河南高考模拟卷-2019高考模拟数学-试卷(理)

数学科试题（理科）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的
1．已知集合，，则=
}032{2
>--=x x x A }4,3,2{=B B A C R ⋂)(A ．B ．C ．D ．
}
3,2{}
4,3,2{}
2{φ2．已知是虚数单位，，则=i i
z +=
31
z z ⋅A ．
B ．
C ．
D ．
51010
1
5
13．执行如图所示的程序框图，若输入的点为，则输出的值为
(1,1)P n A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
（第3题） （第4题）
4．如图，是边长为8的正方形，若，且为的中点，则ABCD 1
3
DE EC =F BC EA EF ⋅=
A ．10
B ．12
C ．16
D ．20
5．若实数满足，则的最大值是
y x ,⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤-≤+012y x y y x y
x z 82⋅=A ．4
B ．8
C ．16
D ．32
6.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为A ． 3228516++B ．
32532+C ． 32216+D ．32
216516++7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是A ．
B ．
C ．
D ． 10
1
511035
48．设是数列的前项和，且，，则=n S }{n a n 11-=a 11++⋅=n n n S S a 5a A ．
B ．
C ．
D ． 30
1
031-
02120
1-9. 函数(
)1
ln
1x
f
x x
-=+的大致图像为
10. 底面为矩形的四棱锥的体积为8，若平面,且，则四棱锥
ABCD P -⊥PA ABCD 3=PA 的外接球体积最小值是
ABCD P -
A ．
B ．
C ．
D ． π625π125π6
251π2511. 已知抛物线,过焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B 两点，以AB
()2
20y px p =>为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是3，则抛物线的准线方程为
A ．
B ．．．1x =-x =x =x =12. 已知函数（），函数，直线分别与两函数交于
x x x f ln )(2
-=2
2
≥
x 21)(-=x x g t y =两点，则的最小值为
B A ,AB A ．
B ．
C ．
D ．
2
1
12
3
2二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.
设样本数据，，...，的方差是5，若（），则，
1x 2x 2018x 13+=i i x y 2018,...,2,1=i 1y ，...，的方差是________
2y 2018y 14. 已知函数（），若，则方程在的实
x x x f ωωcos 3sin )(-=0>ω3=ω1)(-=x f ),0(π数根个数是_____
15. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入 的方格内，
33⨯使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…， 填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方2n n n ⨯形就叫做阶幻方.记阶幻方的一条对角线上数的和为 (如：在3阶幻方中，
n n n N )，则=_______
315N =5N
16.已知中，内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，且，．ABC ∆a b c 1c =π
3
C =
若，则的面积为
sin sin()sin 2C A B B +-=ABC ∆三、解答题：本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分，第22—23题为选考题，
考生根据要求做答，每题10分．17.(本小题满分12分)
设数列是公差为的等差数列.}{n a d (Ⅰ) 推导数列的通项公式；
}{n a (Ⅱ) 设，证明数列不是等比数列.
0≠d }1{+n a 18．(本小题满分12分)
某中学为了解全校学生的上网情况，在全校随机抽取了40名学生(其中男、女生各占一半)进行问卷调查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0，5)，[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25]，得到如图所示的频率分布直方图．
(Ⅰ)写出女生组频率分布直方图中的值；
a (Ⅱ)在抽取的40名学生中从月上网次数不少于20的学生中随机抽取2人，并用表示随X 机抽取的2人中男生的人数，求的分布列和数学期望．
X 19.(本小题满分12分)
在直三棱柱中，，。

111C B A ABC -21===AA AC AB CA BA ⊥
C 1
B 1
A 1
C
B
A
(Ⅰ)证明：；
1BC ⊥1AB (Ⅱ) 求直线与平面所成的角．C A 111BC A
20.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中，已知椭圆，
xoy )0(1:22
22>>=+b a b
y a x E 圆，若圆的一条切线与椭圆相交于两)0(:2
2
2
b r r y x O <<=+O m kx y l +=:E B A ,点.
(Ⅰ)当,若点都在坐标轴的正半轴上,求椭圆的方程；
1,3
1
=-=r k B A ,(Ⅱ)若以为直径的圆经过坐标原点，探究之间的等量关系.
AB r b a ,,21.(本小题满分12分)
已知函数（是自然对数的底数）.
ax e x f x
-=)(e
(Ⅰ) 求的单调区间；
)(x f (Ⅱ)若，当对任意恒成1-≥a m ax x a x x xf +-++-
≥132
35)(2
3
),0[+∞∈x 立时，的最大值为1，求实数的取值范围.
m a 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请先将对应题号用铅笔涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为
xOy 1C ⎩⎨
⎧+==.
sin 31,
cos 3θθy x θ极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
x 2C θρcos 2=(Ⅰ) 写出的普通方程和的直角坐标方程；
1C 2C (Ⅱ) 设点在上，点在上，判断与的位置关系并求的最小值．
P 1C Q 2C 1C 2C ||PQ 23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数（）.12)(-++=x m x x f 0>m (Ⅰ)当时，解不等式；
1=m 2)(≥x f (Ⅱ)当时，不等式
恒成立，求实数的取值范围.]2,[2
m m x ∈1)(2
1
+≥x x f m 数学科答案（理科）
一、选择题 1-5 6-10 11-12ACADD ABCBC BA
二、填空题 13.45 14.3 15.65 16.6
343或
三、解答题
17.
解：（1）因为是等差数列且公差为d ，所以 (1)
}{n a ）（21≥=--n d a a n n ， ，... ， (3)
d a a =-∴12d a a =-23d a a n n =--1将上述式子相加，得 d
n a a n )1(1-=- 所以，数列的通项公式为.................6}{n a d n a a n )1(1-+=（2）假设数列是等比数列，
(7)
}1{+n a 当时，，，成等比数列2≥n 11+-n a 1+n a 11++n a 所以 (9)
)
1()1()1(112
+⋅+=++-n n n a a a 所以 ])1[(])1[()1(2d a d a a n n n ++⋅-+=+所以
，所以，这与矛盾
02=d 0=d 0≠d 所以，数列不是等比数列 (12)
}1{+n a 18.解：(1)由频率分布直方图，得a =错误！未找到引用
1(20.020.030.08)5
5
-⨯++⨯源。

=0.05． (3)
(2)在抽取的女生中，月上网次数不少于20的学生的频率为0.02×5=0.1，
学生人数为0.1×20=2．.........................4同理，在抽取的男生中，月上网次数不少于20的
学生人数为0.03×5×20=3，.....................................5故X 的所有可能取值为0，1，2，
则 错误！未找到引用源。

，错误！未找到2225C 1(0)C 10P X ===1123
2
5C C 6(1)C 10P X ===引用源。

， (9)
2
325C 3
(2)C 10
P X ===
所以X 的分布列为
X 012
P
11035310
所以E (X )=0×
错误！未找到引用源。

+1×错误！未找到引用源。

+2×=1103
5
310错误！未找到引用源。

． (126)
5
19.解：（1）由题意，以A 为坐标原点，以AB,AC,所在直线分别为x 轴，y 1AA 轴,z 轴建立空间直角坐标系A-xyz.因为2
1===AA AC AB 则，，，，， (3)
)0,0,0(A )0,0,2(B )0,2,0(C )2,0,0(1A )2,0,2(1B )2,2,0(1C 所以，）（2,2,21-=−→
−BC ）（2,0,21=
−→
−AB 所以..........................................4040411=++-=⋅−→
−−→
−AB BC 所
以
，
所以
−→
−−→−⊥11AB BC 1BC ⊥1
AB (5)
（2）又因为，所以）（2,0,21-=−→
−B A 0404A 11=-+=⋅−→
−−→
−B A B 所以又因为−→
−−→−⊥B A B 11A B
BC B A =⋂11所以，............................................8111BC A AB 平面⊥又，所以.. (10)
)2,2,0(1-=−→
−C A 21
8
84,cos 11-=⋅->=
<−→
−−→−AB C A 所以 ， (113)
2,11π
>=
<−→
−−→−AB C A 所以直线与平面所成的角为
(12)
C A 111BC A 6
π
20.解（1）因为圆的一条切线为O m
kx y l +=: 所以，当，所以..................2r k m
=+211,31=-=r k 310=m 又点都在坐标轴的正半轴上，所以，所以切线B A ,310=
m 3
10
31:+-=x y l 所以两点坐标是和，..............................4B A ,)3
10
,
0()0,10(所以椭圆的方程为 (51109102)
2=+
y x （2）设，，以为直径的圆经过坐标原
),(11y x A ),(22y x B AB 所以，所以..................602121=+y y x x 0))((2121=+++m kx m kx x x 所以0
)()1(221212=++++m x x km x x k 由所以⎪⎩
⎪⎨⎧+==+
m kx y b y a x 122
2202)(222222222=-+++b a m a x kma x k a b 所以，...............................8222222221b k a b a m a x x +-=22
22
212b k a kma x x +-=+所以.................100)()2())(1(2222222222=++-+-+b k a m kma km b a m a k 且)
1(222k r m +=所以,................................112222222)1()1()(b a k k r b a +=++所以
(12)
222111r b a =
+21.解（1）因为
(1)
a e x f x
-=')( ①时，恒成立，所以在上单调递增，无减区间； (2)
0≤a 0)(≥'x f )(x f R
②时，有，
0>a 0)(=-='a e x f x a x ln =且时，.时，，
)ln ,(a x -∞∈0)(<'x f ),(ln +∞∈a x 0)(>'x f 所以的增区间是，减区间是 (4)
)(x f ),(ln +∞a )ln ,(a -∞（2）对任意恒成立，m ax x a x x xf +-++-
≥132
35)(2
3),0[+∞∈x 所以对任意恒成立m ax x a x ax e x x +-++-≥-132
35)(2
3),0[+∞∈x 所以对任意恒成立..............51)32)
1(3(2+-++-≤a x a x e x m x ),0[+∞∈x 设，因为的最大值为1，.........6),0[,32
)
1(3)(2+∞∈-++-=x a x a x e x g x m 所以恒成立032
)
1(3)(2≥-++-=a x a x e x g x ， (7)
2)
1(32)(++-='a x e x g x 令
2)1(32)(++-=a x e x h x
所以有，且，，，02)(=-='x
e x h 2ln =x )2ln ,0[∈x 0)(<'x h ),2[ln +∞∈x 0
)(>'x h 所以
02ln 2)1(2
3
2)2(ln )(>-++='≥'a g x g 所以在是单调递增的。

(10)
)(x g ),0[+∞∈x 所以恒成立，所以 (11)
031)0()(≥-=≥a g x g 3
1
≤a 所以实数的取值范围是 (12)
a 31
,1[-22.解：(Ⅰ) 的普通方程为： ………………（２分）
1C 22(1)9x y +-=将的极坐标方程变形为：，2C 2=2cos ρρθ∵，，
x =θρcos y =θρsin ∴的直角坐标方程为：
2C 222x y x +=即． ………………（５分）22(1)1x y -+=(Ⅱ) 由(Ⅰ)知：曲线与都是圆．
1C 2C 圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为1C 1C (0,1)13r =2C 2C (10)，21
r =
高三数学（理）科试题（第11页 共6页）
∵1212||2||
C C r r =<=-∴圆与圆内含 ………………（８分）
1C 2C 的最小值为：
………………（10分）
||PQ 1212||||2r r C C --=23.解：（1）由题知，. (1)
2121≥-++x x 所以①，解得...........................2⎪⎩⎪⎨⎧≥-++≥2
12121x x x 32≥x ②，解得..........................3⎩
⎨⎧≥+----≤21211x x x 1-≤x ③，解得.......................4⎪⎩⎪⎨⎧≥-++<<-2
211211x x x 01≤<-x 所以，不等式的解集是..................5(]⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞∞-,320, （2）因为，所以................................6⎩⎨⎧><0
22m m m 21>m 不等式1)(2
1+≥x x f 所以...............................82212+≥-++x x m x 所以m
x -≥3 所以...................................9m m -≥3 所以2
3
≥m 所以，实数m 的取值范围是.....................10⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,23。