高考物理二轮专题复习 临界和极值问题

2008年高考物理二轮专题复习 临界和极值问题
【考纲要求】II 【重点知识梳理】
1．关于物体在竖直平面内作圆周运动的临界问题的解题方法是：掌握原理，具体分析，统观全局，抓住要害。

物体在最高点的最小速度决定于物体在最高点的最小合力。

不同情况下的最小合外力决定了不同情况下的最小速度。

同时，在具体的问题中，要分清绳（或沿圆环内侧运动）与杆（或管）的区别。

即绳对球只能提供拉力且绳对球的拉力方向只能沿绳指向圆心。

因此，在绳的约束下物体能在竖直面内作圆周运动的条件是最高点速度gR v ≥
；而杆
对球即可能是拉力也可能是压力。

在杆（或管）约束下能在竖直面内作圆周运动的条件是最高点速度v ≥0。

2 ．极限类推法解决问题的关键是如何对物理过程初状态和极限状态巧妙的赋值。

或对转折点的取值。

取值既要遵循客观事实，又要使问题简化，使状态变化趋势明朗化。

【分类典型例题】
题型一：竖直平面内作圆周运动的临界问题
解决这类问题需要注意：我们不能只盯着最高点，而要对小球作全面的、动态的分析，目的就是找出小球最不容易完成圆周运动的关键点，只要保证小球在这一点上恰能作圆周运动，就能保证它在竖直平面内作完整的圆周运动，如此这类临界问题得以根本解决。

这一关键点并非总是最高点，也可以是最低点，或其他任何位置。

［例1］如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，以带负电荷的小球从高h 的A 处静止开始下滑，沿轨道ABC 运动后进入圆环内作圆周运动。

已知小球所受到电场力是其重力的3／4，圆滑半径为R ，斜面倾角为θ，s BC =2R 。

若使小球在圆环内能作完整的圆周运动，h 至少为多少？ ［解析］小球所受的重力和电场力都为恒力，故可两力
等效为一个力F ，如图所示。

可知F ＝1.25mg ，方向与竖直方向左偏下37º，从图6中可知，能否作完整的圆周运动的临界点是能否通过D 点，若恰好能通过D 点，即达到D 点
时球与环的弹力恰好为零。

由圆周运动知识得：R v m F D 2
=
即：R
v m m g D 2
25.1=
由动能定理有：
2
2
1)37sin 2cot (43)37cos (D
mv R R h mg R R h mg =︒++⨯-
︒--θ 联立①、②可求出此时的高度h 。

［变式训练1］如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动。

现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（ AB ）
A ．a 处为拉力，b 为拉力
B ．a 处为拉力，b 为推力
C ．a 处为推力，b 为拉力
D ．a 处为推力，b 为推力
题型二：关于摩擦力的临界与极值问题
解决这类问题需要注意：对于临界条件不明显的物理极值问题，解题的关键在于通过对物理过程的分析，使隐蔽的临界条件暴露，从而找到解题的突破口，根据有关规律求出极值。

［例2］如图所示，在电场强度E =5 N/C 的匀强电场和磁感应强度B =2 T 的匀强磁场中，沿平行于电场、垂直于磁场方向放一长绝缘杆，杆上套一个质量为m =10-4 k g ，带电量q =2×10-4 C 的小球，小球与杆间的动摩擦因数μ=0.2，小球从静止开始沿杆运动的加速度和速度各怎样变化？
［解析］带电小球在竖直方向上受力平衡，开始沿水平方向运
动的瞬间加速度： a 1=
m
mg qE )
(μ-=8 m/s 2
小球开始运动后加速度：
a 2=［qE -μ(mg -qvB )］/m ，由于小球做加速运动，洛伦兹力F 磁增大，摩擦力F f 逐渐减小，当mg =F 磁时，F f =0，加速度最大，其最大值为：a 3=
m
qE
=10 m/s 2. 随着速度v 的增大，F 磁＞mg ，杆对球的弹力N 改变方向，又有摩擦力作用，其加速度：a 4=［qE -μ(qvB -mg )］/m .可见F f 随v 的增大而增大，a 4逐渐减小.当F f =F 电时，加速度a 5=0，此时速度最大，此后做匀速运动。

由qE =μ(qvB -mg )解得v =15 m/s.
结论：小球沿杆运动的加速度由8 m/s 2逐渐增大到10 m/s 2，接着又逐渐减小到零，最后以15 m/s 的速度做匀速运动
［变式训练2］如图所示，质量M ＝4kg 的木板长L ＝1.4m ，静止在光滑水平面上，其上面右端静止一质量m =1kg 的小滑块（可看作质点），滑块与木板间的动摩擦因数μ＝0.4，先用一水平恒力F ＝28N 向右拉木板，要使滑块从木板上恰好滑下来，力F 至少应作用多长时间（g =10m/s 2）？
［变式训练2］1min =t s
［变式训练3］物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为µ，物体重为G ，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F 为多大？
该题的已知量只有µ和G ，说明最小拉力的表达式中最多只含有µ和G ，但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F 可由夹角的不同值而有不同的取值。

因此，可根据题意先找到F 与夹角有关的关系式再作分析。

解：设拉力F 与水平方向的夹角为θ，根据题意可列平衡方程式， 即0cos =-f F θ……①
G F N =+θsin ……②
N f μ=…………③
由联立①②③解得：
)sin cos cos (sin 1cos sin 2φθφθμμθθμμ++=+=
G G F )
sin(12φθμμ++=
G
, 其中μ
φ1
tan =
, ∴G F 2
min 1μ
μ+=
题型三：功率计算中的极值问题
［例3］一轻绳一端固定在O 点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度的释放，如图所示，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？
解：当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C 时，重力的功率为： P=mg υcos α=mg υsin θ…………①
小球从水平位置到图中C 位置时，机械能守恒有：
2
2
1cos mv mgL =
θ……………② 解①②可得：θθ2
sin cos 2gL mg P = 令y=cos θsin θ
B
)sin sin cos 2(2
1
)sin cos 2(2
1
sin cos 222422θθθθθθθ⋅⋅=
=
=y
2)cos (sin 2sin sin cos 222222=+=++θθθθθ 又
根据基本不等式abc c b a 3≥++，定和求积知： 当且仅当θθ22
sin cos
2=，y 有最大值
3
3cos cos 1cos 222=
-=θθθ：得由 结论：当3
3
cos =
θ时，y 及功率P 有最大值。

题型四：场计算中的极值问题
［例4］如图所示，相距2L 的A 、B 两点固定着两个正点电荷，带电量均为Q 。

在它们的中垂线上的C 点，由静止释放一电量为q ，质量为m 的正检验电荷（不计重力） 。

试求检验电荷运动到何处加速度最大，最大加速度为多少？
解：由于对称性，在AB 的中点受力为零，在AB 中垂线 上的其它点所受合力均是沿中垂线方向的。

当q 运动到中垂线 上的D 点时，由图可知
θθθsin )
cos /(2
sin 22
1L kQq
F F ==合 故其加速度为：
)sin (sin 2cos sin 23
2
2
2θθθ
θ-=
=
=
m L
kQq m L kQq m
F a 合 发现加速度是一个关于θ的函数，令θθθ3
sin sin )(-=f
θθθθθcos sin 3cos )('(2-=f ）f 的导数为则
0cos sin 3cos ,0)('2=-=θθθθ即令f
3
3sin =
θ：解得，（不合题意有极值,900=θ）
即39
2
3333)(33arcsin 2
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=有极大值为时θθ，f 所以当33arcsin
=θ时，加速度有最大值为：3942mL
KQq
［变式训练4］如图12-4所示，一带电质点，质量为m ，电量为q ，以平行于Ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。

为了使该质点能从x 轴上的b 点以垂直于Ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方加
一个垂直于xy 平面、磁感应强度为B 的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。

重力忽略不计。

解析 质点在磁场中作半径为R 的圆周运动，
R v m qBv 2=，得qB
m v
R = （1）
根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于R 的圆上的1/4圆弧，这段圆弧应与入
射方向的速度、出射方向的速度相切。

过a 点作平行于x 轴的直线，过b 点作平行于y 轴的直线，则与这两直线均相距R 的O ＇为圆心、R 为半径的圆（圆中虚线圆）上的圆弧MN ，M 点和N 点应在所求圆形磁场区域的边界上。

在通过M 、N 两点的不同的圆周中，最小的一个是以MN 连线为直径的圆周。

所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为
qB
mv
R R R MN r ∙
==+==
2222212122 （2） 所求磁场区域如图12-5中实线圆所示。

题型五：路计算中的极值问题
［例5］如图所示，电源内阻不能忽略，R 1=10Ω，R 2=8Ω，当开关K 板到位置l 时电流表的示数为0.2A ，当开关板到位置2时，电流表示数可能值的范围？
1.0.2A<I 2<0.25A
［变式训练5］如图所示，已知电源的电动势为ε，内电阻为r ，A 、B 两个定值电阻的阻值分别为R 1和R 2，令调节可变电阻C ，使其获得不同的电功率，试确定使可变电阻C 出现最大电功率时C 的电阻值R 3，并导出其最大电功率的表达式. 答案:当
()()
r R R r R R R 12123++-=
时，其电功率最大，最大值
()()
r R R r R 4R P 2112
23+++=
ε
【能力训练】
1．用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥顶上，如图（1）所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T ，则T 随ω2变化的图象是图（2）中的（ C ）
2
．在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v 1
，摩托艇在静水中的航速为v
2，战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d 。

如
战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O 点的距离为 （ C ）
图（1） 图（2）
A ．dv 2/2
122v v B ．0 C ．dv 1/v 2 D ．dv 2/v 1
3．在如图所示的电路中，R 1、R 2、R 3和R 4皆为定值电阻，R 5为可变电阻，电源的电动势为E ，内阻为r 。

设电流表A 的读数为I ，电压表V 的读数为U 。

当R 5的滑动触点向图中a 端移动时 （ D ） A ．I 变大，U 变小 B ．I 变大，U 变大 C ．I 变小，U 变大 D ．I 变小，U 变小
4．如图所示在方向竖直向下的匀强电场中，一个带负电q ，质量为m 且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的点A 由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B 而作圆周运动，问点A 的高度h 至少应为多少？
5R/2
5．如图所示，两轮靠皮带传动，绷紧的皮带始终保持3m/s 的速度水平的匀速运动。

一质量为1kg 的小物体无初速度的放到皮带轮的A 处，若物体与皮带的动摩擦因数μ＝0.2，AB 间距为5.25m 。

（1）求物体从A 到B 所需的时间；
（2）要使物体经B 点后水平抛出，则皮带轮半径R 不能超过多大？
5．（1）2.5s （2）0.9m
6． 如图所示，正交的电磁场方向均在水平方向上，电场强度为E ，磁感应强度为B ，质量为m 、带电量为q 的小球与水平桌面间的动摩擦因数为μ，已知qE ＞μmg ，当小球由静止释放后，求小球的最大速度？（桌面绝缘且足够大）.
6．提示：由能量守恒定律有：qEv m t -μ(qv m B +mg )v m t
=0
v m =
B E μ-qB
m g
7．如图所示，半径为R 的绝缘圆筒内有垂直于圆筒端面的，磁感应强度为B 的匀强磁场，筒上有两小孔A 、 C ，它们在同一直径上，一质量为m 、电量q 的粒子从A 沿AO 方向射入匀强磁场，结果恰从孔C 沿OC 方向射出，若不计粒子与圆筒碰撞的能量与电量损失，求粒子运动的：
(1) 最短路程；
(2) 路程最短时速度的大小； (3) 路程最短时运动的时间.
7. ⑴R π;⑵m BqR v /=;⑶t=πm/Bq
8、质量为m.,带电量为+q 的小球在O 点以初速度v0沿与水平成30 °角的方向射出, 如图所示,物体运动过程中,除重力外, 还受到方向始终与初速度v 0方向相反的力F 的作用. (1) 若F=mg, 要使物体保持v0做匀速直线运动,可在某一
方向加一定大小的匀强电场,求此电场强度的大小和方向.
⑵若F=2mg,且电场强度q mg E /3=,仍要使物体沿v 0方向做直线运动,那么该电场强度的可能方向如何?求物体
沿入射方向的最大位移和回到O 点的最短时间以及回到O 点时的速度.
8. ⑴
,3q
mg
方向与v 0成30°⑵方向与v 0成30°或150°, s max =g
v
22
0;t min =g v 20,v = -v 0。