近年高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时达标检测(六)函数的奇偶性及周期性理(20

（通用版）2019版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时达标检测（六）函数的奇偶性及周期性理
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课时达标检测（六）函数的奇偶性及周期性
[小题对点练——点点落实］
对点练(一) 函数的奇偶性
1．(2018·肇庆模拟）在函数y＝x cos x，y＝e x＋x2，y＝lg错误!，y＝x sin x中，偶函数的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析:选B y＝x cos x是奇函数,y＝lg错误!和y＝x sin x是偶函数，y＝e x＋x2是非奇非偶函数，所以偶函数的个数是2，故选B.
2．已知函数f(x）＝a sin x＋b ln错误!＋t，若f错误!＋f错误!＝6，则实数t＝（) A．－2 B．－1
C．1 D．3
解析：选D 令g（x）＝a sin x＋b ln 1－x
1＋x
,则易知g（x)为奇函数，所以g错误!＋g错误!＝
0，则由f(x）＝g(x)＋t,得f错误!＋f错误!＝g错误!＋g错误!＋2t＝2t＝6,解得t＝3。

故选D。

3．若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数,则“f(x）与g（x)同是奇函数或同是偶函数”是“f（x)·g（x)是偶函数”的（)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
解析：选A 若函数f（x)与g（x）同是R上的奇函数或偶函数，则f(－x)·g（－x）＝－f(x)·（－g(x））＝f(x)·g（x）或f(－x)·g(－x)＝f(x）·g（x)，即f（x)·g(x)是偶函数，∴充分性成立；必要性不成立，如f（x）＝错误!g(x）＝错误!满足f(x)·g（x)是偶函数，但f（x）与g(x)都不是奇函数或偶函数．故选A。

4．（2018·唐山统考)f(x)是R上的奇函数，当x≥0时,f（x)＝x3＋ln（1＋x)，则当x〈0时,f（x）＝( )
A．－x3－ln（1－x）B．x3＋ln（1－x）
C．x3－ln(1－x）D．－x3＋ln（1－x)
解析：选C 当x<0时，－x〉0，f（－x)＝（－x)3＋ln（1－x），∵f（x）是R上的奇函数,∴当x〈0时，f(x)＝－f(－x)＝－［（－x）3＋ln(1－x）]，∴f(x）＝x3－ln(1－x）．对点练(二) 函数的周期性
1．(2018·江南十校联考）设f(x）＝x＋sin x（x∈R)，则下列说法错误的是( ）A．f(x)是奇函数B．f（x）在R上单调递增
C．f(x)的值域为R D．f（x）是周期函数
解析：选D 因为f（－x）＝－x＋sin（－x)＝－（x＋sin x）＝－f（x)，所以f（x)为奇函数，故A正确;因为f′(x）＝1＋cos x≥0，所以函数f（x)在R上单调递增，故B正确；f(x)的值域为R，故C正确；f（x)不是周期函数，D错误，故选D。

2．函数f（x）的周期为4，且x∈（－2，2］，f(x）＝2x－x2，则f（2 018)＋f(2 019)＋f（2 020)的值为________．
解析：由f(x)＝2x－x2，x∈（－2,2]知f(－1）＝－3,f(0）＝0，f（2)＝0,又f(x）的周期为4，所以f(2 018）＋f(2 019)＋f(2 020）＝f（2）＋f(－1）＋f（0)＝0－3＋0＝－3。

答案:－3
3．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x),当－3≤x<－1时，f(x）＝－（x ＋2)2,当－1≤x<3时，f（x)＝x，则f(1）＋f(2)＋f（3)＋…＋f(2 017)＝________。

解析：因为f（x＋3）＝－f（x）,所以f(x＋6)＝f(x)，即函数f(x)是周期为6的周期函数，当－3≤x<－1时,f(x）＝－（x＋2）2，当－1≤x〈3时，f(x）＝x，所以f(－3）＝－1，f（－2）＝0，f（－1)＝－1,f（0）＝0，f(1）＝1,f（2）＝2，所以f（－3）＋f（－2)＋f(－1）＋f（0)＋f（1）＋f（2）＝－1＋0－1＋0＋1＋2＝1,所以f(1）＋f(2）＋f（3）＋…＋f （2 017)＝336×［f（－3）＋f(－2)＋f（－1）＋f(0）＋f(1)＋f（2）］＋f（2 017）＝336＋f(1）＝336＋1＝337.
答案：337
对点练（三）函数性质的综合问题
1．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x）是R上的奇函数，且g（x)＝f（x－1)，若f（0)＝2，则f(2 018）的值为（）
A．2 B．0
C．－2 D．±2
解析：选C ∵g（－x)＝f(－x－1）,∴－g(x)＝f（x＋1）．
又g(x)＝f(x－1)，∴f（x＋1）＝－f（x－1)，
∴f（x＋2)＝－f（x)，f(x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x),
则f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(2 018)＝f（2)＝f（0＋2）＝－f（0）＝－2.
2．(2018·湖南联考）已知函数f(x）是R上的奇函数，且在区间［0，＋∞)上单调递增，若a＝f错误!,b＝f错误!，c＝f错误!，则a,b，c的大小关系为（)
A．b<a<c B．c<b<a
C．b〈c〈a D．a<b<c
解析：选B ∵π
2
<错误!〈错误!，∴tan错误!〈－1〈cos错误!<0，又sin错误!>0，∴tan错误!
<cos错误!<sin错误!.∵函数f（x）是R上的奇函数，且在区间［0，＋∞）上单调递增，∴函数f（x）是R上的增函数，∴c〈b〈a，故选B。

3．(2018·邢台摸底考试）已知定义在（－1，1)上的奇函数f(x),其导函数为f′(x)＝1＋cos x，如果f（1－a)＋f(1－a2）〈0，则实数a的取值范围为（)
A．(0,1) B．（1, 2 )
C．(－2，－错误! ) D．（1，错误!)∪（－错误!，－1）
解析：选B 依题意得f′（x）>0，则f(x）是定义在(－1，1)上的增函数．不等式f(1－a)＋f(1－a2）〈0等价于f(1－a2)〈－f(1－a)＝f(a－1)，则有错误!解得1〈a〈错误!，选B。

4．(2018·湖北武汉模拟）已知函数f（x)是奇函数,且满足f（2－x)＝f（x)（x∈R),当0<x≤1时，f(x）＝ln x＋2，则函数y＝f（x）在区间（－2,4］上的零点个数是（）A．7 B．8
C．9 D．10
解析：选C 由函数f（x）是奇函数且满足f(2－x）＝f(x)知，f(x）是周期为4的周期函数，且关于直线x＝1＋2k（k∈Z）成轴对称，关于点（2k，0)（k∈Z)成中心对称．当0<x≤1时，令f（x）＝ln x＋2＝0，得x＝错误!，由此得y＝f(x）在区间（－2，4］上的零点分别为－2＋错误!，－错误!,0，错误!，2－错误!，2,2＋错误!,4－错误!,4，共9个零点，故选C。

5．(2016·四川高考)已知函数f(x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时,f(x）＝4x，则f错误!＋f（1)＝________.
解析：∵f（x）为奇函数，周期为2，∴f（1）＝f(1－2）＝f（－1）＝－f(1），∴f（1)
＝0。

∵f（x)＝4x，x∈（0,1)，∴f错误!＝f错误!＝f错误!＝－f错误!＝－4错误!＝－2.∴f错误!＋f(1）＝－2.
答案：－2
6．(2016·天津高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2｜a－1|）＞f(－2），则a的取值范围是________．
解析：∵f(x）是偶函数，且在（－∞，0）上单调递增,
∴f（x）在（0，＋∞)上单调递减，f（－错误!）＝f（错误!),
∴f(2｜a－1|)＞f(错误!)，∴2｜a－1｜＜错误!＝2错误!,
∴|a－1｜＜错误!,即－错误!＜a－1＜错误!，即错误!＜a＜错误!.
答案：错误!
7．（2018·台州模拟)已知函数g(x）是R上的奇函数,且当x〈0时，g（x)＝－ln（1－x)，函数f(x）＝错误!若f(2－x2)>f（x），则实数x的取值范围是________．
解析：设x>0，则－x<0。

∵x〈0时，g（x）＝－ln（1－x),
∴g（－x)＝－ln(1＋x）．
又∵g(x)是奇函数,
∴g(x）＝ln(1＋x)（x>0)，
∴f（x)＝错误!其图象如图所示．
由图象知，函数f(x）在R上是增函数．
∵f（2－x2）〉f(x)，
∴2－x2>x，即－2〈x〈1。

所以实数x的取值范围是（－2,1)．
答案:（－2,1)
［大题综合练——迁移贯通]
x.
1．已知函数f(x）是定义在R上的偶函数,f(0）＝0，当x〉0时，f(x）＝log1
2（1）求函数f（x）的解析式;
(2)解不等式f(x2－1）〉－2.
(－x)．
解:（1)当x<0时，－x〉0，则f(－x）＝log1
2
因为函数f(x）是偶函数，
所以f（－x）＝f(x）．
所以函数f(x）的解析式为
f（x）＝错误!
（2）因为f（4）＝log1
4＝－2，f（x）是偶函数，
2
所以不等式f(x2－1）>－2可化为f(｜x2－1|）>f（4）．
又因为函数f(x）在(0，＋∞）上是减函数，
所以|x2－1|〈4，解得－5<x<错误!，
即不等式的解集为（－5,错误!）．
2．(2018·湖南长郡中学测试）已知函数f（x）＝错误!是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：（1)设x〈0，则－x>0，
所以f(－x）＝－（－x）2＋2(－x）＝－x2－2x。

又f（x）为奇函数,所以f(－x)＝－f(x），
于是x<0时,f(x）＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
（2)要使f(x）在[－1，a－2］上单调递增，结合f（x)的图象(如图所示)知错误!
所以1〈a≤3,故实数a的取值范围是(1，3］．
3．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0｝，且满足对任意x1，x2∈D，有f（x1·x2)＝f(x1）＋f(x
)．
2
(1）求f(1)的值；
（2）判断f(x）的奇偶性并证明你的结论；
(3）如果f（4)＝1，f（x－1）<2, 且f（x)在（0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解：(1）∵对于任意x1,x2∈D,有f（x1·x2）＝f（x1）＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f（1)＝2f（1)，∴f(1)＝0。

（2）f（x)为偶函数．
证明：令x1＝x2＝－1，有f（1）＝f（－1)＋f(－1），
∴f(－1）＝错误!f(1)＝0。

令x1＝－1，x2＝x,
有f（－x)＝f（－1)＋f(x），
∴f（－x)＝f（x)，
∴f(x）为偶函数．
（3）依题设有f(4×4）＝f(4）＋f（4）＝2，由（2)知,f（x)是偶函数，
∴f（x－1）<2⇔f（|x－1|)<f（16）．
又f（x）在（0，＋∞）上是增函数．
∴0<|x－1｜〈16，
解得－15〈x〈17且x≠1.
∴x的取值范围是（－15,1)∪(1，17）．。