2022北京中考数学一模分类《几何综合压轴题》含答案解析

2022北京中考一模数学分类——几何综合压轴题
一、倍长八字共5小题
1.（2022朝阳一模27题）在ABC △中，D 是BC 的中点，且90BAD ∠≠︒，将线段AB 沿AD 所在
直线翻折，得到线段AB '，作//CE AB 交直线AB '于点E ． （1）如图，若AB AC >， ①依题意补全图形；
②用等式表示线段,,AB AE CE 之间的数量关系，并证明；
（2）若AB AC <，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由；若不成立，直接用等式表示线段
,,AB AE CE 之间新的数量关系（不需证明）．
2.（2022顺义一模27题）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，EF 垂直平
分CD ，分别交AC ，BC 于点E ，F ，连接DE ，DF ． （1）求∠EDF 的度数；
（2）用等式表示线段AE ，BF ，EF 之间的数量关系，并证明．
3.（2022平谷一模27题）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ,点D 为AB 边上一点（不与点A ，B 重合），作射线C D ，过点A 作AE ⊥CD 于E ，在线段AE 上截取EF=EC ，连接BF 交CD 于G.
(1)依题意补全图形； (2)求证：∠CAE=∠BCD
(3)判断线段BG 与GF 之间的数量关系，并证明.
4.（2022丰台一模27题）如图，在△ABC 中，∠BAC=α,点D 在边BC 上（不与B,C 重合），连接AD,以点A 为中心，将线段AD 逆时针旋转180°-α得到线段AE,连接BE. （1）∠BAC+∠DAE= °
（2）取CD 的中点F ，连接AF ，用等式表示线段AF 与BE 的数量关系，并证明。

5.（2022石景山一模27题）如图，△ACB 中，AC =BC ，∠ACB =90°，D 为边BC 上一点（不与点C 重合），
CD ＜BD ，点E 在AD 的延长线上，且ED =AD ，连接BE ，过点B 作BE 的垂线， 交边AC 于点F ． （1）依题意补全图形； （2）求证：BE =BF ；
（3）用等式表示线段AF 与CD 的数量关系，并证明．
A
B
C
D
A
B
C
D
二、一线三垂直共1小题
6.（2022通州一模27题）如图，在Rt ACB △中， 90ACB ∠=︒ ，AC BC =．点D 是BC 延长线上一点，连接AD ．将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE ．过点E 作//EF BD ，交AB 于点F ． （1）①直接写出AFE ∠的度数是____________；②求证：DAC E ∠=∠； （2）用等式表示线段AF 与DC 的数量关系，并证明．
三、三线合一共1小题
7.（2022大兴一模27题）已知：如图，OB =BA ，∠OBA =150°，线段BA 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AC .连接BC ，OA ，OC ，过点O 作OD ⊥AC 于点D .
（1）依题意补全图形； （2）求∠DOC 的度数.
四、手拉手共5小题
8.（2022燕山一模27题）如图，在三角形ABC 中，AB =AC ，∠BAC <60°，AD 是BC 边的高线，将线段AC 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AE ，连接BE 交AD 于点F ． （1）依题意补全图形，写出∠CAE= ° （2）求∠BAF+∠ABF 和∠FBC 的度数；
（3）用等式表示线段AF ，BF ，EF 之间的数量关系，并证明．
9.（2022门头沟一模27题）如图，在等边△ABC 中，将线段AC 绕点A 顺时针旋转(060)αα<<，得到
线段AD ，连接CD ，作∠BAD 的平分线AE ，交BC 于E ． （1）① 根据题意，补全图形；
② 请用等式写出∠BAD 与∠BCD 的数量关系，并证明．
（2）分别延长CD 和AE 交于点F ，用等式表示线段AF ，CF ，DF 的数量关系，
并证明．
A
B C A B C A
B C
10.（2022房山一模27题）已知：等边ABC，过点B作AC的平行线l．点P为射线AB上一个动点（不与点,A B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转60°交直线l于点D．
（1）如图1，点P在线段AB上时，依题意补全图形；
∠=∠；
①求证：BDP PCB
BC BD BP之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段,,
BC BD BP之间的数量关系．
（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段,,
11.（2022海淀一模27题）27．在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，D 为边BC 上一动点，
点E 在边AC 上， C E CD =．点D 关于点B 的对称点为点F ，连接AD ，P 为AD 的中点，连接
,,PE PF EF ．
（1）如图1，当点D 与点B 重合时，写出线段PE 与PF 之间的位置关系与数量关系；
（2）如图2，当点D 与点,B C 不重合时，判断（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例。

12.（2022西城一模27题）已知正方形ABCD,将线段BA绕点B旋转α(0°＜α＜90°),得到线段BE,连接EA,EC.
(1)如图1,当点E在正方形ABCD的内部时,若BE平分∠ABC,AB=4,则∠AEC= °,四边形ABCE的
面积为；
(2)当点E在正方形ABCD的外部时,
①在图2中依题意补全图形,并求∠AEC的度数；
②作∠EBC的平分线BF交EC于点G,交EA的延长线于点F,连接CF,用等式表示线段AE,FB,FC之
间的数量关系,并证明.
2022北京中考数学一模分类——几何综合压轴题（教师版）
一、倍长八字共5小题
1.（2022朝阳一模27题）在ABC △中，D 是BC 的中点，且90BAD ∠≠︒，将线段AB 沿AD 所在
直线翻折，得到线段AB '，作//CE AB 交直线AB '于点E ． （1）如图，若AB AC >， ①依题意补全图形；
②用等式表示线段,,AB AE CE 之间的数量关系，并证明；
（2）若AB AC <，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由；若不成立，直接用等式表示线段
,,AB AE CE 之间新的数量关系（不需证明）．
【答案】（1）①如图
②法一：延长AD 交CE 延长线与F 点（类似倍长中线） ∵CE ∥AB ∴∠1=∠B ∠2=∠F
又∵D 为BC 中点∴BD=CD ∴△ABD ≌△FCD （AAS ） ∴AB=FC ∴
AB=EF+EC
又∵AB 与AB ´关于AD 对称 ∴∠2=∠3 ∴∠3=∠F 即：EF=AE ∴AE+EC=AB ②法二：补短法
连接B ´ D 与 B ´ C ，∵ D 为AB 中点，AB 与AB ´关于AD 对称 ∴ BD=BD ´=DC ，∠6=∠B ∴ ∠DB ´C=∠DCB ´ 又∵ EC ∥AB ∴∠7 =∠B ∴∠7 =∠6 ∴ ∠ 1 =∠ 2 ∴EC=EB ´ ∴ AB ´=AE+EB ´ ∴AE+EC=AB （2）不成立；AE=EC+AB 或CE=AB+AE ①AE=EC+AB 证法一 ：（类倍长中线）
延长AD 交EC 延长线与点F 在△ABD 与△FCD 中
{∠1=∠F
∠ADB =∠FDC BD =CD
∴△ABD ≌△FCD （AAS ） ∴AB=CF
又∵ AB 与AB ´关于AD 对称 ∴∠ 1 =∠ 2+∠ 3 ∴∠ 2+∠ 3=∠ F 即EA=EF 又∵EF=EC+CF ∴ AE=EC+AB AE=EC+AB 证法二： 截长法
连接B ´ D 与 B ´ C
∵ AB 与AB ´关于AD 对称 ∴△ABD ≌△AB ´D ∴BD=B ´D ∠B=∠AB ´D
又∵ EC ∥AB ∴∠B+∠DCE=180°
又∵∠AB ´D +∠DB ´E=180° ∴∠DCE=∠DB ´E
又∵D 为AB 中点 ∴BD=CD ∴BD=CD=B ´D ∴∠ 7=∠ 8 ∴∠ 6=∠ 5即EB ´=EC
∴ AE=EC+AB
②CE=AB+AE ,理由如下：
如图，连接BD,BC
·∵将线段AB 沿AD 所在直线翻折，得到线段AB ´ ∴AB ´=AB ，∠6=∠7
又∵CE ∥AB ∴ ∠1=∠2
∵ D 为BC 中点 ∴ CD=BD
在△ABD 和△KCD 中 {∠1=∠2´
CD =BD ∠3=∠4
∴△ABD ≌△KCD(ASA ） ∴ AB=CK
∵CE ∥AB ∴∠5=∠6
又∵∠7=∠8 ∴∠5=∠8 ∴EA=EK ∴CE=AB+AE
2.（2022顺义一模27题）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，EF 垂直平分CD ，分别交AC ，BC 于点E ，F ，连接DE ，DF ．
（1）求∠EDF 的度数；
（2）用等式表示线段AE ，BF ，EF 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：解法（一）
∵EF 垂直平分CD
∴EC=ED,FC=FD ∴∠ECD=∠EDC,∠FCD=∠FDC ∴∠ECF=∠EDF
∵∠ACB=90°∴∠EDF=90°
解法（二）
∵EF 垂直平分CD ∴EC=ED,FC=FD
∵EF=EF ∴△ECF ≌△EDF ∴∠ECF=∠EDF
∵∠ACB=90°∴∠EDF=90°
（2）AE 2+BF 2=EF 2
证法（一）
证明：延长FD 到M ，使DM=DF,连接 AM,EM
∵AD=BD,∠ADM=∠BDF ∴△ADM ≌△BDF ∴∠MAD=∠B,AM=BF
∵∠ACB=90°∴∠CAB+∠B=90°（这里也可以证AM ∥BC 得∠MAC+∠ACB=180°）
∴∠EAM=90°∴AE 2+AM 2=EM 2
由（1）得∠EDF=90°又∵FD=DM ∴EF=EM ∴AE 2+BF 2=EF 2
（本作法也可叙述为：过A 点作AM ∥CB,交FD 的延长线于M ，证法大同小异）
证法（二）
证明：延长ED到N,使DN=DE ,连接BN,FN
∵AD=BD，∠ADE=∠BDN ∴△ADE≌△BDN ∴AE=BN，∠A=∠DBN
∵∠ACB=90°∴∠A+∠ABC=90°（这里也可以证AC∥BN 得∠NBC+∠ACB=180°）
∴∠FBN=90°∴BN2+BF2=FN2
由（1）得∠EDF=90°∴EF=NF ∴AE2+BF2=EF2
3.（2022平谷一模27题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D为AB边上一点（不与点A，B重合），作射线C D，过点A作AE⊥CD于E，在线段AE上截取EF=EC，连接BF交CD于G.
(1)依题意补全图形；
(2)求证：∠CAE=∠BCD
(3)判断线段BG与GF之间的数量关系，并证明.
27.(1)补全图形 (1)
(2) 证明：
∵∠ACB=90°
∴∠BCD+∠ACD=90° (2)
∵AE⊥CD
∴∠CAE+∠ACD=90°
∴∠CAE=∠BCD (3)
（3）方法一：BG=FG (4)
过B作BM⊥CD于M，
∵∠CAE=∠BCD，AC=BC，∠AEC=∠BMC=90°∴△AEC≌△CBM（AAS） (5)
∴BM=CE
∵CE=EF
∴BM=EF (6)
∵∠AEG=∠BMG=90°
∠EGF=∠BGM
∴△EFG≌△BMG（AAS）
∴FG=BG (7)
方法二：
证明：延长AE 到H ，使EH=FE ，连接FC 、CH 、BH.
∵AE ⊥CD 于E , EF=EC
∴△FEC 是等腰直角三角形
∵EF=EH
∴FC=CH ，∠CFH=∠CHE=45°
∴△FCH 是等腰直角三角形 (5)
∵∠HCB+∠BCF=90°
∠ACF+∠BCF=90°
∴∠ACF=∠BCH
∵AC=BC ，CH=CF
∴△AFC ≌△CHB （SAS ） (6)
∴∠CHB=∠CFA=135°
∴∠AHB=135°-45°=90°
∴EG 平行于HB ∴11
FG FE BG EH == ∴FG=BG (7)
4.（2022丰台一模27题）如图，在△ABC 中，∠BAC=α,点D 在边BC 上（不与B,C 重合），连接AD,以点A 为中心，将线段AD 逆时针旋转180°-α得到线段AE,连接BE.
（1）∠BAC+∠DAE= °
（2）取CD 的中点F ，连接AF ，用等式表示线段AF 与BE 的数量关系，并证明。

〖答案〗
（1）∠BAC+∠DAE=α+180°-α=180°.
（2）BE=2AF
证法一
延长AF 至G ，使FG=AF,连接CG
∵DF=CF ∠AFD=∠GFD
∴△AFD ≌△GFC
∴AD=GC ∠ADC=∠GCF
设∠BAD=β
∵AB=AC ∠BAC=α
∴∠ACB=∠ABC=180°−α2=90°-α2
∠ADC=∠ABC+∠BAD=90°-α
+β=∠GCF
2
∴∠ACG=∠ACB+∠GCF=180°-α+β
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=180°-α+β
∴∠BAE=∠ACG
∵AB=AC AE=AD=GC
∴△BAE≌△ACG
∴BE=AG=2AF
证法（二）
延长DA到M，使AM=DA 连接MC ∵DF=CF∴CM=2AF
∵∠BAC=α∠DAE=180°-α
∴∠MAE=α=∠BAC
∴∠BAE=∠CAM
∵AB=AC AE=AD=AM
∴△ABE≌△ACM
∴BE=CM=2AF
延长CA到N,使AN=AC 连接DN
∵DF=CF∴CM=2AF
∵∠BAC=α∠DAE=180°-α
∴∠NAB=180°-α=∠DAE
∴∠BAE=∠NAD
∵AB=AC=AN AE=AD
∴△ABE≌△AND
∴BE=ND=2AF
5.（2022石景山一模27题）如图，△ACB中，AC=BC，∠ACB=90°，D为边BC上一点（不与点C重合），
CD＜BD，点E在AD的延长线上，且ED=AD，连接BE，过点B作BE的垂线，
交边AC于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：BE=BF；
（3）用等式表示线段AF与CD的数量关系，并证明．
A B C D
A B C
D
证明：(2)在DB 上截取DK=DC,结合DE=DA 得平行四边形ACEK.
于是CD=DK,CK=2CD,KE=CA=CB,KE∥AC,注意AC⊥BC,知KE⊥BC.
因此∠EKB=∠ACD=90°.
又由∠FBC+∠CBE=∠FBE=90°=∠BEK+∠CBE 有∠FBC=∠CBE.
在△BKE 与△FCB 中，∠BKE=∠FCB,KE=CB,∠KEB=∠CBF,
所以△BKE ≅△FCB （ASA ）,所以BE=FB.
(3)由（2），△BKE ≅△FCB ，知BK=FC,结合BC=AC 推出AF=CK=2CD. 证法二
证明：
将等腰Rt△ABC 沿BC 翻折，得等腰Rt△KBC.则ACK 共线.△KBC ≅△ABC.
从而BK=BA,CK=CA,∠BKA=∠BAK=45°,∠CBK=∠CBA=45°,∠ABK=90°=∠FBE. 所以∠ABF=∠KBE.
A
A
连接EK.注意DE=AD,可知EK=2DC,EK∥DC.
因BC⊥AK,故EK⊥AK，故∠BKE=45°=∠BAF.
在△ABF 与△KBE 中，∠ABF=∠KBE,AB=KB,∠BAF=∠BKE,
所以△ABF ≅△KBE （ASA ），
所以
BF=BE ， (2)得证；
AF=KE=2DC, (3) 得证.
证法三
证明：如图沿BF 翻折△ABF,得△KBF；沿BC 翻折△ABC,得△KBC.ACL 共线. ∠BKF=∠BLF=45°,BFKL 共圆.
EL=2CD,EL∥CD,EL⊥AL,BFLE 共圆.
BFKLE 共圆.
∠BEF=∠BLF=45°，BF=BE.（2）得证.
∠FLK=∠FBK=∠FBA=∠LBE=∠LFE,KL∥FE,FK=EL,AF=2CD. (3)得证.
二、一线三垂直共1小题
A
6.（2022通州一模27题）如图，在Rt ACB △中， 90ACB ∠=︒ ，AC BC =．点D 是BC 延长线上一
点，连接AD ．将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE ．过点E 作//EF BD ，交AB 于点F ．
（1）①直接写出AFE ∠的度数是____________；②求证：DAC E ∠=∠；
（2）用等式表示线段AF 与DC 的数量关系，并证明．
【答案】
27．（1）①AFE ∠的度数是135︒； ………………… 1分 ②证明： ∵90ACB =︒∠，AC BC =，∴45BAC B ==︒∠∠，
∵90DAE ∠=︒，∴45DAC EAF ∠+∠=︒ , …………………
2分 ∵ EF ∥BD ，∴45EFB B ∠=∠=︒. ∴45EAF E ∠+∠=︒.
∴DAC E ∠=∠. ………………… 3分
（2）线段AF 和CD 的数量关系是AF =.
证明：延长EF 交AC 于点G . ………………… 4分
∵EF CB ∥ ，90ACB =︒∠ ∴90ACD =︒∠，90AGE =︒∠， ………………… 5分 ∴ACD EGA =∠∠在△DCA 和△AGE 中， DCA AGE DAC E AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DCA ≌△AGE ， ………………… 6分
∴CD AG = ∵45BAC =︒∠∴AF =
. ………………… 7分 ∴AF =.
法二：在AC 上截取CH ＝CD ，连接DH ，证明△ADH ≌△EAF （ASA ）
∠ACD=90°∴∠DHC=45°∴
DH=DC ……………5分 ∴∠ADH+∠DAH=45°（三角形的外角等于与它不相邻内角的两个内角和） ∴∠EAF+∠DAH=45°（由图可得）
∴∠ADH=∠EAF 又∵∠DAH=∠E （由（1）②可知） AD=AE (旋转)
∴△ADH ≌△AEF （AAS ）………………6分
∴DH=AF ∴AF=CD ………………………………7分
法三：见下图：过A 点作AH ⊥AC ，且AH ＝AC ，连接EH 。

则△AEH ≌△ADC ，∴HE=DC 。

过点F 作FM ⊥AH 于点H ，则可得
矩形EFMH ，∴MF=HE=DC ，AF=MF ，可得结论AF=CD 。

(注：最后一问添加辅助线的方法：截长补短和旋转)
三、三线合一共1小题
7.（2022大兴一模27题）已知：如图，OB =BA ，∠OBA =150°，线段BA 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AC .连接BC ，OA ，OC ，过点O 作OD ⊥AC 于点D .
（1）依题意补全图形；
（2）求∠DOC 的度数.
2222H
【答案】27．（本小题满分7分）（1）补全图形如图所示，
（2）辅助线如图所示：
法1：【利用∠EOA=∠DOA ，“角平分线到角两边距离相等”，过点A 作OB 延长线的垂线，再利用利用∠EBA =30°， AE = AD =
12AB =12AC = DC ,中点和垂足重合，三线合一得所求是15°】 过点A 作AE ⊥BO 于E ．
∴∠AEB = 90º，
∵∠ABO =150°，
∴∠ABE = 30º，
∠BAE = 60º，
又∵BA = BO ，
∴∠BAO =∠BOA = 15º，
∴∠OAE = 75º，
∵∠BAC = 90°，
∴∠DAO =∠BAC -∠BAO =90°-15°= 75º，
∴∠OAE =∠DAO ，
∵OD ⊥AC 于点D ，
∴∠AEO =∠ADO = 90º，
∴△AOE ≌ △AOD ，
(4)
分
∴AE = AD ，
在Rt △ABE 中，∠ABE = 30º，
∴12AE AB =，
又∵AB = AC ， ∴1122
AE AD AB AC ===， ∴AD = CD ，
又∵∠ADO =∠CDO = 90º，
∴△ ADO ≌△CDO ，
.............................................................6分
∴∠DCO =∠DA O =75º，
∴∠DOC =15º． (7)
分
法2：【出现30°，利用30°所对直角边等于斜边一半，此时又出现了矩形ADEB, BE = AD =
1 2AB =
1
2
AC = DC ,中点和垂足重合，三线合一得所求是15°】
过点B做BE⊥OD交于点E。

∵OB=BA，∠OBA=150°
∴∠BOA = 15º
∵OD⊥AC于点D，线段BA绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，BE⊥OD ∴BA//OD ，四边形BADE是矩形，BA =AC
∴∠BAO =∠AOD = 15º,∠BOE = 30º，BE =AD
∴BE =AD =1
2OB =
1
2
BA =
1
2
AC = DC
∴AD = DC (4)
分
又∵∠ADO =∠CDO = 90º，
∴△ ADO ≌△CDO，.............................................................6分∴∠DOC =15º．.............................................................7分
法3：【与法2类似，构造含有30°角的直角三角形，此时又出现了矩形ADOE, OE = AD=1
2
BO =1
2
BA =
1
2
AC = DC ,中点和垂足重合，三线合一得所求是15°】
延长AB，过点O做OE垂直AB延长线于点E。

则：AD//EO,∠EAO = ∠AOD ∵OB=BA，∠OBA=150°
∴∠BOA = ∠BAO = ∠AOD = 15º
∴∠OBE = 30º, OE =1
2OB =
1
2
BA
∵OD⊥AC于点D，线段BA绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，OE⊥AB
∴四边形ADOE是矩形，OE =AD =1
2OB =
1
2
BA =
1
2
AC = DC
∴点D 是△AOC底边AC的中点和垂足....................................................4分
由等腰三角形三线合一得，
.............................................................6分
∴∠DOC = ∠AOD = 15º．
.............................................................7分
法4：【构造平行四边形含有30°角的直角三角形，结合∠ADO =90°，∠AED = 30°, 得到AD
=1
2
AE =
1
2
BO =
1
2
BA =
1
2
AC = DC ,中点和垂足重合，三线合一得所求是15°】
过点A做AE//BO,交OD于点E。

∵OB=BA，∠OBA=150°
∴∠BOA = ∠BAO = 15º
∵OD⊥AC于点D，线段BA绕点A逆时针旋转90°得到线段AC ∴BA//OD, OB = BA = AC
∴四边形AEOB是平行四边形，∠BOA = ∠BAO = ∠AOD = 15º∴∠BOE = ∠AED = 30º
∴AD = 1
2AE =
1
2
OB =
1
2
BA =
1
2
AC
∴点D 是△AOC底边AC的中点和垂足....................................................4分
由等腰三角形三线合一得，
.............................................................6分
∴∠DOC = ∠AOD = 15º．
.............................................................7分
法5：【构造正方形，△BOE是等边三角形，得到∠EOC =∠ECO =15°，再由EC//OD，得∠DOC =∠OCE = 15°】
过点B做BE//AC，与CA的垂线CE交于点E。

∵线段BA绕点A逆时针旋转90°得到线段AC
∴BA⊥AC，BA = AC
∵BE//AC
∴∠ABE = 90º
又∵AC⊥CE
∴四边形ABEC是正方形
∴BE = AC = AB = BO
∵∠OBA=150°
∴∠OBE = 60º
∴三角形EOB是等边三角形,EO = EB = EC
∴∠OEC = 150º
∵∠EOC = ∠ECO =
15º ...................................................4分
∴OD⊥AC,∠ACE = 90º
∴
OD//EC .................................................... .....6分
∴∠DOC = ∠EOC = 15º．
............................................................7分
法6：【利用△ABO 外角等于30°，构造含有30°的直角△ABF ，AF 等于BF 的一半；同理，FD 等于OF 的一半；利用AD 和AC 的一半关系，即中点，三线合一得∠DOC = ∠OCE = 15°】
延长CA 、OB 交于点F 。

∵ OB = BA ，∠OBA =150°
∴∠BOA = ∠BAO = 15º, ∠FBA = 30º
∴AF = 12BF , AB = BO =2
AF ∵OD ⊥AC ，线段BA 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AC
∴BA//OD , ∠BOA = ∠BAO = ∠AOD = 15º, AB = AC AF
∴∠FOD = 30º, FD =
12OF =12( OB ＋BF ) AF ＋AF = FA ＋AD
AF = AD =12AC ∴点D 是△AOC 底边AC 的中点和垂
足 ....................................................4分
由等腰三角形三线合一得，
.............................................................6分
∴∠DOC = ∠AOD = 15º．
.............................................................7分
法7：【在AB上取一点K，构造含有30°的直角△ADK，AD等于KD的一半；利用∠KDC =∠BOD = 30°得到四边形BKDO是等腰梯形，从而得到AD等于BO（＝BA＝AC ）一半，三线合一得∠DOC =∠OCE = 15°】
在AB上取一点K，使得∠AKD＝ 30°
∵线段BA绕点A逆时针旋转90°得到线段AC
∴∠BAD = 90º, AD = 1
KD , BA = AC
2
∵OD⊥AC
∴BA//OD
∴∠KDO = 30°
∵OB = BA，∠OBA=150°，BA//OD
∴∠BOA = ∠BAO =∠AOD = 15º
∴∠BOD = 30º
∴四边形BKDO是等腰梯形
∴KD = 2AD = OB = BA = AC
∴点D 是△AOC底边AC的中点和垂足....................................................4分
由等腰三角形三线合一得，
.............................................................6分
∴∠DOC = ∠AOD = 15º．
.............................................................7分
四、手拉手共5小题
8.（2022燕山一模27题）如图，在三角形ABC 中，AB =AC ，∠BAC <60°，AD 是BC 边的高线，将线段AC 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AE ，连接BE 交AD 于点F ．
（1）依题意补全图形，写出∠CAE= °
（2）求∠BAF+∠ABF 和∠FBC 的度数；
（3）用等式表示线段AF ，BF ，EF 之间的数量关系，并证明．
【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，补全图形即可；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质，求得∠BAD =
12
∠BAC ，由旋转的性质可得∠ABE =∠E ，由三角形内角和定理在△ABE 中，∠ABE +∠E +∠BAC =180°-∠CAE ，便可求得∠BAF +∠ABF ，再由三角形外角的性质可得∠FBC ； （3）在EF 上取点M ，使EM =BF ，连接AM ，由△ABF ≌△AEM 求得AF =AM ，∠BAF =∠EAM ，再由∠CAE =60°可得△AFM 是等边三角形，便可解答；
【小问1详解】
解：如图分别以A ，C 为圆心，以AC 为半径作弧，两弧交于点E ，连接BE 交AD 于点F ，则∠CAE =60°；
【小问2法（1）详解】
解：∵AB AC =，AD 是BC 边的高线， ∴1
2
BAD BAC ∠=
∠， ∵线段AC 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE ， ∴AB AE =，又60CAE ∠=︒， ∴ABE E ∠=∠，
在ABE △中，180120∠+∠+∠=︒−∠=︒ABE E BAC CAE ， ∴
()1
602
ABE E BAC ∠+∠+∠=︒ ∴60BAF ABF ∠+∠=︒
又∵AD 是BC 边的高线，∴90ADB ∠=︒ ∵∠BFD =∠BAF +∠ABF ，
∴()9030FBC BAF ABF ∠=︒−∠+∠=︒． 【小问2法（2）图解】
思路：构造辅助圆
【小问3法（1）详解】
解：如图，在EF 上取点M ，使EM =BF ，连接AM ，
∵AB=AE，∠ABF=∠AEM，BF=EM，∴△ABF≌△AEM（SAS），
∴AF=AM，∠BAF=∠EAM，
∵∠DAC=∠BAF，∴∠DAC=∠EAM，
∵∠CAE=60°，∴∠FAM=60°，
∴△AFM是等边三角形，
∴FM=AF，
∴AF+BF=EF；
【小问3法（2）图解】
思路：在线段EF上截取EM=BF,构造△ABF≌△AEM（SAS），证△AFM是等边三角形，进而转化结论：AF+BF=EF 【小问3法（3）图解】
思路:连接CE在线段FE上截取FG=FC,构造等边三角形FCG;证△ABF≌△ACF;证△ACF≌△ECG;进而转化结论：AF+BF=EF
【小问3法（4）图解】
思路：延长FD到点G,使得FG=FB,构造等边三角形BFG;证△ABG≌△ECF;进而转化结论：AF+BF=EF 【小问3法（5）图解】
思路：连接CE;倍长FD到点G,使得DG=FD,证△BFD≌△CGD;
可证；△FCG是等边三角形；
再证△ACG≌△ECF;
进而转化结论：AF+BF=EF
【小问3法（6）图解】
思路：在线段FE上截取FG=FA,构造等边三角形AFG;证△ABG≌△AEF;进而转化结论：AF+BF=EF
F D
E
A
B
C
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形判定的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质；熟练掌握相关性质是解题关键．
9.（2022门头沟一模27题）如图，在等边△ABC 中，将线段AC 绕点A 顺时针旋转(060)αα<<，得到线段AD ，连接CD ，作∠BAD 的平分线AE ，交BC 于E ．
（1）① 根据题意，补全图形；
② 请用等式写出∠BAD 与∠BCD 的数量关系，并证明．
（2）分别延长CD 和AE 交于点F ，用等式表示线段AF ，CF ，DF 的数量关系，
并证明．
解：（1）① 略；………………………………………………………………………………2分
② ，理由如下：………………………………………………3分 ∵
是等边三角形，
∴ .
∵ 线段AC 绕点A 顺时针旋转， ∴ ，.
∴ ，
.
又∵ ，
∴ . A
B C A B C A
B C
=2BAD BCD ∠∠ABC 60BAC ACB ABC ∠=∠=∠=(060)αα<<=CAD α∠=AC AD =60BAD BAC CAD α∠∠∠=−−180ACD D α∠∠=+−=AC AD ==
1801
9022
ACD D αα∠∠−=−
F D
E
G
A
B
C
∴.
∴. ……………………………………………………………5分 （2）AF ，CF ，DF 的数量关系是AF CF DF =+，证明如下：
将线段CF 绕点C 顺时针旋转60°交AF 于点G .
∵ABC 是等边三角形，
∴AB AC BC ==，60ACB ∠=. ∴FCG ACB ∠=∠.
∴FCG BCG ACB BCG ∠−∠=∠−∠. 即BCF ACG ∠=∠.
∵ AE 平分BAD ∠，=2BAD BCD ∠∠ ∴ BAF DAF BCF ∠=∠=∠. ∵ AEB CEF ∠=∠，
∴ 180180BAF AEB BCF CEF −∠−∠=−∠−∠. 即60ABC AFC ∠=∠=. ∵60FCG ∠=， ∴
CFG 是等边三角形.
∴ CG FG CF ==. ∴
ACG ≌
()BCF SAS
=1190603022
BCD ACD ACB αα∠∠−∠⎛⎫=−−=− ⎪⎝⎭
=2BAD BCD ∠∠
∴AG BF
=.
∵=
AC AD，
AB AD.
∴=
ADF SAS
∴ABF≌()
=.
∴BF FD
∴AG FD
=.
∴+
=.…………………………………………………………………7分AF DF CF
10.（2022房山一模27题）已知：等边ABC，过点B作AC的平行线l．点P为射线AB上一个动点（不与点,A B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转60°交直线l于点D．
（1）如图1，点P在线段AB上时，依题意补全图形；
∠=∠；
①求证：BDP PCB
BC BD BP之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段,,
BC BD BP之间的数量关系．
（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段,,
【答案】27．（本小题满分7分）
27.（1）①补全图形如图所示，
…………………………………………………1分
证明：设PD 交BC 于点E ∵ABC △是等边三角形
∴60BAC ABC ACB ∠=∠=∠=︒ ∵将射线PC 绕点P 顺时针旋转60° ∴60DPC ∠=︒ ∵//l AC
∴60DBE ACB ∠=∠=︒ ∴60DBE CPE ∠=∠=︒ ∵BED PEC ∠=∠
∴BDP PCB ∠=∠ ……………………………………………………3分
②BC BD BP =+
法1：【利用“先量后猜再证明”或出现60°和旋转构造全等，使得BQ=BP 】
在BC 上取一点Q 使得BQ =BP ，连接PQ ∵60ABC ∠=︒
∴PBQ △是等边三角形 ∴PB =PQ ，∠BPQ =60° ∴BPD CPQ ∠=∠
又∵BDP PCB ∠=∠ ∴PBD PQC △≌△ ∴BD QC = ∵BC BQ QC =+
∴BC BD BP =+ …………………………………………………5分
法2：【利用“四点共圆”和出现60°和旋转构造全等，截取BD=BG 】
在BC 上取一点G 使得BD =BG ，连接DG ∵60DBC ACB ∠=∠=︒
∴BDG △是等边三角形，DBG ∠=60°，BD =GD 由上问知：BDP PCB ∠=∠
∴四边形BPCD 四点共圆（同底同侧的顶角相等的两个三角形，四点共圆）。

∴BPD GCD ∠=∠ 在△BDP 与△GDC 中：
∵BD =GD ，BPD GCD ∠=∠，∠DBP =∠DGC =120° ∴BDP GDC △≌△ ∴BP GC = ∵BC BG GC =+
∴BC BD BP =+ …………………………………………………5分
（2）BC BD BP =+ …………………………………………………7分
证明：在BC 上截取一点E 使得BE =BP ，连接PE. ∵ABC △是等边三角形
∴60BAC ABC ACB ∠=∠=∠=︒ ∵将射线PC 绕点P 顺时针旋转60° ∴60DPC ∠=︒ ∵//l AC
∴60DBC ACB PBD ∠=∠=∠=︒ ∴PBE △是等边三角形 ∵BPE BPC CPE
CPD EPD CPE
∠=∠+∠⎧⎨
∠=∠+∠⎩
∴BPC EPD ∠=∠ 在△BPC 与△EPD 中：
∵BPC EPD ∠=∠，PBC PED ∠=∠，PB=PE ∴BPC EPD △≌△
=
∴BC ED
=+
∵BD BE ED
=+
∴BC BD BP
11.（2022海淀一模27题）27．在Rt ABC
△中，90
∠=︒，D为边BC上一动点，
BAC
∠=︒，30
ABC
点E在边AC上，C E CD
=．点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接
PE PF EF．
,,
（1）如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；
（2）如图2，当点D与点,B C不重合时，判断（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例。

【答案】
12.（2022西城一模27题）已知正方形ABCD,将线段BA绕点B旋转α(0°＜α＜90°),得到线段BE,连接EA,EC.
(1)如图1,当点E在正方形ABCD的内部时,若BE平分∠ABC,AB=4,则∠AEC= °,四边形ABCE的
面积为；
(2)当点E在正方形ABCD的外部时,
①在图2中依题意补全图形,并求∠AEC的度数；
②作∠EBC的平分线BF交EC于点G,交EA的延长线于点F,连接CF,用等式表示线段AE,FB,FC之
间的数量关系,并证明.
【答案】解：（1）135
，； ········································································· 2分 （2）① 补全图形，如图1．
∵正方形ABCD 的边BA 绕点B 旋转α 得到线段BE ，
∴BE =BA =BC ，∠ABC =90°，∠ABE =α． ∴∠BEA =∠BAE =90°2
α
−
， ∠BEC =∠BCE =45°2
α
−
．
∴∠AEC =∠BEA −∠BEC =45°． ··················································· 4分
②
2FC AE =−．
构造全等的方法：
法1：（等线段，共端点，必旋转）
证明：过点B 作BH ∥EC 交FC 的延长线于点H ，如图．
∵BE =BC ，BF 平分∠EBC ，
H
∴BF 垂直平分EC ． ∴FE =FC ，∠FGC =90°． ∴∠FEC =∠FCE =45°． ∴∠GFC =45°． ∵BH ∥EC ，
∴∠FBH =∠FGC =90°，∠H =∠FCG =45°． ∴BF =BH ·tan45°=BH ，FH =
2sin 45
FB
=． ∵∠ABF =90°－∠FBC ，∠CBH =90°－∠FBC ， ∴∠ABF =∠CBH ． ∵AB =CB ， ∴△ABF ≌△CBH ． ∴AF =CH ．
∵FH =FC ＋CH =FC ＋AF =FC ＋FE －AE =2FC －AE ，
=2FC －AE ． ································································· 7分
法2：（等线段，共端点，必旋转）
简证：过点B 作BH ∥EC 交FE 的延长线于点H
Step1：△BCF ≌△BAH （SAS ）
Step2FH FE EH FC EH FC FC AE ==+=+=+−=
D
构造相似的方法：
法3：
简证：连接AC ，过点C 作CH ⊥CE 交EF 的延长线于点H
Step1：△BCF ∽△ACH （两边成比例及其夹角相等）
Step22AH EH AF FC EF AE FC FC AE ==+=+
−=+−=
法4：
简证：在CF 的延长线上截取FH =FA ，连接AH ，AC Step1：△ABF ∽△ACH （两边成比例及其夹角相等）
Step22CH FC FH FC FA FC FC AE FC ==+=+=+−=
D
E。