2016-2017经济数学期末试卷

高职学院
题 分 共 分
．函数()
1lg +=
x x
y 的定义域是（ ）．
．1->x ．0≠x ．0>x ．1->x 且0≠x ．下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等．
．2
)()(x x f =，x x g =)( ．1
1)(2--=x x x f ，x x g =)(
．2ln x y =，x x g ln 2)(= ．x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g
．设x
x f 1
)(=
，则=))((x f f （ ）． ．x 1 ．21
x
．x ．2x
．下列函数中为奇函数的是（ ）． ．x x y -=2 ．x x y -+=e e ．1
1
ln
+-=x x y ．x x y sin = ．已知1tan )(-=
x
x
x f ，当（ ）时，)(x f 为无穷小量 x →0 1→x -∞→x +∞→x ．当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ ）
．12+x x ．)1ln(x + ．2
1
e x - ．x
x
sin
．函数sin ,0(),0x
x f x x k x ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩ 在 处连续，则 ．
． ． ． ． ．曲线1
1
+=
x y 在点（ ）处的切线斜率为（ ）． ．21-
．21 ．3)
1(21+x ．3)1(21+-x
．曲线x y sin =在点 处的切线方程为（ ）． 2
1
．设y x =lg2，则d y =（ ）． ．
12d x x ．1d x x ln10 ．ln10x x d ．1
d x
x ．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． ． ． ． ．
．设需求量 对价格 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为 （ ）．
．
p p
32- ．
--p
p
32 ．
32-p
p
．-
-32p
p
．下列等式不成立的是（ ）．正确答案：
．)d(e d e x x x = ．)d(cos d sin x x x =-
．
x x x
d d 21
= ．)1
d(d ln x x x = ．若c x x f x +-=-
⎰2
e d )(，则)(x
f ' （ ） 正确答案：
2
e x -- 2e 21x
- 2
e 4
1x
- 2e 41x
--
．下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ ）．正确答案： ．⎰+x x c 1)d os(2 ．⎰-x x x d 12 ．⎰x x x d 2sin ．⎰
+x x
x
d 12
若c x x f x
x
+-=⎰11
e d e )(，则 （ ）．正确答案： ．
x 1 ． x 1 ．21x ． 21
x
若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是 ．正确答案： ．)(d )(x F x x f x
a
=⎰ ．)()(d )(a F x F x x f x
a
-=⎰
．)()(d )(a f b f x x F b a
-=⎰ ．)()(d )(a F b F x x f b
a
-='⎰
．下列定积分中积分值为 的是（ ）．正确答案：
．x x
x d 2
e e 1
1⎰--- ．x x
x d 2e e 11⎰--+ ．x x x d )cos (3⎰-+ππ
．x x x d )sin (2⎰-+π
π
．下列定积分计算正确的是（ ）．正确答案： ．2d 211
=⎰-x x ．15d 16
1
=⎰
-x
．0d sin 22
=⎰-
x x π
π ．0d sin =⎰-x x π
π
．下列无穷积分中收敛的是（ ）． 正确答案： ．⎰
∞
+1
d ln x x ．⎰
∞
+0
d e x x ．⎰
∞
+1
2d 1
x x ．⎰∞+13d 1x x
．设()sin 010
x x x
f x x ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩
，则在0=x 处，)(x f （ ）
（ ）．连续 （ ）．左、右极限存在但不相等 （ ）．极限存在但不连续 （ ）．左、右极限不存在
设2()sin x x
f x x
π-=，则函数()f x （ ）
（ ）有无穷多个第一类间断点； （ ）只有 个可去间断点； （ ）有 个跳跃间断点； （ ）有 个可去间断点． ．若点(1,4)是曲线2
3
y ax bx =+的拐点，则
（ ）6,2a b ==-； （ ）2,6a b =-=； （ ）1a b ==； （ ）2a b ==-． 下列各式中正确的是（ ） （ ）．(
())()b a
f x dx f x '=⎰
（ ）
．()()df x f x dx '= （ ）．(())()d f x dx f x =⎰ （ ）．(
())()x a
f t dt f t '=⎰
．某种产品的市场需求规律为8005Q p =-，则价格120p =时的需求弹性d η=（ ） （ ）． （ ）． （ ）． （ ）．
二、填空题（本大题有 小题，每小题 分，共 分）
．函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=2
0,10
5,2)(2x x x x x f 的定义域是
，
．
．函数x
x x f --
+=21)5ln()(的定义域是 ．
．若函数52)1(2
-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x
．
．设2
1010)(x
x x f -+=，则函数的图形关于 轴 对称．
．已知生产某种产品的成本函数为 ，则当产量 时，该产品的平均成本为 ．
．已知某商品的需求函数为 ，其中 为该商品的价格，则该商品的收入函数
．
=+∞→x
x
x x sin lim
．已知x
x
x f sin 1)(-=，当 0→x 时，)(x f 为无穷小量．
已知⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠--=1
11
1)(2x a x x x x f ，若f x ()在),(∞+-∞内连续，则=a
．曲线y =
)1,1(处的切线斜率是
(1)0.5y '=
．
．函数y x =-312
()的驻点是 x =1
．需求量 对价格p 的函数为2
e
100)(p
p q -⨯=，则需求弹性为E p = 2
p -
．
．=⎰
-x x d e
d 2
x x d e 2
- ．
．函数x x f 2sin )(=的原函数是
2
1
是任意常数 ． ．若)(x f '存在且连续，则='⎰
])(d [x f )(x f ' ．
．若c x x x f ++=⎰
2)1(d )(，则=)(x f )1(2+x
．若
c x F x x f +=⎰)(
d )(，则x f x x
)d e (e
--⎰ c F x +--)e (
．
=+⎰e
1
2dx )1ln(d d x x ．积分
=+⎰-1
122d )1(x x x
．
．无穷积分
⎰
∞
++0
2
d )
1(1
x x 是 收敛的 ．（判别其敛散性）
．设边际收入函数为R ' ，且 ，则平均收入函数为： q 2
3
设1
()1ln f x x
=
++的定义域为
当0x →时，若2
ln(1)ax -与sin x x 是等价无穷小量，则常数a = ． 设0()f x A '=，则000
()(2)
lim
h f x f x h h
→--=
设()f x 在(,)-∞+∞上的一个原函数为sin 2x ，则()f x '=
设()f x 为连续函数，且10
()2
()f x x f t dt =+⎰
，则()f x = ．
三、计算题： 本大题有 小题，每小题 分，共 分
．已知y x x
x cos 2-
=，求)(x y ' ． 解： 2cos sin cos ()(2)2ln 2x x x x x x y x x x --''=-=- 2
sin cos 2ln 2x
x x x x
+=+ ．已知()2sin ln x
f x x x =+，求)(x f ' ． 解 x
x x x f x x 1
cos 2sin 2ln 2)(+
+⋅=' ．已知2
sin 2cos x y x
-=，求)(x y ' ．
解 )(cos )2(2sin )(2
2
'-'-='x x x y x
x
2cos 22ln 2sin 2x x x x --= ．已知x x y 53
e
ln -+=，求)(x y '
解：)5(e )(ln ln 3)(52'-+'='-x x x x y x
x x
x
52
5e ln 3--=
．已知x
y cos 25
=，求)2
π(y '；
解：因为 5ln 5sin 2)cos 2(5ln 5)5
(cos 2cos 2cos 2x x x
x x y -='='='
所以 5ln 25ln 52
πsin 2)2π(2π
cos
2-=⋅-='y
．设x x y x
+=2cos e
，求y d 解：因为212cos 23)2sin (e 2x x y x
+-=' 所以x x x y x d ]2
3
)2sin (e 2[d 21
2cos +-=
．设x y x
5sin cos e
+=，求y d ．
解：因为 )(cos cos 5)(sin e 4sin '+'='x x x y x
x x x x sin cos 5cos e 4sin -=
所以 x x x x y x
d )sin cos 5cos
e (d 4sin -=
．设x
x y -+=2
tan 3
，求y d ．
解：因为 )(2ln 2)(cos 133
2'-+'='-x x x y x
2ln 2cos 3322x x x --= 所以 x x
x y x d )2ln 2cos 3(d 3
22
--= ．⎰+-x x x d 242解 ⎰+-x x x d 242 (2)d x x -⎰ 21
22
x x c -+ ．计算
⎰
x x x d 1sin
2
解 c x x x x x x +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1
sin
2
．计算
⎰
x
x
x d 2 解
c x x
x x
x x +=
=⎰⎰
22
ln 2
)(d 22d 2
．计算⎰x x x d sin 解 c x x x x x x x x x x ++-=+-=⎰
⎰sin cos d cos cos d sin ．计算⎰
+x x x d 1)ln (
解 ⎰+x x x d 1)ln ( ⎰
+-+x x x x x d 1)(21ln 1)(2122
c x x x x x +--+4
)ln 2(2122 ．计算
x x
x d e 2
1
21⎰
解 x x x
d e 2121⎰ 2
12
1
1211
e e e )1(d e -=-=-⎰x x
x
．
2e 1
x ⎰
解
x x
x d ln 11
2
e 1
⎰
+ )ln d(1ln 112
e 1
x x
++⎰
2e 1
ln 12x
+ )13(2-
．x x x d 2cos 2π0
⎰
解：x x x d 2cos 20⎰π 202sin 21π
x x x x d 2sin 2120⎰π
2
02cos 41π
x 21-
．
x x d )1ln(1
e 0
⎰
-+
解
x x x x x x x d 1
)
1ln(d )1ln(1
e 0
1e 0
1
e 0
⎰
⎰
---+-+=+ x x d )11
1(1e 1e 0⎰-+-
-- 1
e 0)]1ln([1e -+---x x ＝e ln
四、解答题（本大题有 小题，每小题 分，共 分）
． 设生产某种产品x 个单位时的成本函数为：x x x C 625.0100)(2
++=（万元）
解（ ）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：
x x x C 625.0100)(2++= 625.0100
)(++=
x x
x C ，65.0)(+='x x C 所以，1851061025.0100)10(2
=⨯+⨯+=C 5.1861025.010100)10(=+⨯+=C ，
116105.0)10(=+⨯='C
（ ）令 025.0100
)(2=+-
='
x
x C ，得20=x （20-=x 舍去） 因为20=x 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当=x 时，平均成本最小
求：（ ）当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本；（ ）当产量x 为多少时，平均成本最小？
．某厂生产一批产品，其固定成本为 元，每生产一吨产品的成本为 元，对这种产品的市场需求规律为q p
=-100010（q 为需求量，p 为价格）． 试求：（ ）成本函数，收入函数； （ ）产量为多少吨时利润最大？ 解（ ）成本函数C q () q ．
因为 q p =-100010，即p q =-1001
10
， 所以 收入函数R q () p ⨯q 1001
10
-q q 1001102q q -．
（
）
因
为
利
润
函
数
L q () R q () C q () 1001102q q -
q q 1
10
2q
且'L q () q
110
2
q ') q 令'L q () ，即 q ，得q ，它是L q ()在其定义域内的唯一驻点． 所以，q 是利润函数L q ()的最大值点，即当产量为 吨时利润最大． ．某厂生产某种产品 件时的总成本函数为 （元），单位销售价格为 （元 件）
试求：（ ）产量为多少时可使利润达到最大？ （ ）最大利润是多少？ 解（ ）由已知2
01.014)01.014(q q q q qp R -=-==
利润函数2
2
2
02.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-= 则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q 因为利润函数存在着最大值，所以当产量为 件时可使利润达到最大，
（ ）最大利润为 1230125020250025002.02025010)250(2
=--=⨯--⨯=L （元） ．某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元） 为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？
解 因为 ()9800
()0.536C q C q q q q
==++ (0)q > 298009800
()(0.536)0.5C q q q q
''=++
=- 令()0C q '=，即059800
2
.-q ，得q 1 ，q 2 （舍去）
q 1 是C q ()在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值
所以q 1 是平均成本函数C q ()的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为 件 此时的平均成本为
9800
(140)0.514036176140
C =⨯++
= （元 件） ．已知某厂生产q 件产品的成本为C q q q
()=++2502010
2（万元）
．问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？
解 因为 C q ()
C q q () 2502010
q q
++ 'C q () (
)2502010q q ++' -+
2501
10
2q 令'C q () ，即-
+=2501
10
02q ，得150q =，q 2 （舍去）
， q 1 是C q ()在其定义域内的唯一驻点．
所以，q 1 是C q ()的最小值点，即要使平均成本最少，应生产 件产品。