人教版数学九年级下册《 三边成比例的两个三角形相似》PPT课件

BC 6 1 , BC 18 3
∴
AB AB
BC BC
AC A' C'
.
∴ △ABC∽△ A′B′C′. ＇
探究新知 方法点拨
判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个 三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是 否相等，计算时最大边与最大边对应，最短边与最短边 对应.
巩固练习
在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝6；DE ＝2.4，EF＝1.2，FD＝1.6，那么这两个三角形能否相似 的结论是_____相_，似理由是____三__组__对__应__边__的__比_．相等 如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的 是（ C ）
A
成比例
A′
B
C B′
C′
A'B' B'C' A'C' AB BC AC
是否有△ABC∽△A′B′C′？
探究新知 A
A′
B′
C′
B
C
通过测量不难发现∠A=∠A′，∠B=∠B′， ∠C=∠C′，又因为两个三角形的边对应成比例， 所以 △ABC ∽△A′B′C′. 下面我们用前面所学的定 理证明该结论.
探究新知
考点 1 利用三边成比例判断三角形相似
已知AB=4 cm，BC=6 cm ，AC=8 cm， A′B′ =12 cm ， B′C′=18 cm ， A′C′=24 cm ，试说明△ABC∽△ A′B′C′.
解：∵ AB 4 1 , AC 8 1 ,
AB 12 3 A'C' 24 3
能力提升题
要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长
分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两条边 长应当是多少？你有几个答案？
解：设另外两条边长分别为x , y
方案(1)
k1
2 4
1 2
,
x 1,x 5, 52 2
y 1 , y 3; 62
方案(2)
2 k2 5 ,
例 2 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
C
3
3.5
4
A
B
2.4 D
E
1.8
2.1 F
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA；
在 △DEF 中，DE > EF > FD.
∵ DE 2.4 0.6，EF 2.1 0.6，FD 1.8 0.6，
AB 4
BC 3.5
CA 3
∴
符号语言：
∵
AB AB
BC BC
CA C A ，
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
探究新知
【讨论】在用三边的比判定两个三角形相似时，如何寻 找对应边？
【总结】利用三边的比判定两个三角形相似时，应先 将两个三角形的三边按大小顺序排列，然后分别计算 它们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三 角形是否相似．
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △ DEF中， DE > EF > FD.
∵
DE AB
2.4 4
0.6
EF ，BC
2.1 3.5
0.6
FD ，CA
1.8 3
0.6
，
∴
DE AB
EF BC
FD CA
.
∴ △DEF ∽ △ABC.
2.4 D
C
E
1.8
3
3.5
2.1 F
A
4
B
课堂检测
巩固练习
如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA
的中点，求证：△ABC∽△EFD．
证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，
CA的中点，
∴
DE
1 2
AC，DF
1 2
BC，EF
=
1 2
AB，
∴
DE AC
DF BC
=
EF AB
=
1， 2
∴ △ABC∽△EFD.
探究新知
考点 3 利用三角形相似说明角相等
AB AC 2
【分析】要运用三边成比例判断相似，
而题目只给出 2 组边成比例和 90° 的 角，那么可以通过“勾股定理”得到
第三组边的比，进而求解. 证明：由已知条件得 AB = 2A′B′，AC = 2A′C′， ∴ BC2 = AB2－AC2 = (2A′B′)2－(2A′C′)2 = 4A′B′2－4A′C′2 = 4(A′B′2－A′C′2) = 4B′C′2 = (2B′C′)2.
符号语言： ∵ AB BC AC ，
AB BC AC ∴ △ABC∽△A′B′C′.
典例精析
例 1 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，
并说明理由：
AB = 4 cm ，BC = 6 cm ，AC = 8 cm；
A′B′ = 12 cm ，B′C′ = 18 cm ，A′C′ = 24 cm.
探究新知
已知:如图，在△ABC和△A′B′C′中，A′B′:AB=A′C′:AC=B′C′:BC.
求证:△ABC∽△A′B′C′.
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC .
B′ A
∵AD=A′B′, ∴AD:AB=A′B′:AB.
AB BC AC
D
E
又
AB A' B'
BC B' C'
AC A' C'
，A′D
=
AB，
B′
∴ DE BC ， AE AC .
A
BC BC AC AC
∴ DE = BC，A′E = AC.
B
C′ C
∴ △A′DE≌△ABC. ∴△ABC∽△A′B′C′.
归纳： 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似．
解：相似. 理由如下：
∵ AB 4 1， BC = 6 1， AC = 8 1，
AB 12 3 BC 18 3 AC 24 3
∴ AB BC = AC .
AB BC AC
∴ △ABC∽△A′B′C′.
练一练 已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断它们
是否相似. (1) AB ＝ 3， BC ＝ 4， AC＝ 6， 否 DE ＝ 6， EF ＝ 8， DF ＝ 9； (2) AB ＝ 4， BC ＝ 8， AC ＝10， 是 DE ＝ 20， EF ＝ 16， DF ＝ 8.
DE
EF
FD
.
∴ △ABC ∽ △DEF.
AB BC CA
方法总结：判定三角形相似的方法一：如果题中给出 了两个三角形的所有边长，可分别计算出三条对应边 的比值，看是否相等. 注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边 对应.
例 3 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，∠C =∠C′ = 90°，且 A' B' A' C' 1 . 求证：△A′B′C′∽△ABC.
说出你的理由.
解：公路 AB 与 CD 平行. ∵ AB AD = BD = 2， BD BC DC 3 ∴ △ABD∽△BDC，
28 A
14 B
D
31.5 21
42
C
∴∠ABD=∠BDC，∴AB∥DC.
课堂小结
三边 成比 例两 个三 角形 相似
利用三边判定两个三角形相似 相似三角形的判定定理的运用
=∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以
△ABC∽△A′B′C′. 下面我们用前面所学过的定理证
明该结论.
证明：在线段 A′B′ (或延长线) 上截取 A′D = AB，
过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.
Hale Waihona Puke A′∴ AD DE AE .
人教版 数学 九年级 下册
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定 (第2课时)
导入新知 学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应
角相等．对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的
简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）．类似地，判定两个三
角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？
第二十七章 相 似
27.2.1 相似三角形的判定
第2课时 三边成比例的两个三角形相似
复习引入
1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪 些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有
其缺点和局限性？
2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获得证明三
角形相似的启发吗？
A
3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法， D E 我们能不能通过三边来判定两个三
A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④
探究新知
考点 2 判断三角形相似
如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C ′ = 90°，
且
A' B' AB
A' C' AC
1 2
.求证：△
A′B′C′∽△ABC.
证明：由已知条件得 AB = 2 A′B′，AC = 2 A′C′，
∴ BC 2 = AB 2－AC 2 = ( 2 A′B′ )2－( 2 A′C′ )2 = 4 A′B′ 2－4 A′C′ 2
= 4 ( A′B′ 2－A′C′ 2 ) = 4 B′C′ 2 = ( 2 B′C′ )2.
∴
BC=2B′C′，BB'CC
'
1 2
A'B' AB
A'C ' . AC
∴ △ A′B′C′∽△ABC.
3. 如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论正确 的是（ C ） A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA
A
P
BC
D
课堂检测
4. 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
C
3
3.5
A
4
B
2.4 D
E
1.8
2.1 F
课堂检测
2.下列判断，不正确的是（ C）
A．两条直角边分别是3、4和6、8的两个直角三角形相似. B．斜边长和一条直角边长分别是2 5、 4和 5、2的两个直角三角形相似. C．两条边长分别是7、4和14、8的两个直角三角形相似. D．斜边长和一条直角边长分别是5、3和2.5、1.5的两个直角三角形相似.
课堂检测
角形相似呢？
B
C
合作探究
三边成比例的两个三角形相似
任意画一个 △ABC ，再画一个 △A′B′C′，使它的
各边长都是原来△ABC 的各边长的 k 倍，动手量一量
这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形
相似吗？
A′
A
B
C B′
C′
A′ A
B
C B′
C′
通过测量不难发现∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C
如何判断两个三角形是否相似?
1.定义法:对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似.
2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）
相交，所构成的三角形与原三角形相似.
还有没有其
A
D
E
他简单的判 断方法呢？
D
E
A ∵ DE∥BC
∴ △ ADE ∽ △ ABC
B
A型
CB
C
X型
探究新知
三边对应
又∵ A′B′:AB=B′C′:BC=C′A′:CA,
∴DE:BC=B′C′:BC,EA:CA=C′A′:CA.
D
因此DE=B′C′,EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′. ∴△A′B′C′∽△ABC.
B
A′ C′
E C
探究新知 归纳： 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似．
E
∴∠BAD=∠CAE.
B
D
C
故图中相等的角有∠BAC=∠DAE，
∠B=∠ADE，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE.
链接中考
如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部 分）与△ABC相似的是（ B ）
A．
B．
C．
D．
课堂检测
基础巩固题
1．下列各组三角形一定相似的是（ D）
A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形
x 2,x 8, 45 5
y 2 , y 12 ; 65 5
方案(3)
k3
2 6
1 3
,
x 1,x 4, 43 3
y 1,y 5. 53 3
课堂检测
拓广探索题
如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路， 已知 AB = 14 千米，
AD = 28 千米，BD = 21 千米， DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？
如图已知： AB BC AC .
AD DE AE
试说明∠BAD=∠CAE. A
解：∵ AB BC AC .
AD DE AE
∴ΔABC∽ΔADE.
∴∠BAC=∠DAE.
E
D
C
B
∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC
即∠BAD=∠CAE.
巩固练习
如图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出图中相等的角
(对顶角除外)，并说明你的理由.
解：相等的角有∠BAC=∠DAE， ∠B=∠ADE，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE. 理由如下：
在 △ABC 和 △ADE 中，∵ AB : AD = BC : DE = AC : AE，
∴△ABC∽△ADE，
A
∴∠BAC=∠DAE，∠B= ∠ADE ，∠C=∠E.
∴∠BAC－∠CAD =∠DAE－∠CAD ，
探究探究！
类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边 来判断两个三角形相似呢？
讨论一下？
学习目标
3. 培养学生探究交流能力，发展推理能力. 2. 会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似” 判定两个三角形相似，并能进行相关计算与推理.
1. 复习已经学过的三角形相似的判定定理 .
探究新知 知识点 1 三边对应成比例的两三角形相似