学习_清北厦门原子物理

Er

S

4
r 2 Er

Q
0

r3 R3
Q0
0
r
R
球内
Er

Q0
4 0
r R3
球外
Er

Q0
4 0
1 r2
最大散射角的估算
max

P P0

1
40
2Ze2 R2
2R v
1 Mv
r
e2 2Z
e2 2Z
40 R
1 Mv2
4 0
R
R ~1A
3105
ZR
原子物理
原子的结构与模型 波粒二象性与量子力学
原子核的性质 守恒律与粒子之间的相互作用
原子的结构与原子的模型
• 基于α粒子散射实验的卢瑟福核式结构模 型
• 正核电外荷集Zee 中在卢瑟福模型极小的原子核中，Zee电子在玻尔模型
• 基于氢原子光谱实验规律的玻尔原子模型
α粒子散射实验
• Thosmon的葡萄干布丁原子模型 • 1909年，Geiger和Marsden发现，用α粒
rm
( z1Ze2
40Mv02
)2
cot 2

2

0
rm2

2 z1Ze2
4 0 Mv02
rm
(z1Ze24 0 Mv02)2
(
z1Ze2
4 0 Mv02
)2
1 sin 2

2
rm

z1Ze2
4 0 Mv02
(1
1
sin
)

1 2
z1Ze2
4 0 E
(1
1
金
箔
俯视图
Thomson模型不成立
• 在散射过程中，电子的质量很小，对α 粒子（He2+）运动的影响可以忽略
• 只考虑原子中均匀分布的正电荷对α粒
子运动的影响
r
按高斯定理，r处的场强 1 Zer
Er 40 R3
R
粒子在r处的受力
Pmax

Fmax tmax

1
4 0
2Ze2 R2
2R v
n
h
2
n
n 1,2,3,4
P v
可以由此导出诸如轨 道半径、能量（能
rn
级）、 Rydberg常数，
等等
角动量
r p
角动量 量子化
me v rn n
me
v2
rn2

(n )2 me
分立定 态轨道
Ze2
4 0 rn2
me v2 rn
me
v2
rn

Ze2
4 0

rn
m0c

h (1 cos )
m0c
C (1 cos ) Compton公式
C

h m0c

0.0242621

A
Compton波长，对应 于静止电子的波长
物质的波粒二象性
• 光的波粒二象性
• 光子能量： = h 光子质量：m=h /c2 光子动量：p=E/c=h /c=h /
子轰击某一厚度的金箔时，有1/8000的 几率被反射，即散射角大于90度 • Thomson模型被否定
• Rutherford提出并建立了原子的核式结 构模型
Geiger-Marsden实验装置
粒子源 真空室 散射箔
闪烁计数器(Geiger计数器) 散射α离子
210Po
抽
气
α粒子源
管

铂
Geiger计数器
sin
)

a 2
(1
1
sin
)
2
2
2
rm

z1Ze2
4 0
1 Mv02
(1
1
sin
)
2

a ~ rmin ~ 1014 m=10fm
一不 角同 度元 的素 散在 射同
康普顿效应同 同 角一 度元 的素 散在 射不 相干散 射
非相干散射
光子与自由电子之间的散射
p h
为rm
v0
y
v0
• 由12 M能v02量 12守M恒v2 及4z角1Z0er动2m 量守恒

Mv0b Mvrm
v rm

1 2
Mv02

1 2
Mv02
b2 rm2

z1Ze2
40rm
2
b

e2
40
z1Z Mv02
cot
2
rm2

2z1Ze2
4 0 Mv02
E
E (MeV)
2
对Au，Z=79，取Eα=5MeV 算得 max 103
若要产生大角度散射，必须经过多次碰撞，但其几率极小。
理论上， 的几率为103500 而实验上却不小于1/8000
2
Thomson模型是不正确的！正电荷分布区域太大
角动量
r p
库仑散射公式
v
v0
y
v0

40 2
mee2
n2 Z

rn

a1
n2 Z
a1

4 0
mee2
2

0.5291661010 m 0.53A
第一Bohr半径
En


1 2
Ze2
4 0rn


2 2mee4 (40 )2 h2
Z2 n2
13.6( Z )2 eV n
氢原子的电离电势
En


2 2mee4 (40 )2 h2
e
rn
分立的定态能 量
En


1 2
Ze2
4 0rn
Ze
• 2.频率条件
• 电子可以在不同的轨道之间跃迁
• 或者说原子可以在不同的能级之间跃迁
• 并以电磁波的形式辐射或吸收能量e
En
rn
rm
Ze
Em
1 Ze2 1 1
h

E

En

Em

2
4 0
[ rm

] rn
h 1 Ze2 [ 1 1 ] 2 4 0 rm rn
h h c hc~ 1 Ze2 [ 1 1 ]

2 4 0 rm rn
~ 1 Ze2 [ 1 1 ] 与两个整数有关
2 4 0hc rm rn
而Rydberg方程为

1 RH[ m2

1 n2 ]
两者有相同的形式
Bohr的假设已经能够解释氢原子的光谱 规律
• 但其中的一些数值，如轨道半径、能 量（能级）、Rydberg常数等还无法确
v0 粒子
: 散射角
v
b :瞄准距离 r
vr
径向速度vt

dr dt
Ze原子核
横向速度v r
d
dt

r
r

有心力作用，角动量守恒 Mv0b Mr2
动量的改变沿y方向2Mv0
cos


2


F cosdt
0
2
上两式两端相乘，注意到角
动量是守恒量，可移入积分
m m0 /
1
v2 c2
m
1
v2 c2
m0
m02c4 m02c4 2h2 (1 cos ) 2m0hc2 ( )
0 2h2 (1 cos ) 2m0hc2 ( )
h (1 cos ) m0c2 ( )
h (1 cos ) c c
• Balmer发现，对于已知的14条氢的光
谱线，可以用一个简单的公式表示其
波长 分B n布2n2 （4 18n85年3,4）,5, Balmer公式

其中 B 3645.6 A
n

,

B 3645.6 A
线系限波长
H H
H
Hα
连续光谱区
Balmer线系

Na原子在可见光波段的光谱 线
c
p h
c
p
mv
X射线光子在与电子的碰撞过程中，动量和能 量是守恒的，是弹性散射
h


m0c2 h
p p mv
mc2
mc 2 h h m0c2
(mv)2 (h )2 ( h )2 2 h h cos
c
c
化质量代替电子的质量，则上述结论就
对应于质心系 电子－核体 系的约化质


Mme M me
• 根据氢原子的光谱和量子思想，提出三个基
本假设
Ze2 mevn2
• 1.定态条件（分立轨道假设）40rn2 rn
• 核外电子只能处于一系列分立的轨道上，绕 核转动；
• 电子在固定的轨道上运动时，不辐射电磁波，
即原E子nk 处 12于m一evn2系 列12 4的Ze定02rn 态 。12 Enp

2
cos
d
2

z1Ze2
4 0
2cos
2

cot 2

4 0
z1Ze2
Mv02b
库仑散射公式
以库仑力相互作 用的粒子的散射
b 1 e2 z1Z cot 1 e2 z1Z cot
2 40
1 2
Mv02
2 2 40 E
2
原子核大小的估算
• 如果α粒子可以到达的与核的最小距离
Z2 n2
En


2 2 (4
mee4 0)2 h2
Z2 n2
~
En En hc

2 2mee4 (40 )2 h2
Z2 ( n2

Z2 n2
)
1 hc

2 2mee4 (40 )2 h3c
1 [ n2

1 n2
]Z 2
与Rydberg方程联系起来，可以得到Rydberg常
定
• 说明该理论还不完备
• 理还论需E要n 有进12 4一Ze步02rn 的假设
实验
~ 1 Ze2 [ 1 1 ] 2 4 0hc rm rn


1 RH[ m2

1 n2
]
• 3.角动量量子化假设
• 电子轨道运动的角动量是量子化的，只 能取一些特定的数值。
P

me
v rn
• 粒子性 ：一个光子是一个不可分割的 主体
• 波动性： 具有波的特征， =h /p
• 光同时具有波动性和粒子性
• 宏观粒子的波动性 • 如果波长太大，在有限的空间尺度内无
法测量物理量的周期性变化
• 如果波长太小，用现有仪器无法分辨物 理量的周期性变化
宏观微粒 p mv (1106 kg)(1106 m/s) 11012 Js/m
• Balmer公式也可以改写为如下形式


B
n2 n2
4
1


1 B
n2 22 n2

41 B [22
1 n2 ]
1 ~ 波数
4 B

RH
Rydberg常数


RH[
1 22

1 n2
]
Rydberg方程
RH 1.0967758 107 m1
H的发射光谱
H的吸收光谱
Bohr的氢原子模型
cc
m2c4 h2 2 h2 2 2h2 m02c4 2m0c2h( ) 两端相减
m2c2v2 h2 2 h2 2 2h2 cos
m2 [1
v2 c2
]c4

m02c4

2h2
(1 cos )

2m0hc2 (
)
数
R
2 2mee4 (40 )2 h3c
理论值 R 1.0973731107 m1
实验值 RH 1.0967758107 m1
符合得出人意料的好！
Rydberg常数理论值与实验值的偏
差 前面的推导是在假设核静止不动的前提下得到的
但核并非静止的，所以应当采用质心坐标系
在有心力场的两体问题中，只需要用约
2Mv02b sin

2

Fr2 cosdt
0
v0
y
v0
v
v
vr
r
v0 粒子
散射角
b :瞄准距离 r

Ze原子核
2Mv02bsin

2

2 0
Fr 2
cosdt

2
2
z1Ze2
4 0r 2
r2
cosd
z1Ze2
40
整L数 n倍
2
p h

p nh 2L
Ek

p2 2m

n2h2 8mL2
束缚粒子的能量是量子化的
如果将匣子等效为核的库仑势场
• 其中的粒子就是核外电子
2L
• 电子沿轨道运动一周后回到起点
• E轨k 道8nm2hL的22 周8n长2mhr2 2为匣Ep子 长4e度20r的22倍 r 2L
h / p 6.631034 Js /(11012 Js/m) 1022 m
量子态—波粒二象性的必然结果
• 1. 轨道角动量的量子化 • 电子可以在其轨道上稳定地存在，而
不湮灭或消失，则必须以驻波的形式 • 否存则在，会由于波的相干叠加而消失
• 形成驻波的条件：轨道周长是电子波长 的整数倍
L r
2πr
E

Ek

Ep

n2h2
8 mr2

e2
40r
能量的最小值 dE 0
dr
2n2h2 e2 0
8 mr3 40r2
rmin
( e2 )1
40
h2
4 2m

a1
Emin
1 ( e2 )2
2 40
mc2 2c2

13.6eV
氢的Balmer线系
• 2πr =nλ =n (h/p)=nh /(m v)
• m vr = nh /2π • 角动量P =mvr =nh/2π • Bohr模型的第三个假设
2. 刚性匣子中的粒子
• 粒子被限制在刚性匣子 中运动，不能穿透出来
• 粒子在其中以驻波的形 式存在
• 匣子壁是驻波的波节
• 匣子的长度是半波长的
Fr

1
40
2Ze2r R3
P
max
P0 Mv
P
max

Pmax P0
Fmax

1
40
2Ze2 R2
电荷均匀分布球体的场强
• 高斯定理：通过任意一个闭合曲面的
电通量，等于该面所包围的所有电荷
电量的代数和除以真空介电常量。
• 电通量： E S