第02讲与三角形有关的角(原卷版)

第02讲 与三角形有关的角
课程标准 学习目标
①三角形的内角和定理
②三角形的外角定理 1. 掌握三角形的内角和定理，并能够利用三角形的内角
和定理解相关题目
2. 掌握三角形的外角定理，并能够利用三角形的外角定理解相关题目。

3. 结合三角形的内角和定理，外角定理，三角形的中线、
高线、角平分线解决相关题目。

知识点01 三角形的内角和定理
1. 三角形内角和定理的内容：
三角形的三个内角之和等于 。

2. 三角形内角和定理的证明：
证明思路：过三角形任意一个顶点作对边的平行线即可证明。

如图：过点A 作PQ 平行于BC 。

∵PQ ∥BC
∴∠B ＝ ；∠C ＝。

∵∠PAB ＋∠QAC ＋∠BAC ＝ 。

∴∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝ 。

题型考点：①利用三角形的内角和计算角度。

②判断三角形的形状。

1．在△ABC中，∠A﹣∠B＝35°，∠C＝55°，则∠B等于（）
A．50°B．55°C．45°D．40°
【即学即练2】
2．在△ABC中，∠A+∠B＝141°，∠C+∠B＝165°，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不存在这样的三角形
知识点02 直角三角形的性质与判定
1.直角三角形的定义：
Rt△表示直角三角形ABC。

有一个角是直角的三角形。

用ABC
2.直角三角形的性质：
直角三角形的两个锐角。

数学语言：∵△ABC是直角三角形，且∠C＝90°
∴∠A＋∠B＝。

3.直角三角形的判定：
有两个角的三角形是直角三角形。

数学语言：∵∠A＋∠B＝90°
∴△ABC是三角形。

题型考点：①利用直角三角形的两锐角互余以及三角形的内角和进行角度计算。

②直角三角形的判断。

【即学即练1】
3．在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是（）A．145°B．125°C．65°D．55°
4．如图，直线a∥b，Rt△ABC如图放置，若∠1＝28°，∠2＝80°，则∠B的度数为（）
A．62°B．52°C．38°D．28°
5．对于下列四个条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B ＝0.5∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）个．
A．1B．2C．3D．4
知识点03 三角形的外角定理
1.外角的定义：
如图，三角形的一条边与另一条边的构成的夹角叫做三角形的外角。

2.外角性质：
①外角定理：三角形的一个外角等于。

即∠1= 。

②三角形的一个外角不相邻的任意一个内角。

③三角形的外角与相邻的内角。

④三角形的外角和都等于。

题型考点：根据外角定理求值。

【即学即练1】
6．已知：如图所示，则∠A等于（）
第6题第7题
A．60°B．70°C．50°D．80°
7．如图所示．∠A＝10°，∠ABC＝90°，∠ACB＝∠DCE，∠ADC＝∠EDF，∠CED＝∠FEG．则∠F的度数等于（）
A．60°B．55°C．50°D．45°
题型01 内角和判断三角形的形状
【典例1】
一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（）
A．40°，70°B．30°，90°C．60°，50°D．50°，20°
变式1：
在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为（）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定
变式2：
△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
变式3：
在△ABC中，如果∠A＝50°，∠B＝80°，那么这个三角形是（）
A．锐角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．直角三角形
题型02 三角形内角与外角综合计算
【典例1】
如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为（）
A．80°B．82°C．84°D．86°
变式1：
如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠1＝30°，∠2＝40°，∠D的度数是（）
A．110°B．120°C．130°D．140°
变式2：
如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（）
A．59°B．60°C．56°D．22°
题型03 三角形一个顶点上的角平分线与高线的夹角
【典例1】
如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，则∠B＝（）
A．45°B．60°C．50°D．55°
变式1：
已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F．若∠C＝35°，∠DEF＝15°，则∠B的度数为（）
A．60°B．65°C．75°D．85°
变式2：
如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝40°，∠C＝70°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数．
题型04 三角形的两条内角平分线形成的夹角
【典例1】
如图，BD、CE是△ABC角平分线，交于O，若∠A＝50°，则∠BOC＝．
典例1 变式1 变式2
变式1：
如图，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠BOC＝120°，则∠A＝（）
A．60°B．120°C．110°D．40°
变式2：
如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依次类推，∠ABD3与∠ACD3的角平分线交于点D4，则∠BD4C的度数是．
题型05 三角形的内角平分线与外角平分线构成的夹角
【典例1】
如图所示，∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，已知∠A＝50°，∠P＝．
典例1 变式1 变式2
变式1：
如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠DOC＝48°，则∠D＝°．
变式2：
如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1＝α，则∠A2021为．
题型06 三角形的外角平分线构成的夹角
【典例1】
如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点O，若∠A＝80°，则∠O等于（）
A．40°B．50°C．60°D．80°
变式1：
如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，CP平分△ABC的外角∠ACM，连接AP，若∠BPC ＝40°，则∠NAP的度数是（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
变式2：
如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，BG、CG分别平分三角形的两个外角∠EBC、∠FCB，则∠D和∠G的数量关系为（）
A．B．∠D+∠G＝180°
C．D．
变式3：
综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如图1，如果∠A＝80°，那么∠BPC＝°
（2）如图2，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC的数量关系．（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，若∠Q＝4∠E，求∠A的度数．
1．在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（）
A．
B．
C．
D．
2．在△ABC中，∠A+∠B＝141°，∠C+∠B＝165°，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不存在这样的三角形
3．将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为（）
A．45°B．60°C．15°D．75°
4．如图，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A＝25°，∠B＝65°，则∠DCE度数为（）
A．20°B．30°C．18°D．15°
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，DF∥EB．若∠D＝70°，则∠ACD的度数为（）
A．30°B．35°C．40°D．45°
6．如图，在△ABC中，角平分线BD，CE相交于点H．若∠A＝70°，则∠BHC的度数是（）
A．60°B．90°C．110°D．125°
7．若直角三角形的一个锐角等于20°，则它的另外一个锐角等于（）
A．160°B．70°C．80°D．60°
8．如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，若∠C＝28°，∠D＝22°，则∠P的度数为（）
A．22°B．25°C．28°D．30°
9．在△ABC中，如果∠B＝52°，∠C＝68°，那么∠A的外角等于度．
10．在直角三角形中，两个锐角的度数比为1：5，则较大的锐角度数为．
11．一张△ABC纸片，点M、N分别是AB、AC上的点，若沿直线MN折叠后，点A落在AC边的下面A′的位置，如图所示，则∠1，∠2，∠A之间的数量关系式是．
第11题第12题
12．如图，∠AOB＝80°，OC平分∠AOB，点M，E，N分别是射线OA，OC，OB上的动点（M，E，N 不与点O重合），且ME⊥OA，垂足为点M，连接MN交射线OC于点F．若△MEF中有两个相等的角，则∠OMN的度数为．
13．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝∠D．（1）求证：DF∥BC；
（2）当∠A＝40°，∠DFE＝36°时，求∠2的度数．
14．综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b，且a∥b，三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠BAC＝30°．操作发现：
（1）如图1，若∠1＝42°，求∠2的度数；
（2）小颖同学将图1中的直线a，b向上平移得到图2，若∠CMN+∠CNM＝90°，∠2＝4∠1，求∠1的度数．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，I是∠ABC，∠ACB平分线的交点．
（1）∠BIC＝°；
（2）若D是两条外角平分线的交点，则∠BDC＝°；
（3）在（2）的条件下，若E是内角∠ABC和外角∠ACG的平分线的交点，试探索∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．。