2016版高考数学大一轮复习课件：选修4-5-第2节不等式的证明

a＋
b.
限 时 检 测
核 心 考 向
菜单
第九页，编辑于星期五：二十三点 五十六分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
基 础 知 识
【解】
法一
∵
a＋ b
ba－(
a＋
b)
点
＝
a－ b
b＋
b－ a
a＝a－bb＋b－aa
课 时
限
＝a－b a－ ab
b＝
a＋
b a－ ab
b2≥0，
时 检 测
核 心 考
∴a＋b≥ ba
向
菜单
第四页，编辑于星期五：二十三点 五十六分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
基
础 知
2．比较法
识
点
(1)比差法的依据是：a－b＞0⇔__a_＞__b_.步骤是：“作差
课
→_变_形__→判__断__差__的__符__号__”．变形是手段，变形的目的是判断 时 限
时
差的符号．
检
测
核 心
(2)比商法：若 B＞0，欲证A__≥_B_，只需证AB≥1.
时 限 时
检
测
核 心 考 向
菜单
第二十四页，编辑于星期五：二十三点 五十六 分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
【证明】 要证原不等式，只需证 a2＋a12＋2≥a＋1a＋
基 础
2，
知
识 点
∵a>0，∴两边均大于零．
因此只需证 a2＋a12＋4＋4
a2＋a12≥a2＋a12＋2＋2＋2 2
课 时 限
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
基 础 知 识 点
课
第二节 不等式的证明
时 限
时
检
测
核 心 考 向
菜单
第一页，编辑于星期五：二十三点 五十六分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
基
础
知
识
点
[考情展望] 1.通过一些简单问题了解证明不等式的基
本方法：比较法、综合法、分析法.2.(供部分省选用)了解柯西
核
心 考
＋q＋r)2＝9，即 p2＋q2＋r2≥3.
点
实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥ (ac＋bd)2，当且仅当 ad＝bc 时， 课
时
等号成立．
限
时
(2)定理 2(柯西不等式的向量形式)：设 α，β 是两个向量，
检 测
核 则|α·β|≤|α||β|，当 α 或 β 是零向量，或存在实数 k，使 α＝kβ
心
考 向
时，等号成立．
菜单
第七页，编辑于星期五：二十三点 五十六分。
课 时
限
不等式的几种不同形式，理解其几何意义，能够利用均值不
时 检
测
等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．
核 心 考 向
菜单
第二页，编辑于星期五：二十三点 五十六分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
基 础
1．基本不等式
知
识 点
定理 1：如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥_2_a_b___，当且仅当
考
向
菜单
第五页，编辑于星期五：二十三点 五十六分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
基
3．综合法与分析法
础
知 识
(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、
点
定理、性质等，经过一系列的_推__理_、__论__证__而得出命题_成__立___ 课
(2)分析法：从_要__证_的__结__论__出发，逐步寻求使它成立的
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
基
础 知
(3)定理 3(二维形式的三角不等式)：设 x1，y1，x2，y2∈R，
识
点 那么 x21＋y21＋ x22＋y22≥ x1－x22＋y1－y22.
(4)柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，…，an，b1，b2，…，
课 时
限
bn 为实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2
即ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.所以ab2＋bc2＋ca2≥1.
菜单
第十六页，编辑于星期五：二十三点 五十六分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
基
础
知 识
规律方法 2 1.综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2
点
⇒…⇒Bn⇒B(A 为已知条件或数学定义、定理、公理，B 为要 课
时
证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．
基
础 知
【解】 (1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
识
点
当且仅当－1≤x≤2 时，等号成立，
所以 f(x)的最小值等于 3，即 a＝3.
课 时
限
(2)证明：由(1)知 p＋q＋r＝3，又因为 p，q，r 是正实数，
时 检
测
所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p
a＋
b.
向
菜单
第十页，编辑于星期五：二十三点 五十六分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
基
础
知 识 点
法二
a＋b
由于
b a＋
a＝ b
a a＋b b ab a＋ b
课
时
＝
a＋ ba－ ab a＋
abb＋b＝a＋abb－1≥2 aabb－1＝1.
限 时 检
测
核 心
又 a＞0，b＞0，
ab＞0.∴
a＋ b
核 心
变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号．
考
向
菜单
第十二页，编辑于星期五：二十三点 五十六分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
基 础 知 识 点
对点训练 求证：(1)当 x∈R 时，1＋2x4≥2x3＋x2；
课
时
(2)当 a，b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab) .
限 时
检
测
核 心 考 向
时 限
＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤31；(2)ab2＋bc2＋ca2≥1.
时 检 测
核 心 考 向
菜单
第十五页，编辑于星期五：二十三点 五十六分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
【证明】 (1)由 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca
时 检
测
核 心 考 向
菜单
第十八页，编辑于星期五：二十三点 五十六分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
基
础
知
识
点
【证明】 因为 x>0，y>0，所以 1＋x＋y2≥33 xy2>0,1
课
＋x2＋y≥33 x2y>0，
时 限 时
检
测
故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥33 xy2·33 x2y＝9xy.
当 a>b>0 时，ab>1，a－2 b>0，ab >1；
检 测
核 心 考 向
当 b>a>0 时，0<ab<1，a－2 b<0，ab >1.
∴aabb≥(ab) .
菜单
第十四页，编辑于星期五：二十三点 五十六分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
基
础
知
识
点
考向二 综合法证明不等式
课
(2013·课标全国卷Ⅱ)设 a、b、c 均为正数，且 a
基
础
由题设得(a＋b＋c)2＝1，即 a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca
知
识 点
＝1.
所以 3(ab＋bc＋ca)≤1，即 ab＋bc＋ca≤31.
课 时 限
时
(2)因为ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c，
检 测
核 心 考 向
故ab2＋bc2＋ca2＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
限
时
2．综合法证明不等式，利用已证的不等式为基础，再运
检 测
核 用不等式的性质推导出所要证的不等式．
心 考 向
菜单
第十七页，编辑于星期五：二十三点 五十六分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
基 础 知 识 点
对点训练
(2014·江苏高考)已知 x>0，y>0，证明：(1＋x
课 时
限
＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.
基 础 知 识
定理 3：如果 a，b，c 为正数，那么a＋3b＋c≥3 abc ，当
点
且仅当a＝b＝c 时，等号成立． 课
一般形式的算术—几何平均值不等式：如果 a1，a2，…，
时 限
时
an 为 n 个正数，则a1＋a2＋n …＋an≥n a1a2…an，当且仅当 a1
检 测
核
心 考
＝a2＝…＝an 时，等号成立．
测
(2)对任意两个不相等的正数 a，b，证明：a3＋b3 比 a2b
核
心 考
＋ab2 远离 2ab ab.
向
菜单
第二十页，编辑于星期五：二十三点 五十六分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
基
础
知
识
点
【解】 (1)由题意知|x2－1－0|＞|1－0|，
即|x2－1|＞1，所以 x2－1＜－1 或 x2－1＞1，
课 时
限
解得 x＞ 2或 x＜－ 2，
时 检
测
所以 x 的取值范围是{x|x＞ 2或 x＜－ 2}．
核 心 考 向
菜单
第二十一页，编辑于星期五：二十三点 五十六 分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
(2)要证明 a3＋b3 比 a2b＋ab2 远离 2ab ab，
基
础 知
即证|a3＋b3－2ab ab|＞|a2b＋ab2－2ab ab|，
时
a＋1a，只需证 2
a2＋a12≥ 2a＋1a，
检 测
核 心 考 向
只需证 2a2＋a12≥a2＋a12＋2，即证 a2＋a12≥2，
又 a2＋a12≥2 显然成立，∴原不等式成立．
菜单
第二十五页，编辑于星期五：二十三点 五十六 分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
基
础
考向四 柯西不等式的应用
b≥ a
a＋
b.
考
向
菜单
第十一页，编辑于星期五：二十三点 五十六分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
基
础 知
规律方法 1 1.在法一中，采用局部通分，优化了解题过
识
点 程；在法二中，利用不等式的性质，把证明 a＞b 转化为证明
课
ab＞1(b＞0)．
时 限 时
检
2．作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的 测
限
时
检
2．分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为： 测
核
得到一个明显
心 考
Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→ 成立的条件
.
向

菜单
第二十三页，编辑于星期五：二十三点 五十六 分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
基 础 知 识 点
对点训练 已知 a>0，求证：
课
a2＋a12－ 2≥a＋a1－2.
_a_＝__b__时，等号成立．
课
时
定理 2：如果 a，b>0，那么a＋2 b≥ ab ，当且仅当_a_＝__b__
限 时 检 测
时，等号成立，即两个正数的算术平均值不小于(即大于或等
核 心
考 于)它们的几何平均值．
向
菜单
第三页，编辑于星期五：二十三点 五十六分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
菜单
第十三页，编辑于星期五：二十三点 五十六分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
【证明】 (1)(1＋2x4)－(2x3＋x2)＝x4－2x3＋x2＋x4－2x2＋1
＝(x－1)2·x2＋(x2－1)2≥0，∴1＋2x4≥2x3＋x2.
基
础
知
识
(2)
，
点
当 a＝b 时，ab ＝1；
课 时 限 时
核
心
考
向
菜单
第十九页，编辑于星期五：二十三点 五十六分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
基
础
考向三 分析法证明不等式
知
识
点
(2015·郑州质检)若实数 x、y、m 满足|x－m|＞|y
－m|，则称 x 比 y 远离 m.
课 时
限
(1) 若 x2－1 比 1 远离 0，求 x 的取值范围；
时 检
时 限
时
充__分__条__件__，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实
检 测
核 (定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题
心
考 向
成立．
菜单
第六页，编辑于星期五：二十三点 五十六分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
基
4．几个重要的不等式
础
知 识
(1)定理 1(二维形式的柯西不等式)：若 a，b，c，d 都是
识
点
因为 a≠b，故 a2b＋ab2＞2 a2bab2＝2ab ab，
a3＋b3＞2 a3b3＝2ab ab.
课 时
限
所以只需证 a3＋b3－2ab ab＞a2b＋ab2－2ab ab.
时 检
测
即证明 a3＋b3－(a2b＋ab2)＞0，
核
心 考
化简得(a－b)2(a＋b)＞0 显然成立，
向
所以 a3＋b3 比 a2b＋ab2 远离 2ab ab.
菜单
第二十二页，编辑于星期五：二十三点 五十六 分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
基
规律方法 3 1.(1)善于把“新概念”，“新运算”转化为
础
知 识
我们熟悉的“旧概念”、“旧运算”，并严格按照规定进行
点
操作．(2)第(2)问证明关键有两点：①将结论转化为证明绝对 课
时
值不等式；②抓住基本不等式，巧妙去绝对值符号．
时 检
测
＋…＋anbn)2，当且仅当 bi＝0 或存在一个数 k，使 ai＝kbi(i＝
核
心 考
1,2，…，n)时，等号成立.
向
菜单
第八页，编辑于星期五：二十三点 五十六分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学
基 础 知 识 点
考向一 比较法证明不等式
课
时
已知
a＞0，b＞0，求证：
a＋ b
b≥ a
知
识
点
(2014·福建高考)已知定义在 R 上的函数 f(x)＝|x
＋1|＋|x－2|的最小值为 a.
课 时
限
(1)求 a 的值；
时 检
测
(2)若 p，q，r 是正实数，且满足 p＋q＋r＝a，求证：p2
核
心 考
＋q2＋r2≥3.
向
菜单
第二十六页，编辑于星期五：二十三点 五十六 分。
名师金典·新课标高考总复习·文科数学