程；
(2)设CD 方程与椭圆联立，利用数量积为0，证明AC ⊥AD ． 21.答案：(1)证明：f′(x)=e x−1−2x ．
设f′(x)=p(x)=e x−1−2x ，则p′(x)=e x−1−2，p′(x)=0，得x 0=1+ln2．
又函数p′(x)是单调增函数，所以x ∈(−∞,x 0)时，p′(x)<0；x ∈(x 0,+∞)时，p′(x)>0， 所以f′(x)在(−∞,x 0)上单调递减，在(x 0,+∞)上单调递增．
所以f′(x)≥f′(x 0)=−2ln2<0，
f′(0)=1e >0,f′(4)=e 3−8>0，
由零点存在性定理，得f′(x)=0存在两个根x 1，x 2且0<x 1<x 0,x 0<x 2<4，
列表，
所以函数f(x)有两个极值点x 1，x 2．
(2)解：g(x)=e x−1−x 2+ax ，
则g′(x)=e x−1−2x +a.因为函数g(x)为增函数，所以g′(x)≥0恒成立．
即e x−1−2x+a≥0，所以a≥2x−e x−1．
设ℎ(x)=2x−e x−1，则ℎ′(x)=2−e x−1，
由ℎ′(x)=0，得x=1+ln2，
当x<1+ln2时，ℎ′(x)>0，当x>1+ln2时，ℎ′(x)<0，
所以1+ln2为函数ℎ(x)的极大值点，
所以ℎ(x)≤ℎ(1+ln2)=2ln2．
所以a≥2ln2．
解析：本题主要考查利用导数研究函数的极值、单调性，属于中档题．
(1)先求出函数的导数f′(x)，然后根据导函数的单调性与零点存在性定理证明出结论．
(2)根据函数g(x)为增函数，转化为g′(x)≥0恒成立，利用分离参数法求解．
)，即，
22.答案：解：(Ⅰ)由C2的极坐标方程ρ=2√2cos(θ−π
4
ρ2=x2+y2，，，
曲线C2直角坐标方程为：(x−1)2+(y−1)2=2．
该曲线表示以(1,1)为圆心，√2为半径的圆．
(Ⅱ)将C1的参数方程为为参数，0≤α<π)，
代入(x−1)2+(y−1)2=2，整理得：t2−(2cosα+4sinα)t+3=0，
设t1和t2为A、B在直线l上对应的参数，
t1+t2=2cosα+4sinα，
|=2，
由于|MN|=2，则：|t1+t2
2
得：cosα+2sinα=2，
所以：1−sin2α=4(1−sinα)2，
，或sinα=1．
解得：sinα=3
5
解析：本题考查参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用，是中档题．
(Ⅰ)利用互化公式将曲线C2的极坐标方程转化为直角坐标方程即可．
(Ⅱ)将直线的参数方程与圆的直角坐标方程联立，利用根与系数的关系，即可求出结果．
23.答案：解：(1)不等式f(x)−|x|<1，
即为|x −2|−|x|<1，
当x >2时，x −2−x <1，即x >2；
当x <0时，2−x +x <1，即x ∈⌀；
当0≤x ≤2时，2−x −x <1，解得x >12，即有12<x ≤2，
综上可得不等式的解集为(12,+∞)；
(2)∀x ∈R ，f(x)+g(x)≥a 2−2a 恒成立，
即为|x −2|+|x +1|≥a 2−2a 恒成立，
由|x −2|+|x +1|≥|x −2−x −1|=3，当且仅当−1≤x ≤2时，取得最小值3，
可得a 2−2a ≤3，
解得−1≤a ≤3．
解析：(1)由题意可得|x −2|−|x|<1，讨论x 的范围，去绝对值，解不等式，求并集即可得到所求解集；
(2)由题意可得|x −2|+|x +1|≥a 2−2a 恒成立，运用绝对值不等式的性质可得不等式左边的最小值，解a 的不等式，即可得到所求范围．
本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质：求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中档题．。