2022-2023学年安徽省合肥四十五中八年级上学期期末数学试卷及参考答案

2022-2023学年安徽省合肥四十五中初二数学第一学期期末试卷
一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．在平面直角坐标系中，点(2,1)P −所在的象限是( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，下列4个防疫知识图片是轴对称图形的图片是( )
A ．打喷嚏 捂口鼻
B ．喷嚏后 慎揉眼
C ．勤洗手 勤通风
D ．戴口罩 讲卫生
3．如图中表示一次函数y mx n =+与正比例函数(y mnx m =、n 是常数，0)mn ≠图象的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角，那么这三角形一定是( ) A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．直角三角形或锐角三角形
D ．钝角三角形
5．已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为( ) A ．7
B ．9
C ．9或12
D ．12
6．如图，已知ABC DEF ∆≅∆，CD 平分BCA ∠，若20A ∠=︒，88CGF ∠=︒，则E ∠的度数是( )
A ．34︒
B ．30︒
C ．28︒
D ．24︒
7．如图，D 为ABC ∆内一点，CD 平分ACB ∠，BE CD ⊥，垂足为D ，交AC 于点E ，
A ABE ∠=∠，10AC =，6BC =，
则BD 的长为( )
A ．1
B ．1.5
C ．2
D ．2.5
8．如图，OC CD DE ==，若75BDE ∠=︒，则CDE ∠的度数是( )
A ．70︒
B ．75︒
C ．80︒
D ．85︒
9．如图，在55⨯的正方形网格中，ABC ∆的三个顶点都在格点上，则与ABC ∆有一条公共边且全等（不与ABC ∆重合）的格点三角形（顶点都在格点上的三角形）共有( )
A ．5个
B ．6个
C ．7个
D ．8个
10．如图．在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，⋯和1B ，2B ，3B ，⋯分别在直线1
5
y x b =+和x 轴上，△11OA B ，
△122B A B ，△233B A B ，⋯都是等腰直角三角形，如果点1(1,1)A ，那么2023A 的纵坐标是( )
A ．20223
()2
B ．20033
()2
C ．20224
()3
D ．20034
()2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．命题“如果0ab =，那么0a =”是 命题（填“真”或“假” )
12．如图．在ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点P ，设A ∠的度数为x 度，BPC ∠的度数为y 度，则y 与x 之间的函数关系式为 ．
13．等边ABC ∆的边长为12cm ，点P 、Q 分别是边BC 、CA 上的动点，点P 、Q 分别从顶点B 、C 同时出发，且速度都是3/cm s ，则经过 秒后，PCQ ∆是直角三角形．
14．如图，ABC ∆中，AB AC =，50BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，将C ∠沿(EF E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，则OEC ∠为 度．
三、（本大题共9小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知点(34,2)P a a −−+，解答下列各题： （1）若点P 在x 轴上，试求出点P 的坐标； （2）若(5,8)Q ，且//PQ y 轴，试求出点P 的坐标．
16．已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，化简：||2||||a b c a b c a b c +−−−−+++．
17．如图，正方形网格中，建立平面直角坐标系，ABC ∆是格点三角形（顶点都在格点上的三角形）． （1）画出ABC ∆关于y 轴对称的△111A B C ；
（2）画出△111A B C 向下平移5个单位长度得到的△222A B C ；
（3）若点(,)P m n 为ABC ∆边上一点，请直接写出点P 经过（1）（2）两次图形变换后的对应点2P 的坐标 ．
18．如图，在ABC ∆中，AD 是高，10DAC ∠=︒，AE 是BAC ∠外角的平分线，BF 平分ABC ∠交AE 于点F ，若48ABC ∠=︒，求AFB ∠的度数．
19．已知一次函数4
y kx
=+，一次函数图象经过点
1
(,3)
2
．
（1）求k的值；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出函数图象；（3）当24
y
−<时，x的取值范围为．
20．如图，ABC
∆是等边三角形，延长BC到E，使
1
2
CE BC
=．点D是边AC的中点，连接ED并延长交AB于F．
（1）求EFB
∠的度数；
（2）求证：2
DE DF
=．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点(8,0)
A，与y轴交于(0,8)
B，点D为OA延长线上一动点，以BD为直角边在其上方作等腰三角形BDE，连接EA．
（1）求证EAD OAB
∠=∠；
（2）求直线EA与y轴交点F的坐标．
22．某商场购进甲、乙两种空气净化器共80台进行销售，甲空气净化器每台利润为300元，乙空气净化器每台利润为500元．设购进甲空气净化器x（台)，这80台空气净化器全部售出的总利润为W（元)．
（1）求W关于x的函数表达式；
（2）若乙空气净化器的数量不超过甲空气净化器的3倍，当甲空气净化器购进多少台时，销售总利润最大？最大总利润是多少？
23．（14分）已由在ABC
=，过点B引一条射线BM，D是BM上一点．
∆中，AB AC
【问题解决】
（1）如图1，若60
∠=︒，求证：60
ADB
BDC
∠=︒．
ABC
∠=︒，射线BM在ABC
∠内郃，60
小明的做法是：在BM上取一点E，使得AE AD
∠的度数．
=，再通过已知条件，求得BDC
请你帮助小明写出证明过程：
【类比探究】
（2）如图2，已知30
∠的度数．
∠内，求BDC
ABC ADB
∠=∠=︒．当射线BM在ABC
【变式迁移】
（3）如图3，已知30
∠
∠的度数会变化时？若改变，请求出BDC ABC ADB
∠=∠=︒．当射线BM在BC下方，BDC
的度数：若不变，请说明理由．
答案与解析
一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．解：点P坐标为(2,1)
−，即横坐标为负数，纵坐标为正数，则它位于第二象限，
故选：B．
2．解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
选项D能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形．
故选：D．
3．解：①当0
mn>，m，n同号，同正时y mx n
=+过1，2，3象限，同负时过2，3，4象限；
②当0
mn<时，m，n异号，则y mx n
=+过1，3，4象限或1，2，4象限．
故选：C．
4．解：设这个外角的度数为x，则与它相邻的内角的度数为180x
︒−，
由题意可得：180
x x
<︒−，
∴<︒，
x
90
x
∴︒−>︒，
18090
∴这个三角形是钝角三角形，
故选：D．
5．解：当2为腰时，三边为2，2，5，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，
当5为腰时，三边为5，5，2，符合三角形三边关系定理，周长为：55212
++=．
故选：D．
6．解：ABC DEF
∠=︒，
∆≅∆，20
A
∴∠=∠=︒，B E
20
D A
∠=∠，
∴∠+∠=︒−∠=︒−︒=︒，
180********
E F D
在四边形ECGF中，360()36088160112
∠=︒−∠−∠+∠=︒−︒−︒=︒，
ECG CGF E F
∴∠=︒−∠=︒−︒=︒，
DCB ECG
180********
BCA DCB
∴∠=∠=︒，
∠，2136
CD平分BCA
E B A BCA
∴∠=∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，
1801802013624
故选：D．
7．解：CD平分ACB
∠，
∴∠=∠，
BCD DCE
BE CD ⊥，
90BDC EDC ∴∠=∠=︒，
又CD CD =，
()CDB CDE ASA ∴∆≅∆，
BD DE ∴=，6CE BC ==，即BCE ∆为等腰三角形，
4AE AC CE ∴=−=，
又A ABE ∠=∠， BE AE ∴=，
∴1
22
BD DE BE ===， 故选：C ．
8．解：OC CD DE ==， O ODC ∴∠=∠，DCE DEC ∠=∠， 2DCE O ODC ODC ∴∠=∠+∠=∠， 375O OED ODC BDE ∠+∠=∠=∠=︒， 25ODC ∴∠=︒，
180105CDE ODC BDE ∠+∠=︒−∠=︒， 10580CDE ODC ∴∠=︒−∠=︒．
故选：C ． 9．解：如图所示，
以BC 为公共边可画出BDC ∆，BEC ∆，BFC ∆三个三角形和原三角形全等． 以AB 为公共边可画出ABG ∆，ABM ∆，ABH ∆三个三角形和原三角形全等． 以AC 为公共边不可以画出一个三角形和原三角形全等， 所以可画出6个． 故选：B ．
10．解：如图，
1(1,1)A 在直线1
5
y x b =
+上， 45b ∴=， 1455
y x ∴=
+， 设22(A x ，2)y ，33(A x ，3)y ，44(A x ，4)y ，⋯，20222022(A x ，2022)y ， 则有221455y x =+，
331455
y x =
+， ⋯
2021202114
55
y x =
+， 又△11OA B ，△122B A B ，△233B A B ，⋯都是等腰直角三角形， 2122x y y ∴=+， 312322x y y y =++，
⋯
2023123202220232222x y y y y y =+++⋯++，
将点坐标依次代入直线解析式得到： 211
12
y y =+， 3122113
1222y y y y =++=， 433
2
y y =
， ⋯
202220213
2
y y =
， 又
11y =，
232
y ∴=
， 233
()2y =，
343
()2
y =，
⋯
202220233
()2
y =，
故选：A ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．解：命题“如果0ab =，那么0a =”是假命题； 故答案为假．
12．解：在ABC ∆中，A x ∠=︒， 180180ABC ACB A x ∴∠+∠=︒−∠=︒−︒． PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠， 1
2
PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠．
在PBC ∆中，180BPC PBC PCB ∠+∠+∠=︒，
111
180()180()180(180)90222BPC PBC PCB ABC ACB x x ∴∠=︒−∠+∠=︒−∠+∠=︒−︒−︒=︒+︒，
1
902
y x ∴=+
． 故答案为：1
902
y x =+
． 13．解：由题意得：3BP CQ t ==cm ， 所以(123)PC t cm =−， ABC ∆是等边三角形， 60C ∴∠=︒，
①若90PQC ∠=︒时，30CPQ ∠=︒，
2PC CQ ∴=， 即12323t t −=⨯， 解得：43
t =
； ②若90CPQ ∠=︒，
30CQP ∴∠=︒，
2CQ PC ∴=， 即32(123)t t =−， 解得：83
t =， 所以当4
3
t =
或83时，PCQ ∆是直角三角形； 故答案为：
4
3
或83． 14．解：分别连接OB ，OC ，如图所示， 50BAC ∠=︒，AO 为BAC ∠的平分线， 11
502522
BAO BAC ∴∠=∠=⨯︒=︒．
又AB AC =，
18050652
ABC ACB ︒−︒
∴∠=∠=
=︒． DO 是AB 的垂直平分线， OA OB ∴=；
25ABO BAO ∴∠=∠=︒．
652540OBC ABC ABO ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒． DO 是AB 的垂直平分线，AO 为BAC ∠的平分线，
∴点O 是ABC ∆的外心， OB OC ∴=；
40OCB OBC ∴∠=∠=︒；
将C ∠沿(EF E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合， OE CE ∴=．
40COE OCB ∴∠=∠=︒；
在OCE ∆中，
1801804040100OEC COE OCB ∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，
故答案为：100．
三、（本大题共9小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．解：（1）点P 在x 轴上，
20a ∴+=，2a ∴=−，
342a ∴−−=，(2,0)P ∴
（2）(5,8)Q ，且//PQ y 轴，
345a ∴−−=，3a =−，
21a ∴+=−，
(5,1)P −
16．解：ABC ∆的三边长分别是a 、b 、c ，
∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则0a b c +−>，0a b c −−<，0a b c ++>， ||2||||22242a b c a b c a b c a b c a b c a b c a c ∴+−−−−+++=+−+−−+++=−．
17．解：（1）如图所示，△111A B C 即为所求；
（2）如图所示，△222A B C 即为所求；
（3）点2P 的坐标为(,5)m n −−．
故答案为：(,5)m n −−．
18．解：AD 是高，
90ADB ∴∠=︒，
9042BAD ABC ∴∠=︒−∠=︒，
又10DAC ∠=︒，
52BAC ∴∠=︒，
128MAC ∴∠=︒， AE 是BAC ∠外角的平分线， 1642MAE MAC ∴∠=∠=︒， BF 平分ABC ∠，
1242
ABF ABC ∴∠=∠=︒， 40AFB MAE ABF ∴∠=∠−∠=︒．
19．解：（1）由题意得，当12x =
，则1432
k +=． 2k ∴=−． （2）由（1）得，该一次函数的解析式为24y x =−+，则(0,4)、(1,2)在该函数图象上． ∴该函数图象如图所示：
（3）由（2）中24y x =−+的函数图象可知，当24y −<时，则03x <． 故答案为：03x <．
20．（1）解：ABC ∆是等边三角形，
AC BC ∴=，60ACB B ∠=∠=︒，
D 为AC 的中点，
12AD CD AC ∴==
，
12
CE BC =， CD CE ∴=，
60E CDE ACB ∠+∠=∠=︒，
30E CDE ∴∠=∠=︒， 60B ∠=︒，
180603090EFB ∴∠=︒−︒−︒=︒；
（2）证明：连接BD ，
ABC ∆是等边三角形，
AB BC ∴=，60ABC ∠=︒， D 为AC 的中点，
1302
DBC ABD ABC ∴∠=∠=∠=︒， 30E ∠=︒，
DBC E ∴∠=∠，
DE BD ∴=， 90BFE ∠=︒，30ABD ∠=︒，
2BD DF ∴=，
即2DE DF =．
21．（1）证明：过点E 作EG x ⊥轴，如图1所示，
90EGD DOB EDB ∴∠=∠=∠=︒，ED DB =，
1290∴∠+∠=︒，2390∠+∠=︒，
13∴∠=∠，
在EGD ∆和DOB ∆中，
13EGD DOB
ED DB
∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
()EGD DOB AAS ∴∆≅∆，
EG DO ∴=，GD OB =，
(8,0)A ，(0,8)B ，
8OB OA ∴==，
GD OA ∴=，
DO DA OA DA DG AG ∴=+=+=，
EG AG ∴=，
45EAG GEA ∴∠=∠=︒，
又8OA OB ==，
45OAB OBA ∴∠=∠=︒，
EAD OAB ∴∠=∠；
（2）解：如图2，
45EAD ∠=︒，90AOF ∠=︒，
45OAF OFA ∴∠=∠=︒，
8OA OF ∴==，
∴点F 的坐标为(0,8)−．
22．解：（1）根据题意得，300500(80)20040000W x x x =+−=−+；
（2）乙空气净化器的数量不超过甲空气净化器的3倍，
803x x ∴−，
2080x ∴，
1000−<，
W ∴随x 的增大而减小，
∴当20x =时，W 的值最大，最大值200204000036000=−⨯+=（元)，
答：当甲空气净化器购进20台时，销售总利润最大，最大利润是36000元．
23．（1）证明：如图1，在BM 上取一点E ，使AE AD =，
60ADB ∠=︒，
ADE ∴∆是等边三角形，
60EAD ∴∠=︒，
AB AC =，60ABC ∠=︒，
ABC ∴∆是等边三角形，
60BAC ∴∠=︒，
BAC EAD ∴∠=∠，
BAC EAC EAD EAC ∴∠−∠=∠−∠，即BAE CAD ∠=∠，
在BAE ∆和CAD ∆中，
AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()BAE CAD SAS ∴∆≅∆，
120ADC AEB ∴∠=∠=︒，
1206060BDC ∴∠=︒−︒=︒；
（2）解：如图2，在BD 上取一点E ，AE AD =， 30ABC ADB ∠=∠=︒，AB AC =，
30ABC ACB ∴∠=∠=︒，30AED ADE ∠=∠=︒， 120BAC EAD ∴∠=∠=︒，
BAE CAD ∴∠=∠，
在BAE ∆和CAD ∆中，
AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()BAE CAD SAS ∴∆≅∆，
18030150ADC AEB ∴∠=∠=︒−︒=︒， 15030120BDC ∴∠=︒−︒=︒；
（3）BDC ∠的度数会变化，
理由：如图3．在DB 延长线上取一点E ，使得AE AD =， 同理①的方法可证：BAE CAD ∆≅∆， 30ADC E ∴∠=∠=︒，
303060BDC ADE ADC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．。