高三数学二轮复习专题突破课件：解析几何

3
A．[1，＋∞) B．[－1，－ )
3
C．( ，1]
4
4
D．(－∞，－1]
答案：B
解析：∵y＝kx＋4＋2k＝k(x＋2)＋4，所以直线过定点(－2，4)，曲线y＝
4 − x 2 变形为x2＋y2＝4(y≥0)，表示圆的上半部分，当直线与半圆相切时直线斜
3
率为k＝－ ，当直线过点(2，0)时斜率为－1，结合图象可知实数k的取值范围是
a=2
所以 ሺ2 − 3 − ሻ2 + 2 = 2 ，解得 b = 1 .
r=2
2 + ሺ1 − ሻ2 = 2
所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
4．[2023·广东深圳二模]过点(1，1)且被圆x2 ＋y2 －4x－4y＋4＝0所
x＋y－2＝0
截得的弦长为2 2的直线的方程为___________．
－2)的距离为 2 − 0 2 + 0 + 2 2 ＝2 2，由于圆心
α
2
5
＝
2 2 2 2
α
αபைடு நூலகம்
α ＝ 2sin cos ＝
2
2
与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin ＝
10
α
6
， 所 以 cos ＝ ， 所 以 sin
4
2
4
10
6
15
2×
× ＝ .故选B.
4
4
4
r
＝
(2)[2023·河南郑州二模]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2
解析：圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝4，
圆心为(2，2)，半径r＝2，
若弦长l＝2 2，则圆心到直线的距离d＝ r 2 −
l 2
＝
2
2，
显然直线的斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，即kx－y－k＋1＝0，
2k−2−k+1
所以d＝ 2
＝ 2，解得k＝－1，所以直线方程为x＋y－2＝0.
2x＋y－1＝0或y＝1
________________．
解析：若斜率不存在时，过点P(0，1)的直线为x＝0，此时不满足条件；
若斜率存在时，设过点P(0，1)的直线l：y－1＝kx，即kx－y＋1＝0.
3k−3+1
5k+1+1
根据题意，可得 2 ＝ 2 ，解得k1＝－2或k2＝0，
k +1
k +1
在．
2．直线方程常用的三种形式
(1)点斜式：过一点(x0，y0)，斜率k，直线方程为y－y0＝k(x－x0)．
(2)斜截式：纵截距b，斜率k，直线方程为y＝kx＋b.
(3)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)．
3．两个距离公式
(1)两平行直线l1 ：Ax＋By＋C1 ＝0，l2 ：Ax＋By＋C2 ＝0间的距离d＝
2
k + −1
1.(1)[2023·新课标Ⅰ卷]过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两
条直线的夹角为α，则sin α＝(
)
A．1
B．
15
4
C．
10
4
D．
6
4
答案：B
解析：如图，x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，
所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝ 5，所以圆心到点(0，
解析：由题意知两圆的圆心和半径分别为O1(0，0)，O2(3，4)，r1＝1，
r2＝4.因为|O1O2|＝r1＋r2，所以两圆外切．由两圆外切，画出示意图，如
1
3
4
4
图．设切点为A(x，y)．由O1A＝ O1O2，得A( ， )．因为k O1O2 ＝ ，所
5
3
4
3
5
3
5
3
以切线l1的斜率k1＝－ ，所以l1：y－ ＝－ (x－ )，即3x＋4y－5＝0.由
(2)圆的一般方程
D
E
2
2
2
2
x ＋y ＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D ＋E －4F>0，表示以 − ， − 为
圆心，
D2 +E2 −4F
为半径的圆．
2
2
2
2．直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的
位置关系如表．
方法
位置关系
几何法
C1 −C2
.
2
2
A +B
(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝
Ax0 +By0 +C
A2 +B2
.
1.[2023·辽宁丹东二模]直线x＋ay－3＝0与直线(a＋1)x＋2y－6＝0平
行，则a＝(
)
A．－2
B．1
C．－2或1
D．－1或2
答案：A
解析：由题意，
直线x＋ay－3＝0与直线(a＋1)x＋2y－6＝0平行，
1
3
________．
[ ， ]
3
2
a−3
解析：因为kAB＝ ，所以直线AB关于直线y＝a对称的直线方程为(3－a)x－2y
2
＋2a＝0.由题意可知圆心为(－3，－2)，且圆心到对称直线的距离小于或等于1，
所以
3 a−3 +4+2a
4+ 3−a 2
1
3
2
≤1，整理得6a －11a＋3≤0，解得 ≤a≤ .
∴由1×2＝a(a＋1)，得a＝－2或a＝1.
当a＝－2时，l1：x－2y－3＝0，l2：－x＋2y－6＝0，l1∥l2.
当a＝1时，l1：x＋y－3＝0，l2：x＋y－3＝0，l1与l2重合．故选A.
2．[2023·安徽蚌埠三模]已知直线l1：ax＋2y＋1＝0，l2：(3－a)x－y＋a＝
0，则条件“a＝1”是“l1⊥l2”的(
将点(－1，1)代入圆的方程可得(－1－1)2＋(1－2)2<9，
可知点(－1，1)在圆内，
所以直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9相交．故选A.
2．[2023·河北唐山二模]已知圆C1：x2＋y2－2x＝0，圆C2：(x－3)2＋
(y－1)2＝4，则C1与C2的位置关系是(
)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C.必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
a
解析：若l1⊥l2，则(3－a)×(－ )＝－1，
2
解得a＝1或a＝2.
故a＝1是l1⊥l2的充分不必要条件．故选B.0
3 ． 过 点 P(0 ， 1) 且 和 A(3 ， 3) ， B(5 ， － 1) 距 离 相 等 的 直 线 方 程 是
)
A．外切
B．内切
C．相交
D．外离
答案：C
解析：圆C1的圆心为(1，0), r1＝1，
圆C2的圆心为(3，1), r2＝2，
所以r2－r1<|C1C2|＝ 3 − 1 2 + 1 − 0 2 ＝ 5<r2＋r1，
所以圆C1与C2的位置关系是相交．故选C.
3．[2023·河南郑州三模]曲线y＝x2－4x＋1与坐标轴交于A，B，C三
3
2
技法领悟
1．圆的切线方程：(1)过圆上一点的切线方程：对于这种情况可以
通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，进而求出直线方
程．
(2)过圆外一点的切线方程：这种情况可以先设直线的方程，然后联
立方程求出它们只有一个解(交点)时斜率的值，进而求出直线方程．
2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线
在的直线方程；
(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心；
(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．
1.[2023·安徽蚌埠三模]直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y
－2)2＝9的位置关系是(
)
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
答案：A
解析：已知直线l：x＋my＋1－m＝0过定点(－1，1)，
弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝2 r 2 − d2 (其中d为弦心
距)．
3．圆与圆的位置关系
设圆C1 ：(x－a1)2 ＋(y－b1)2 ＝r12 (r1>0)，圆C 2 ：(x－a2)2 ＋(y－b2)2 ＝
r22 (r2>0)．
(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所
＝1的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为(
)
A．2ax＋by－1＝0
B．2ax＋by－3＝0
C．2ax＋2by－1＝0
D．2ax＋2by－3＝0
答案：D
解析：将两圆方程相减可得直线AB的方程为a2＋b2－2ax－2by＝0，
即2ax＋2by－a2－b2＝0，
因为圆C1的圆心为(0，0)，半径为1，且公共弦AB的长为1，
(y－1)2＝1的切线，并且点B(3，4)到直线l的距离是2，这样的直线l有
(
)
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
答案：D
解析：由已知可得，圆心C(2，1)，半径r1＝1.
由点B(3，4)到直线l的距离是2，所以直线l是以B(3，4)为圆心，r2＝2为半径的
圆的切线，
又直线l是圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1的切线，
3
点到直线的距离公式，得
即7x－24y－25＝0.
4
k−
3
k2 +1
3
7
24
4
3
7
24
＝1，解得k＝ ，所以l3：y＋ ＝ (x＋1)，
微专题3
有关圆的最值问题
常考常用结论
1．与圆有关的长度或距离的最值问题的解法
一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解，
注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线距离
根据d＝
Aa+Bb+C
A2 +B2
与r的大小关系
代数法
Ax + By + C = 0 JP4 ሺx −
aሻ2 + y − b 2 = r 2 r > 0 JP .
相交
判断
d<r
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
Δ>0
切线长的计算：过点P向圆引切线PA，则|PA|＝ PC 2 − r 2 (其中C为圆心)．
解析几何
第一讲
直线和圆——小题备考
微专题1 直线的方程及应用
常考常用结论
1．两条直线平行与垂直的判定
若 两 条 不 重 合 的 直 线 l1 ， l2 的 斜 率 k1 ， k2 存 在 ， 则 l1∥l2⇔k1 ＝ k2 ，
l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存
所以，直线l是圆C与圆B的公切线．
因为 BC ＝ 3 − 2 2 + 4 − 1 2 ＝ 10>3＝r1＋r2，
所以，两圆外离，所以两圆的公切线有4条，
即满足条件的直线l有4条．故选D.
(2)[2023·安徽蚌埠二模]若直线y＝kx＋4＋2k与曲线y＝ 4 − x 2 有两
个不同的交点，则实数k的取值范围是
l
的距离d，及半弦长 ，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．
2
3．两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，
这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相
减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．
[巩固训练1] (1)[2023·黑龙江大庆三模]已知直线l是圆C：(x－2)2＋
(x－2)2＋(y－1)2＝4
点，则过A，B，C三点的圆的方程为_________________．
解析：令y＝0，则x2－4x＋1＝0，解得x1＝2－ 3，x2＝2＋ 3，即A(2－ 3，
0)，B(2＋ 3，0)；
令x＝0，得y＝1，即C(0，1)，设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
ሺ2 + 3 − ሻ2 + 2 = 2
当k1＝－2时，直线方程为2x＋y－1＝0，
当k2＝0时，直线方程为y＝1，
综上可得，直线方程为2x＋y－1＝0或y＝1.
微专题2
圆的方程、直线与圆、圆与圆
常考常用结论
1．圆的方程
(1)圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2 ＋(y－b)2 ＝r2 ，
特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.(r>0)
4
5
4
5
图象易得两圆均与直线l2：x＝－1相切，过两圆圆心的直线方程为l：y＝
4
x = −1，
4
y = x，
3
4
x. 联 立
解得
故 直 线 l 与 l2 的 交 点 为 P( － 1 ， －
3
y=− .
x = −1，
3
4
4
)．由切线定理得，两圆的另一公切线l3过点P.设l3：y＋ ＝k(x＋1)．由
3
2
则C1(0，0)到直线2ax＋2by－a2－b2＝0的距离为 ，
所以
a2 +b2
4 a2 +b2
＝
3
，解得a2＋b2＝3，
2
所以直线AB的方程为2ax＋2by－3＝0.故选D.
2.[2022·新高考Ⅱ卷]设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对
称 的 直 线 与 圆 (x ＋ 3)2 ＋ (y ＋ 2)2 ＝ 1 有 公 共 点 ， 则 a 的 取 值 范 围 是
或点到圆心距离．
2．与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法
y−b
形如μ＝ 型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的
x−a
斜率的最值问题；
形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
4
3
[－1，－ )．故选B.
4
(3)[2022·新高考Ⅰ卷]写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相
切的一条直线的方程
3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0或x＋1＝0(答对其中之一即可)
_________________________________________________________．