八年级数学(华教版)上册课件-【2.定理与证明】

2. 下列命题是定理的是（ B ） A. 两点之间，线段最短 B. 两直线平行，内错角相等 C. 两点确定一条直线 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
基本事实、定理、真命题之间的联系与区别：
命题
从基本事实或其他 真命题出发
可以作为进一步判断 其他命题真假的依据 真命题
定理
基本事实与定理的联系与区别： 定理与基本事实都是真命题，都是我们解决问题的依据， 它们的区别是:基本事实是公认的真命题，不需要推理论证； 定理是由基本事实直接或间接推理论证得到的.
思考
（1）一位同学在钻研数学题时发现:
2 + 1 =3， 2×3 + 1 = 7， 2×3×5 + 1 = 31， 2×3×5×7 + 1 = 211
计算一下2×3×5×7×11+1 与2×3×5×7×11×13+1，
你发现了什么？
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论: 从质数 2 开始，排在前面的任意多个质数的乘积加 1 一定也是质数. 他的结论正确吗？
实际上，这是一个正确的结论.
上面几个例子说明: 通过特殊的事例得到的结论可 能正确，也可能不正确.因此，通过这种方式得到的结论， 还需进一步加以证实.
证明：
根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理， 来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．
证明的依据：
证明必须做到“言必有据”，每步推理都要有依据，它们 可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、已经学过的 定理，以及等式的性质、等量代换等．
定理：
数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发， 用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步 判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．
试一试
1. 下列命题中属于基本事实的是（ C ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 三角形的外角和等于 360° C. 两点确定一条直线 D. 直角三角形两锐角互余
（1）两点确定一条直线； （2）两点之间，线段最短； （3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （4）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； （5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等， 那么这两条直线平行.
这些都是公认的真命题，我们把它视为基本事实.
基本事实：
公认的真命题视为基本事实. 它们是用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点．
华东师大版·八年级上册
2.定理与证明
新课导入
问题1：什么是命题？命题的结构是什么？ 定义：判断一件事情的语句. 构成：每个命题都是由题设、结论两部分组成. 命题常写成“如果……那么……”的形式.
问题2：命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？
真命题和假命题
举反例
探究新知
回忆一下，我们学过哪些真命题？
2. 把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式: （1）全等三角形的对应角相等; （2）有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形.
解: （1）如果两个三角形是全等三角形，那么它们 的对应角相等． （2）如果一个等腰三角形有一个角等于 60°，那么 它是等边三角形．
3.如图，已知 AB⊥MN，CD⊥MN ，垂足分别为点 E、F，直线 PQ 分 别交 AB、CD 于点 S、T. 求证: ∠AST = ∠STD. 对于上述问题，请将下 列证明过程补充完整.证明 AB ⊥ MN，CD ⊥ MN (已知)， ∴AB∥CD (在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行)， _∵__A_B__和__C__D__被__P_Q__所__截__,_________________________________________ _∴__∠__A_S_T__＝__∠__S_T_D__(_两__直__线__平__行__,内__错__角__相__等__)_．_______________________
（1）同旁内角互补，两直线平行； （2）三角形的外角和等于 360°.
（1）同旁内角互补，两直线平行；
解: （1）如果同旁内角互补，那么两条直线平行．条件是 “同旁内角互补”，结论是“两条直线平行”． 已知: 如图，直线 AB、CD 和直线 EF 交于点G、H ， ∠BGH ＋ ∠GHD ＝ 180°， 求证: AB∥CD ． 证明: ∵ ∠BGH＋∠GHD ＝180°， ∠1＋ ∠BGH ＝180°, ∴∠1＝∠GHD (等角的补角相等)， ∴AB ∥CD (同位角相等，两直线平行)
（2）三角形的外角和等于 360°.
已知:如图，△ABC 中，∠DAC，∠EBA ，∠BCF 为△ABC 的外角． 求证:∠DAC ＋ ∠EBA ＋∠BCF＝360°． 证明:由题意，可得 ∠BAC＋∠CAD ＝180°， ∠ABC＋∠EBA ＝180°，∠BCA ＋∠BCF＝180°， ∴∠BAC ＋ ∠CAD ＋ ∠ABC ＋ ∠EBA ＋ ∠BCA ＋ ∠BCF＝540°． 由三角形内角和定理知 ∠BAC ＋ ∠ABC ＋∠ACB＝180°， ∴∠DAC＋∠EBA ＋∠FCB＝ 540°－180°＝ 360°． 即三角形外角和等于 360°．
习题13.1
1. 判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题， 举一个反例加以说明: （1）两个锐角的和等于直角; （2）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.
解: （1）假命题，例: 50°和20°是两锐角， 但50°＋20°＝70°≠ 90°． （2）假命题，例:如图，直线 AB、CD 被 EF 所截，但 AB 不平行于 CD ，此时，∠EMB≠∠END ．
证明:∵AB∥CD (已知)，
∴∠BEF＝∠CFE (两直线平行，内错角相等)．
∵EM 平分∠BEF，FN 平分∠EFC (已知)，
∴∠2＝
12∠BEF，∠1＝
1 2
∠CFE(角平分线的定义)．
∴∠1＝∠2(等量代换)．
பைடு நூலகம்
∴EM ∥FN (内错角相等，两直线平行)．
练习
1. 把下列定理改写成“如果……，那么……”的形式， 指出它们的条件和结论，并用演绎推理证明题（1） 所示的定理:
课堂小结
基本事实
定义 常见的几条基本事实
定理与 证明
定理
定义 与基本事实的区别
证明
定义 证明的一般步骤
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
直角三角形的两个锐角互余.
已知: 如图，在△ABC中，∠C = 90°.
求证: ∠A +∠B = 90°.
A
证明: ∠A ＋∠B +∠C = 180°
(三角形的内角和等于180°)，
又∵ ∠C = 90°(已知)，
B
C
∴ ∠A + ∠B = 180°-∠C = 90°
(等式的性质).
证明的一般步骤是：
①审清题意，找出命题中的条件和结论; ②根据题意画出图形，图形要正确且具有一般性， 不能画特殊图形; ③用数学语言写出“已知”“求证”; ④找出证明思路; ⑤写出证明过程，每一步都要有理有据; ⑥检查表达过程是否正确、完整．
求证: 平行线的内错角的平分线互相平行．
解:已知:如图，AB ∥CD ，EF 交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，EM 平分∠BEF，FN 平分∠EFC． 求证: EM ∥FN ．
（2）如图所示，一位同学在画图时发现: 三角形三条 边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.于是他得出 结论:任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在 三角形的内部.他的结论正确吗？
（3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、 七边形等的内角和，得到一个结论: n 边形的内角和 等于 ( n -2) ×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多 边形的内角和不满足这一规律？