最长公共子序列算法

最长公共子序列算法
最长公共子序列算法
概述
最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）是一种
常见的字符串匹配问题。

给定两个字符串S和T，求它们的最长公共
子序列，即在S和T中都出现的最长的子序列。

该问题可以用动态规
划算法解决。

算法原理
动态规划算法是一种将复杂问题分解成更小的子问题来解决的方法。

在LCS算法中，我们将两个字符串S和T分别看作X和Y，并定义一个二维数组c[i][j]表示X[1..i]和Y[1..j]的LCS长度。

则有以下递推公式：
c[i][j] = 0, if i=0 or j=0
c[i][j] = c[i-1][j-1]+1, if X[i]=Y[j]
c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1]), if X[i]!=Y[j]
其中第一行和第一列均初始化为0，因为空字符串与任何字符串的LCS
长度均为0。

当X[i]=Y[j]时，说明当前字符相同，那么当前字符可以
加入到LCS中，所以LCS长度加1；否则当前字符不能加入到LCS中，则需要从上一个状态继承得到当前状态。

最终结果即为c[m][n]，其中m和n分别表示X和Y的长度。

算法实现
以下是LCS算法的Python实现：
def lcs(X, Y):
m = len(X)
n = len(Y)
c = [[0] * (n+1) for i in range(m+1)]
for i in range(1, m+1):
for j in range(1, n+1):
if X[i-1] == Y[j-1]:
c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1
else:
c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1])
return c[m][n]
其中X和Y分别为两个字符串。

算法优化
以上算法的时间复杂度为O(mn)，其中m和n分别表示X和Y的长度。

如果X和Y较长，算法会很慢。

但是我们可以通过一些优化来降
低时间复杂度。

一种常见的优化方法是使用滚动数组（rolling array）来减少空间占用。

由于c[i][j]只依赖于c[i-1][j-1]、c[i-1][j]和c[i][j-1]，因此我们可以将
二维数组压缩成一维数组，并使用滚动数组来避免重复计算。

另一种优化方法是使用二分查找来加速查找操作。

具体来说，我们可
以将Y中的字符按照顺序存储在一个列表中，并对每个字符记录其最
后出现位置。

然后在计算c[i][j]时，可以使用二分查找来查找Y中第一个大于等于X[i]的字符的位置，从而加速查找操作。

总结
最长公共子序列算法是一种常见的字符串匹配问题。

该问题可以用动
态规划算法解决，时间复杂度为O(mn)。

通过使用滚动数组和二分查
找等优化方法，可以降低时间复杂度。