近世代数期末考试题库1

近世代数期末考试题库1
世代数模拟试题⼀
⼀、单项选择题(本⼤题共5⼩题，每⼩题3分，共15分)在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均⽆分。

1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，
则?是从A 到B 的（ c ） A 、满射⽽⾮单射 B 、单射⽽⾮满射
C 、⼀⼀映射
D 、既⾮单射也⾮满射
2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ d ）个元素。

A 、2
B 、5
C 、7
D 、10
3、在群G 中⽅程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（b ）乘法来说
A 、不是唯⼀
B 、唯⼀的
C 、不⼀定唯⼀的
D 、相同的(两⽅程解⼀样)
4、当G 为有限群，⼦群H 所含元的个数与任⼀左陪集aH 所含元的个数（c ）
A 、不相等
B 、0
C 、相等
D 、不⼀定相等。

5、n 阶有限群G 的⼦群H 的阶必须是n 的（d ）
A 、倍数
B 、次数
C 、约数
D 、指数
⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每空3分，共30分)请在每⼩题的空格中填上正确答案。

错填、不填均⽆分。

1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B -1,0,1,-2,2。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的单位元。

3、环的乘法⼀般不交换。

如果环R 的乘法交换，则称R 是⼀个交换环。

4、偶数环是整数环的⼦环。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成⼀个群，则这个群的单位元是1，元a 的逆元是a-1。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最⼤理想，那么---------。

9、⼀个除环的中⼼是⼀个-域-----。

三、解答题（本⼤题共3⼩题，每⼩题10分，共30分）
1、设置换σ和τ分别为：=6417352812345678σ，??
=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。

2、证明：任何⽅阵都可唯⼀地表⽰成⼀个对称矩阵与⼀个反对称矩阵之和。

奇1、解：把σ和τ写成不相杂轮换的乘积：
)8)(247)(1653(=σ )6)(57)(48)(123(=τ
可知σ为奇置换，τ为偶置换。

σ和τ可以写成如下对换的乘积：
)27)(24)(16)(15)(13(=σ )57)(48)(12)(13(=τ
2解：设A 是任意⽅阵，令)(21A A B '+=，)(21A A C '-=，则B 是对称矩阵，⽽C 是反对称
矩阵，且C B A +=。

若令有11C B A +=，这⾥1B 和1C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则C C B B -=-11，⽽等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：1B B =，1C C =，所以，表⽰法唯⼀。

3、设集合)1}(,1,,2,1,0{ m m m M m -??=，定义m M 中运算“m +”为a m +b=(a+b)(modm),则（m M ，m +）是不是群，为什么？
四、证明题（本⼤题共2⼩题，第1题10分，第2⼩题15分，共25分）
1、设G 是群。

证明：如果对任意的G x ∈，有e x =2，则G 是交换群。

2、假定R 是⼀个有两个以上的元的环，F 是⼀个包含R 的域，那么F 包含R 的⼀个商域。

1、对于G 中任意元x ，y ，由于e xy =2)(，所以
yx x y xy xy ===---111)(（对每个x ，从e x =2可得1-=x x ）。

2、证明在F ⾥
)0,,(11≠∈=
=--b R b a b a a b ab
有意义，作F 的⼦集)0,,(≠∈=-b R b a b a Q 所有 -
Q 显然是R 的⼀个商域证毕。

近世代数模拟试题⼆
⼀、单项选择题
⼆、1、设G 有6个元素的循环群，a 是⽣成元，则G 的⼦集（c ）是⼦群。

A 、{}a
B 、{}e a ,
C 、{}3,a e
D 、
{}3,,a a e 2、下⾯的代数系统（G ，*）中，（d ）不是群
A 、G 为整数集合，*为加法
B 、G 为偶数集合，*为加法
3、在⾃然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ b ）
A 、a*b=a-b
B 、a*b=max{a,b}
C 、 a*b=a+2b
D 、a*b=|a-b|
4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ b ）
A 、12σ
B 、1σ2σ
C 、22σ
D 、2σ1σ
5、任意⼀个具有2个或以上元的半群，它（ a ）。

A 、不可能是群
B 、不⼀定是群
C 、⼀定是群
D 、是交换群
⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每空3分，共30分)请在每⼩题的空格中填上正确答案。

错填、不填均⽆分。

1、凯莱定理说：任⼀个⼦群都同⼀个---变换全-------同构。

2、⼀个有单位元的⽆零因⼦-交换环----称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于-25-----。

4、a 的阶若是⼀个有限整数n ，那么G 与-------同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---2--。

6、若映射?既是单射⼜是满射，则称?为---双射--------------。

7、α叫做域F 的⼀个代数元，如果存在F 的--不都等于林---n a a a ,,,10 使得
10=+++n n a a a αα。

8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成⽴x a x = ，则称a 为----单位元-----。

9、有限群的另⼀定义：⼀个有乘法的有限⾮空集合G 作成⼀个群，如果满⾜G 对于乘法封闭；结合律成⽴、---------。

10、⼀个环R 对于加法来作成⼀个循环群，则P 是----------。

三、解答题（本⼤题共3⼩题，每⼩题10分，共30分）
1、设集合A={1,2,3}G 是A 上的置换群，H 是G 的⼦群，H={I,(1 2)}，写出H 的所有陪集。

2、设E 是所有偶数做成的集合，“?”是数的乘法，则“?”是E 中的运算，（E ，?）是⼀个代数系统，问（E ，?）是不是群，为什么？
1、解：H 的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )} H 的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )}
2、答：（E ，?）不是群，因为（E ，?）中⽆单位元。

b=3×102+85
102=1×85+17
由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a ×b/17=11339。

然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.
所以 p=4, q=-5.
四、证明题（本⼤题共2⼩题，第1题10分，第2⼩题15分，共25分）
1、证明设e 是群的⼳元。

令x ＝a －1*b ，则a*x ＝a*(a －1*b)＝(a*a －1)*b ＝e*b ＝b 。

所以，x ＝a －1*b 是a*x ＝b 的解。

若x '∈G 也是a*x ＝b 的解，则x '＝e*x '＝(a －1*a)*x '＝a －1*(a*x ')＝a －1*b ＝x 。

所以，x ＝a －1*b 是a*x ＝b 的惟⼀解。

2、容易证明这样的关系是Z 上的⼀个等价关系，把这样定义的等价类集合Z 记为Zm ，每个整数a 所在的等价类记为[a]=｛x ∈Z ；m ︱x –a ｝或者也可记为a ，称之为模m 剩余类。

若m ︱a –b 也记为a ≡b(m)。

当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。

四、证明题（本⼤题共2⼩题，第1题10分，第2⼩题15分，共25分）
1、若是群，则对于任意的a 、b ∈G ，必有惟⼀的x ∈G 使得a*x ＝b 。

2、设m 是⼀个正整数，利⽤m 定义整数集Z 上的⼆元关系：a ?b 当且仅当m ︱a –b 。

近世代数模拟试题三
⼀、单项选择题
1、6阶有限群的任何⼦群⼀定不是（ c ）。

A 、2阶
B 、3 阶
C 、4 阶
D 、 6 阶
2、设G 是群，G 有（ c ）个元素，则不能肯定G 是交换群。

A 、4个
B 、5个
C 、6个
D 、7个
3、有限布尔代数的元素的个数⼀定等于（ d ）。

4、下列哪个偏序集构成有界格（ d ）
A 、偶数
B 、奇数
C 、4的倍数
D 、2的正整数次幂
A 、（N,≤）
B 、（Z,≥）
5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ a ）
A 、(1)，(123)，(132)
B 、12)，(13)，(23)
C 、(1)，(123)
D 、S3中的所有元素
⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每空3分，共30分)请在每⼩题的空格中填上正确答案。

错填、不填均⽆分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。

2、如果f 是A 与A 间的⼀⼀映射，a 是A 的⼀个元，则()[]=-a f f 1----a------。

3、区间[1，2]上的运算},{min b a b a = 的单位元是--2-----。

4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=———24———————。

5、环Z 8的零因⼦有 -----------------------。

6、⼀个⼦群H 的右、左陪集的个数---相等-------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它⾃⼰的-----商权----。

8、⽆零因⼦环R 中所有⾮零元的共同的加法阶数称为R 的---特征--------。

9、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为---mIn----。

三、解答题（本⼤题共3⼩题，每⼩题10分，共30分）
1、⽤2种颜⾊的珠⼦做成有5颗珠⼦项链，问可做出多少种不同的项链？
2、S 1，S 2是A 的⼦环，则S 1∩S 2也是⼦环。

S 1+S 2也是⼦环吗？
3、设有置换)1245)(1345(=σ，6)456)(234(S ∈=τ。

1．求στ和στ-1；
2．确定置换στ和στ-1的奇偶性。

群论前我们没有⼀般的⽅法，只能⽤枚举法。

⽤笔在纸上画⼀下，⽤⿊⽩两种珠⼦，分类进⾏计算：例如，全⽩只1种，四⽩⼀⿊1种，三⽩⼆⿊2种，…等等，可得总共8种。

2、证由上题⼦环的充分必要条件，要证对任意a,b ∈S1∩S2 有a-b, ab ∈S1∩S2：因为S1，S2是A 的⼦环，故a-b, ab ∈S1和a-b, ab ∈S2 ，
因⽽a-b, ab ∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是⼦环。

S1+S2不⼀定是⼦环。

在矩阵环中很容易找到反例：
3、解： 1．)56)(1243(=στ，)16524(1=στ-；
2．两个都是偶置换。

四、证明题（本⼤题共2⼩题，第1题10分，第2⼩题15分，共25分）
1、⼀个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M 为含⼳半群，证明b =a -1的充分必要条件是aba =a 和ab 2a =e 。

1、证明：假定µ是R 的⼀个理想⽽µ不是零理想，那么a 0≠∈µ，由理想的定义µ∈=-11a a ，
2、证必要性：将b 代⼊即可得。

充分性：利⽤结合律作以下运算：
ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ，
ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ，
近世代数模拟试题四
⼀、单项选择题(本⼤题共5⼩题，每⼩题3分，共15分)
在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的
括号内。

错选、多选或未选均⽆分。

1.设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中
含有（ d ）个元素。

A.2
B.5
C.7
D.10
2.设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射
：x →x ＋2，?x ∈R ，
则?是从A 到B 的（ c ）
A.满射⽽⾮单射
B.单射⽽⾮满射
C.⼀⼀映射
D.既⾮单射也⾮满射
3.设S 3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S 3中可以与(123)交换的所有元素有（）
A.(1)，(123)，(132)
B.(12)，(13)，(23)
C.(1)，(123)
D.S 3中的所有元素
4.设Z 15是以15为模的剩余类加群，那么，Z 15的⼦群共有（ d ）个。

A.2
B.4
C.6
D.8
5.下列集合关于所给的运算不作成环的是（ b ）
C.整数集Z 关于数的加法和新给定的乘法“ ”：?m ， n ∈Z ， m n ＝0
D.整数集Z 关于数的加法和新给定的乘法“ ”：?m ， n ∈Z ， m n ＝1
⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每空3分，共30分)
请在每⼩题的空格中填上正确答案。

错填、不填均⽆分。

6.设“～”是集合A 的⼀个关系，如果“～”满⾜___________，则称“～”是A 的⼀个等价关系。

7.设(G ，·)是⼀个群，那么，对于?a ，b ∈G ，则ab ∈G 也是G 中的可逆元，⽽且(ab)－1＝
___________。

8.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S 5，那么στ＝___________(表⽰成若⼲个没有公共数字的循环置换之积)。

9.如果G 是⼀个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange 定理知，对于?a ∈G ，则元素a 的阶只可能是
____5,15,1,3,_______。

10.在3次对称群S 3中，设H ＝{(1)，(123)，(132)}是S 3的⼀个不变⼦群，则商群G/H 中的元素(12)H ＝___________。

11.设Z 6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模的剩余类环，则Z 6中的所有零因⼦是
___2,3,4________。

12.设R 是⼀个⽆零因⼦的环，其特征n 是⼀个有限数，那么，n 是___________。

13.设Z ［x ］是整系数多项式环，(x)是由多项式x ⽣成的主理想，则(x)＝_____________ ___________。

14.设⾼斯整数环Z ［i ］＝{a ＋bi|a ，b ∈Z}，其中i 2＝－1，则Z ［i ］中的所有单位是___________ ___________。

15.有理数域Q 上的代数元2+3在Q 上的极⼩多项式是___________。

三、解答题（本⼤题共3⼩题，每⼩题10分，共30分）
16.设Z 为整数加群，Z m 为以m 为模的剩余类加群，?是Z 到Z m 的⼀个映射，其中
：k →［k ］
，?k ∈Z ，验证：?是Z 到Z m 的⼀个同态满射，并求?的同态核Ker ?。

17.求以6为模的剩余类环Z 6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有⼦环，并说明这些⼦环都是Z 6的理想。

18.试说明唯⼀分解环、主理想环、欧⽒环三者之间的关系，并举例说明唯⼀分解环未必是主理想环。

四、证明题（本⼤题共3⼩题，第19、20⼩题各10分，第21⼩题5分，共25
分）
19.设G ＝{a ，b ，c}，G 的代数运算“ ”
由右边的运算表给出，证明：(G ， )作成⼀个群。

20.设 a b c a a b c b b c a c c a b
,Z c ,a 0c 0a I ,Z d ,c ,b ,a d c b a R ?
∈???? ??=∈???? ??= 已知R 关于矩阵的加法和乘法作成⼀个环。

证明：I 是R 的⼀个⼦环，但不是理想。

21.设(R ，＋，·)是⼀个环，如果(R ，＋)是⼀个循环群，证明：R 是⼀个交换环。

近世代数模拟试题⼀参考答案
⼀、单项选择题。

3、B ；
4、C ；
5、D ；
⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每空3分，共30分)。

1、()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--；
2、单位元；
3、交换环；
4、整数环；
5、变换群；
6、同构;
7、零、-a ；
8、S=I 或S=R ；
9、域；
三、解答题（本⼤题共3⼩题，每⼩题10分，共30分）
1、解：把σ和τ写成不相杂轮换的乘积：
)8)(247)(1653(=σ )6)(57)(48)(123(=τ
可知σ为奇置换，τ为偶置换。

σ和τ可以写成如下对换的乘积：
)27)(24)(16)(15)(13(=σ )57)(48)(12)(13(=τ
2、解：设A 是任意⽅阵，令)(21A A B '+=，)(21A A C '-=，则B 是对称矩阵，⽽C 是反对称矩阵，且C B A +=。

若令有11C B
A +=，这⾥1
B 和1
C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则C C B B -=-11，⽽等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：1B B =，1C C =，所以，表⽰法唯⼀。

3、答：（m M ，m +）不是群，因为m M 中有两个不同的单位元素0和m 。

四、证明题（本⼤题共2⼩题，第1题10分，第2⼩题15分，共25分）
1、对于G 中任意元x ，y ，由于e xy =2)(，所以
yx x y xy xy ===---111)(（对每个x ，从e x =2可得1-=x x ）。

2、证明在F ⾥
)0,,(11≠∈=
=--b R b a b a a b ab
有意义，作F 的⼦集)0,,(≠∈=-b R b a b a Q 所有 -
Q 显然是R 的⼀个商域证毕。

近世代数模拟试题⼆参考答案
⼀、单项选择题(本⼤题共5⼩题，每⼩题3分，共15分)。

1、C ；
2、D ；
3、B ；
⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每空3分，共30分)。

1、变换群；
2、交换环；
3、25；
4、模n 乘余类加群；
5、{2}；
6、⼀⼀映射；
7、不都等于零的元；
8、右单位元；
9、消去律成⽴；10、交换环；
三、解答题（本⼤题共3⼩题，每⼩题10分，共30分）
1、解：H 的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )} H 的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )}
2、答：（E ，?）不是群，因为（E ，?）中⽆单位元。

3、解⽅法⼀、辗转相除法。

列以下算式：
a=b+102
b=3×102+85
102=1×85+17
由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a ×b/17=11339。

然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.
所以 p=4, q=-5.
四、证明题（本⼤题共2⼩题，第1题10分，第2⼩题15分，共25分）
1、证明设e 是群的⼳元。

令x ＝a －1*b ，则a*x ＝a*(a －1*b)＝(a*a －1)*b ＝e*b ＝b 。

所以，x ＝a －1*b 是a*x ＝b 的解。

若x '∈G 也是a*x ＝b 的解，则x '＝e*x '＝(a －1*a)*x '＝a －1*(a*x ')＝a －1*b ＝x 。

所以，x ＝a －1*b 是a*x ＝b 的惟⼀解。

2、容易证明这样的关系是Z 上的⼀个等价关系，把这样定义的等价类集合Z 记为Zm ，每个整数a 所在的等价类记为[a]=｛x ∈Z ；m ︱x –a ｝或者也可记为a ，称之为模m 剩余类。

若m ︱a –b 也记为a ≡b(m)。

当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。

近世代数模拟试题三参考答案
⼀、单项选择题1、C ；2、C ；3、D ；4、D ；5、A ；
⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每空3分，共30分)请在每⼩题的空格中填上正确答案。

错填、不填均⽆分。

1、唯⼀、唯⼀；
2、a ；
3、2；
4、24；
7、商群；
8、特征；
9、n m ；
三、解答题（本⼤题共3⼩题，每⼩题10分，共30分）
1、解在学群论前我们没有⼀般的⽅法，只能⽤枚举法。

⽤笔在纸上画⼀下，⽤⿊⽩两种珠⼦，分类进⾏计算：例如，全⽩只1种，四⽩⼀⿊1种，三⽩⼆⿊2种，…等等，可得总共8种。

2、证由上题⼦环的充分必要条件，要证对任意a,b ∈S1∩S2 有a-b, ab ∈S1∩S2：因为S1，S2是A 的⼦环，故a-b, ab ∈S1和a-b, ab ∈S2 ，
因⽽a-b, ab ∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是⼦环。

S1+S2不⼀定是⼦环。

在矩阵环中很容易找到反例：
3、解： 1．)56)(1243(=στ，)16524(1=στ-；
2．两个都是偶置换。

四、证明题（本⼤题共2⼩题，第1题10分，第2⼩题15分，共25分）
1、证明：假定µ是R 的⼀个理想⽽µ不是零理想，那么a 0≠∈µ，由理想的定义µ∈=-11a a ，因⽽R 的任意元µ∈?=1b b
这就是说µ=R ，证毕。

2、证必要性：将b 代⼊即可得。

充分性：利⽤结合律作以下运算：
ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ，
ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ，
所以b=a-1。

近世代数试卷
⼀、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每⼩题1分，共10分）
1、设A 与B 都是⾮空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。

（ f ）
2、设A 、B 、D 都是⾮空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作⼆元运算。

（ f ）
3、只要f 是A 到A 的⼀⼀映射，那么必有唯⼀的逆映射1-f 。

（ t ）
4、如果循环群()a G =中⽣成元a 的阶是⽆限的，则G 与整数加群同构。

（t ）
5、如果群G 的⼦群H 是循环群，那么G 也是循环群。

（ f ）
6、群G 的⼦群H 是不变⼦群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。

（ t ）
7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。

（ t ）
8、若环R 满⾜左消去律，那么R 必定没有右零因⼦。

（ t ）
9、)(x F 中满⾜条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极⼩多项式。

（ f ）
10、若域E 的特征是⽆限⼤，那么E 含有⼀个与()p Z 同构的⼦域，这⾥Z 是整数环，()p 是由素数p ⽣成的主理想。

（ f ）
⼆、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出⼀个正确答案，并将其号码写在题⼲后⾯的括号内。

答案选错或未作选择者，该题⽆分。

每⼩题1分，共10分）
③n A A A 21中不同的元对应的象必不相同；
④⼀个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯⼀。

2、指出下列那些运算是⼆元运算（ 3 ）4 ①在整数集Z 上，ab
b a b a +=
；②在有理数集Q 上，ab b a = ；③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。

3、设是整数集Z 上的⼆元运算，其中{}b a b a ,m ax = （即取a 与b 中的最⼤者），那么在Z 中（ 4 ）3
①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。

4、设() ,G 为群，其中G 是实数集，⽽乘法k b a b a ++= :，这⾥k 为G 中固定的常数。

那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ 4 ）
①0和x -；②1和0；③k 和k x 2-；④k -和)2(k x +-。

5、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ 2 ）1
①11--a bc ；②11--a c ；③11--bc a ；④ca b 1-。

6、设H 是群G 的⼦群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,。

如果6，那么G 的阶=G （ 3 ）2
①6；②24；③10；④12。

7、设21:G G f →是⼀个群同态映射，那么下列错误的命题是（2 ）4
①f 的同态核是1G 的不变⼦群；②2G 的不变⼦群的逆象是1G 的不变⼦群；③1G 的⼦群
的象是2G 的⼦群；④1G 的不变⼦群的象是2G 的不变⼦群。

8、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列错误的结论为（ 4 ）3
①若a 是零元，则b 是零元；②若a 是单位元，则b 是单位元；
③若a 不是零因⼦，则b 不是零因⼦；④若2R 是不交换的，则1R 不交换。

9、下列正确的命题是（ 4 ）1
①欧⽒环⼀定是唯⼀分解环；②主理想环必是欧⽒环；
③唯⼀分解环必是主理想环；④唯⼀分解环必是欧⽒环。

10、若I 是域F 的有限扩域，E 是I 的有限扩域，那么（1 ）4
①()()()F I I E I E :::=；②()()()I E F I E F :::=；
③()()()I F F E F I :::=；④()()()F I I E F E :::=。

三、填空题（将正确的内容填在各题⼲预备的横线上，内容填错或未填者，该空⽆分。

每空1分，共10分）
1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B 。

2、如果f 是A 与A 间的⼀⼀映射，a 是A 的⼀个元，则()[]=-a f f 1 a 。

3、设集合A 有⼀个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A 0 。

4、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为。

5、凯莱定理说：任⼀个⼦群都同⼀个同构。

6、给出⼀个5-循环置换)31425(=π，那么=-1π。

7、若I 是有单位元的环R 的由a ⽣成的主理想，那么I 中的元素可以表达为 x 。

8、若R 是⼀个有单位元的交换环，I 是R 的⼀个理想，那么I R 是⼀个域当且仅当I 是⼀个最⼤理想。

9、整环I 的⼀个元p 叫做⼀个素元，如果、p 既不是零元，也不是单位，且q 只有平凡因⼦。

10、若域F 的⼀个扩域E 叫做F 的⼀个代数扩域，如果。

四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地⽅划线，并将正确的内容写在预备的横线上⾯。

指出错误1分，更正错误2分。

每⼩题3分，共15分）
1、如果⼀个集合A 的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在n a a a 21⾥，元的
次序可以掉换。

结合律与交换律
2、有限群的另⼀定义：⼀个有乘法的有限⾮空集合G 作成⼀个群，如果满⾜G 对于乘法封闭；结合律成⽴、交换律成⽴。

消去律成⽴
3、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最⼤理想，那么0≠S 。

S=I 或S=R
4、唯⼀分解环I 的两个元a 和b 不⼀定会有最⼤公因⼦，若d 和'd 都是a 和b 的最⼤公因⼦，
⼀定有最⼤公因⼦；d 和d ′只能差⼀个单位因⼦ 5、α叫做域F 的⼀个代数元，如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα。

不都等于零的元
五、计算题（共15分，每⼩题分标在⼩题后）
1、给出下列四个四元置换
= = = =34124321,43124321,34214321,432143214321ππππ组成的群G ，试写出G 的乘法表，并且求出G 的单位元及14131211,,,----ππππ和G 的所有⼦群。

2、设[][][][][][]{}5,4,3,2,1,06=Z 是模6的剩余类环，且[]x Z x g x f 6)(), (∈。

如果[][][]253)(3++=x x x f 、[][][]354)(2++=x x x g ，计算)()(x g x f +、)()(x g x f -和)()(x g x f 以及它们的次数。

六、证明题（每⼩题10分，共40分）
1、设a 和b 是⼀个群G 的两个元且ba ab =，⼜设a 的阶m a =，b 的阶n b =，并且1),(=n m ，证明：ab 的阶mn ab =。

2、设R 为实数集，0,,≠∈?a R b a ，令R x b ax x R R f b a ∈?+→,,:),( ，将R 的所有这样的变换构成⼀个集合{}0,,),(≠∈?=a R b
a f G
b a ，试证明：对于变换普通的乘法，G 作成⼀个群。

3、设1I 和2I 为环R 的两个理想，试证21I I 和{}2121,I b I a b a I I ∈∈+=+都是R 的理想。

4、设R 是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R 中的⾮零元不是可逆元就是零因⼦。

近世代数试卷参考解答
⼀、判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
× × √ √ × √ √ √ × ×
⼆、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
②④③④①②④③①④
三、填空题
1、()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--。

2、a 。

3、φ。

4、n m 。

5、变换群。

6、()13524。

7、R y x ay x i i i i ∈∑,,。

8、⼀个最⼤理想。

9、p 既不是零元，也不是单位，且q 只有平凡因⼦。

10、E 的每⼀个元都是F 上的⼀个代数元。

四、改错题
1、如果⼀个集合A 的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在n a a a 21⾥，元的
次序可以掉换。

结合律与交换律
2、有限群的另⼀定义：⼀个有乘法的有限⾮空集合G 作成⼀个群，如果满⾜G 对于乘法封闭；结合律成⽴、交换律成⽴。

消去律成⽴
3、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最⼤理想，那么0≠S 。

S=I 或S=R
4、唯⼀分解环I 的两个元a 和b 不⼀定会有最⼤公因⼦，若d 和'd 都是a 和b 的最⼤公因⼦，
⼀定有最⼤公因⼦；d 和d ′只能差⼀个单位因⼦
5、α叫做域F 的⼀个代数元，如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα。

不都等于零的元
测验题
⼀、填空题（42分）
1、设集合M 与M 分别有代数运算与，且M M ~，则当满⾜结合律时，也满⾜结合律；当满⾜交换律时，也满⾜交换律。

2、对群中任意元素1)(,,-ab b a 有= ；
3、设群G 中元素a 的阶是n ，n|m 则m a = e ；
4、设a 是任意⼀个循环群，若∞=||a ，则a 与整数加群同构；若n a =||，则a 与 n 次单位根群；同构；
5、设G=a 为6阶循环群，则G 的⽣成元有 5,a a ；{}{}{}{}5432423,,,,,,,,,,,a a a a a e a a e a e e ；；⼦群有；
6、n 次对称群n S 的阶是 n!; ；置换)24)(1378(=τ的阶是 4 ；
7、设
= =2314432114324321βα，，则=αβ 7、???? ??23144321 ； 8、设)25)(136()235)(14(==τσ，，则=-1στσ；
9、设H 是有限群G 的⼀个⼦群，则|G|= |H|:(G:H) ；
10、任意⼀个群都同⼀个双射）变换群；同构。

⼆、证明题（24）
1.设G 为n 阶有限群，证明：G 中每个元素都满⾜⽅程e x n =。

1、已知||n G =，|a|=k,则
k|n
令n=kq,则e a a a q k kq n ===)(
即G 中每个元素都满⾜⽅程e x n =
1、叙述群G 的⼀个⾮空⼦集H 作成⼦群的充要条件，并证明群G 的任意两个⼦群H 与K 的交K H 仍然是G 的⼀个⼦群。

2、证明:如果群G 中每个元素都满⾜⽅程e x =2，则G 必为交换群。

三、解答题（34）
1、叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z 对运算4++=b a b a 作成群。

2、写出三次对称群3S 的所有⼦群并写出3S 关于⼦群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所
有右陪集。

基础测试参考答案：
⼀、填空题
1、满⾜结合律；满⾜交换律；
2、11--a b ；
3、e ；
4、整数加群；n 次单位根群；
5、5,a a ；{}{}{
}{}5432423,,,,,,,,,,,a a a a a e a a e a e e ； 6、n!;4
7、
23144321 8、(456)(32)
9、|H|:(G:H)
10、（双射）变换群；
⼆、证明题
1、已知||n G =，|a|=k,则
k|n
令n=kq,则e a a a q k kq n ===)(
即G 中每个元素都满⾜⽅程e x n =
2、充要条件：H a H a H ab H b a ∈?∈∈?∈-1;,,；证明：已知H 、K 为G 的⼦群，令Q 为H 与K 的交设H b a ∈,,则K b a H b
a ∈∈,,,
H 是G 的⼦群，有H ab ∈
K 是G 的⼦群，有K ab ∈
Q ab ∈∴
H
a K
a H a H a ∈∈∈∈?-11，可知
由定理且，则
综上所述，H 也是G 的⼦群。

3、证：
ba a b ab ab a a a a a a a G
ab G b a =====?=?∈∈?-----1111
2
1)(;
,由消元法得
G 是交换群。

三、解答题
1、解：设G 是⼀个⾮空集合，是它的⼀个代数运算，如果满⾜以下条件：
（1）结合律成⽴，即对G 中任意元素)()(,,c b a c b a c b a =，有
（2）G 中有元素e ，它对G 中每个元素a a e a = ，都有
（3）对G 中每个元素e a a a G a =-- 11,，使中有元素在则G 对代数运算作成⼀个群。

对任意整数a,b ，显然a+b+4由a,b 唯⼀确定，故为G 的代数运算。

（a b ） c=(a+b+4) c=(a+b+4)+c+4=a+b+c+8 a (b
c)=a+b+c+8
即（a b ） c= a (b c)满⾜结合律
a 均有（-4） a=-4+a+4=a
故-4为G 的左单位元。

（-8-a ） a=-8-a+a+4=-4
故-8-a 是a 的左逆元。

2、解：6||3 S 其⼦群的阶数只能是1，2，3，6 1阶⼦群｛（1）｝
2阶⼦群｛（1）（12）｝｛（1）（13）｝｛（1）（23）｝ 3阶⼦群｛（1）（123）（132）｝
6阶⼦群3S
左陪集：（1）H=｛（1）（23）｝=（23）H
（12）H=｛（12）（123）｝=（123）H
（13）H=｛（13）（132）｝=（132）H 右陪集：H （1）=｛（1）（23）｝=H （23） H （13）=｛（13）（23）｝=H （123）
H （12）=｛（12）（132）｝=H （132）。