山东省德州市2016届高三上学期期中数学试卷(理科) 含解析

2015—2016学年山东省德州市高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题(共10小题，每小题5分，满分50分）
1．已知集合A={x|x2﹣4x﹣5＜0},B=｛x|2＜x＜4},则A∩B=()
A．（1，3） B．（1,4）C．(2，3）D．（2，4）
2．已知向量=（1,2），=（0，1）,=（﹣2，k），若（+2)∥，则k=(）
A．﹣8 B．﹣C．D．8
3．下列说法正确的是（）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“x2=1，则x≠1"
B．若命题p:∃x∈R，x2﹣x+1＜0,则命题￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0
C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
D．“x2﹣5x﹣6=0"必要不充分条件是“x=﹣1"
4．已知指数函数y=f(x）的图象过点（，），则log2f(2)的值为（)
A．B．﹣C．﹣2 D．2
5．已知：sin（+θ）+3cos（π﹣θ）=sin(﹣θ)，则sinθcosθ+cos2θ=(）A．B．C．D．
6．不等式|x﹣5｜+｜x+1|＜8的解集为（）
A．（﹣∞,2）B．（﹣2，6）C．（6，+∞）D．(﹣1，5)
7．函数y=的图象可能是(）
A．B． C．D．
8．下列四个命题，其中正确命题的个数(）
①若a＞|b｜，则a2＞b2
②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
③若a＞b，c＞d,则ac＞bd
④若a＞b＞o，则＞．
A．3个B．2个C．1个D．0个
9．已知定义在R上的函数f(x）=2｜x﹣m|﹣1（m为实数)为偶函数，记a=f（2﹣3）,b=f（3m）,c=f 3），则（）
（log0。

5
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
10．已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+2)=f（x），当﹣1≤x＜1时，f （x）=sin x，若函数g（x）=f（x）﹣log a｜x|至少6个零点，则a的取值范围是（) A．（0，］∪（5，+∞） B．(0，）∪[5，+∞) C．(，]∪（5,7）D．(，）∪［5，7）
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．已知f（x）=，则f（f（)）的值为．12．曲线y=2sinx（0≤x≤π)与x轴围成的封闭图形的面积为．
13．若x,y满足，则z=2x+y的最大值为．
14．在△ABC中,角A,B，C所对边的长分别为a，b，c，已知b=c，sinA+sinC=2sinB，则cosA=．
15．如图,点P从点O出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系分别记为y=f(x）,y=g（x)，定义函数h（x）=，对于函数y=h(x），下列结论正确的是．
①h（4）=；
②函数h（x)的图象关于直线x=6对称；
③函数h（x）值域为[0，];
④函数h（x)增区间为（0，5)．
三、解答题(共6小题,满分75分）
16．在△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足2•=a2﹣(b﹣c）2
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ)若a=4，△ABC的面积为4，求b，c．
17．已知向量,的夹角为60°,且｜｜=1,|｜=2，又=2+，=﹣3+
（Ⅰ）求与的夹角的余弦；
（Ⅱ）设=t﹣,=﹣，若⊥，求实数t的值．
18．已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间;
（Ⅱ)将函数y=f(x）的图象向左平移个单位,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象,求函数y=g（x）在［﹣，］上的值域．
19．设函数f（x)=x3﹣3(a+1)x+b．（a≠0）
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值;
(Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+3x的单调区间与极值．
20．某厂家拟举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t=5﹣（其中0≤x≤a2﹣3a+4,a为正常数），现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本（10+2t）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（t+）万元/万件．
(Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．
21．已知函数f(x)=xlnx和g（x）=m(x2﹣1）(m∈R)
（Ⅰ)m=1时，求方程f（x）=g（x)的实根；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（1，+∞),函数y=g(x)的图象总在函数y=f(x）图象的上方,求m的取值范围；
（Ⅲ）求证:++…+＞ln（2n+1)（n∈N＊）
2015—2016学年山东省德州市高三(上）期中数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)
1．已知集合A=｛x｜x2﹣4x﹣5＜0｝，B={x｜2＜x＜4｝,则A∩B=(）
A．（1,3）B．（1,4）C．（2，3) D．（2,4）
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；综合法;集合；不等式．
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．
【解答】解:由A中不等式变形得：(x﹣5)（x+1)＜0，
解得：﹣1＜x＜5，即A=（﹣1,5），
∵B=（2，4),
∴A∩B=（2，4)，
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．已知向量=(1，2）,=（0，1）,=（﹣2，k），若(+2）∥,则k=()
A．﹣8 B．﹣C．D．8
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】计算题；函数思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】求出向量+2，利用斜率的坐标运算求解即可．
【解答】解:向量=(1，2），=(0，1）,=（﹣2，k），
+2=（1，4）,
∵(+2）∥，
∴﹣8=k．
故选：A．
【点评】本题考查向量的坐标运算，共线向量的充要条件的应用，考查计算能力．
3．下列说法正确的是()
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“x2=1，则x≠1”
B．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则命题￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0
C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
D．“x2﹣5x﹣6=0"必要不充分条件是“x=﹣1"
【考点】命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】转化思想；定义法;简易逻辑．
【分析】A条件没有否定；B结论否定错误；C原命题和逆否命题等价；D判断错误
【解答】A．不正确：否命题既要否定条件也要否定结论，这里的条件没有否定
B．不正确：x2﹣x+1＜0的否定是x2﹣x+1≤0
C．正确：因为原命题和逆否命题有等价性，所以由原命题真可以推得逆否命题也真
D．不正确：“x2﹣5x﹣6=0”充分不必要条件是“x=﹣1”
答案选C
【点评】“x2﹣5x﹣6=0”的充要条件是“x=﹣1，或x=6”
4．已知指数函数y=f（x）的图象过点（，），则log2f（2）的值为（)
A．B．﹣C．﹣2 D．2
【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．
【专题】方程思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】设指数函数y=f(x）=a x（a＞0，且a≠1，为常数)，把点(，)代入可得=，解得a，即可得出．
【解答】解：设指数函数y=f（x）=a x（a＞0，且a≠1,为常数）,
把点（，)代入可得=,解得a=．
∴，
则log2f（2)==﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数的解析式、指数幂的运算性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．已知：sin（+θ)+3cos（π﹣θ）=sin（﹣θ）,则sinθcosθ+cos2θ=（）A．B．C．D．
【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由条件利用诱导公式求得tanθ=2,再利用同角三角函数的基本关系求得
sinθcosθ+cos2θ的值．
【解答】解：∵sin(+θ）+3cos（π﹣θ）=cosθ﹣3cosθ=﹣2cosθ=sin（﹣θ）=﹣sinθ,∴tanθ=2，则sinθcosθ+cos2θ===，
故选:D．
【点评】本题主要考查应用诱导公式、同角三角函数的基本关系化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点,属于基础题．
6．不等式｜x﹣5|+｜x+1｜＜8的解集为（）
A．(﹣∞，2) B．（﹣2，6）C．(6,+∞）D．（﹣1，5）
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．
【分析】由条件利用绝对值的意义，求得绝对值不等式｜x﹣5|+|x+1｜＜8的解集．
【解答】解：由于｜x﹣5｜+｜x+1｜表示数轴上的x对应点到5、﹣1对应点的距离之和,
而数轴上的﹣2和6对应点到5、﹣1对应点的距离之和正好等于8，
故不等式｜x﹣5｜+｜x+1|＜8的解集为（﹣2,6)，
故选：B．
【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于基础题．
7．函数y=的图象可能是（）
A．B．C．D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】当x＞0时，，当x＜0时，
，作出函数图象为B．
【解答】解：函数y=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．
当x＞0时,，
当x＜0时，，此时函数图象与当x＞0时函数
的图象关于原点对称．
故选B
【点评】本题考查了函数奇偶性的概念、判断及性质,考查了分段函数的图象及图象变换的能力．
8．下列四个命题，其中正确命题的个数（）
①若a＞|b|，则a2＞b2
②若a＞b，c＞d,则a﹣c＞b﹣d
③若a＞b,c＞d，则ac＞bd
④若a＞b＞o，则＞．
A．3个B．2个C．1个D．0个
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】综合题；转化思想；分析法;不等式的解法及应用．
【分析】直接由不等式的可乘积性判断①；举例说明②③④错误．
【解答】解：①若a＞|b｜，则a2＞b2，①正确；
②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d错误,如3＞2，﹣1＞﹣3，而3﹣（﹣1）=4＜5=2﹣(﹣3）；
③若a＞b，c＞d，则ac＞bd错误，如3＞1，﹣2＞﹣3，而3×（﹣2）＜1×（﹣3）；
④若a＞b＞o,则，当c＞0时，＜,④错误．
∴正确命题的个数只有1个．
故选:C．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了不等式的基本性质，是基础题．
9．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（2﹣3)，b=f(3m)，c=f（log0.53）,则（）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【考点】对数函数图象与性质的综合应用．
【专题】数形结合；函数的性质及应用．
【分析】由题意可得m=0，可得f（x）=2｜x|﹣1在（0，+∞）单调递增,在（﹣∞,0)单调递减,比较三个变量的绝对值大小可得．
【解答】解：∵定义在R上的函数f（x)=2｜x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数,
∴f（﹣1）=f（1）,即2｜﹣1﹣m|﹣1=2|1﹣m|﹣1，解得m=0，
∴f（x）=2|x｜﹣1在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞,0）单调递减,
∵2﹣3=∈（0，1)，3m=1，｜log0
3|=log23＞1，。

5
∴f（2﹣3）＜f（3m）＜f（log0.53），即a＜b＜c
故选：A
【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性，属基础题．
10．已知定义在R上的函数y=f（x)对任意的x都满足f（x+2)=f（x），当﹣1≤x＜1时，f（x）=sin x，若函数g（x）=f（x）﹣log a|x｜至少6个零点,则a的取值范围是（）A．（0，］∪(5，+∞）B．（0,）∪[5，+∞) C．（,]∪（5，7) D．（，）∪［5，7)
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．
【分析】分a＞1与0＜a＜1讨论，结合题意作两个函数的图象，利用数形结合求解即可．【解答】解：当a＞1时,作函数f（x）与函数y=log a|x|的图象如下，
，
结合图象可知，
，
故a＞5；
当0＜a＜1时，作函数f(x）与函数y=log a|x｜的图象如下，
，
结合图象可知，
，
故0＜a≤．
故选A．
【点评】本题考查了函数的图象的作法及应用，同时考查了分类讨论的思想应用．
二、填空题(共5小题,每小题5分，满分25分）
11．已知f（x）=，则f（f（））的值为3e．
【考点】对数的运算性质．
【专题】分类讨论；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】由＞3，可得=log3(15﹣6)=2．进而得出．
【解答】解：∵＞3,
∴=log3（15﹣6）=2．
∴f(f（）)=f（2）=3e2﹣1=3e．
故答案为：3e．
【点评】本题考查了对数与指数的运算性质、分段函数的解析式，考查了计算能力，属于中档题．
12．曲线y=2sinx（0≤x≤π）与x轴围成的封闭图形的面积为4．
【考点】定积分．
【专题】计算题；函数思想;转化思想；导数的概念及应用．
【分析】根据题意可知当x∈[0，π］时,曲线y=2sinx和x轴所围成图形的面积为S=∫0π(2sinx）dx,然后利用定积分的运算法则解之即可．
【解答】解:当x∈[0,π]时,曲线y=2sinx和x轴所围成图形的面积为S=（2sinx)dx
而S=（2sinx）dx=﹣2cosx=(﹣2cosπ）﹣(﹣2cos0）=2+2=4
故答案为：4．
【点评】本题主要考查用定积分求面积，求解的关键是找出被积函数的原函数，属于基础题．13．若x,y满足，则z=2x+y的最大值为．
【考点】简单线性规划．
【专题】作图题；转化思想;数形结合法；不等式的解法及应用．
【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（），
化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，
由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大,z有最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法,是中档题．
14．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b,c，已知b=c，sinA+sinC=2sinB，则cosA=．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；解三角形．
【分析】已知第二个等式利用正弦定理化简，把第一个等式代入用c表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a与b代入求出cosA的值即可．
【解答】解：把sinA+sinC=2sinB，利用正弦定理化简得：a+c=2b，
把b=c代入得：a+c=2c，即a=c,
∴cosA===,
故答案为：．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．
15．如图,点P从点O出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系分别记为y=f（x），y=g（x），定义函数h（x)=,对于函数y=h（x），下列结论正确的是①②③．
①h（4）=；
②函数h（x）的图象关于直线x=6对称；
③函数h(x）值域为[0,]；
④函数h（x）增区间为（0,5)．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】综合题；运动思想；数形结合法；函数的性质及应用;简易逻辑．
【分析】由已知条件求出函数的解析式，通过函数值，函数图象的对称性，单调性逐一判断四个命题得答案．
【解答】解：由题意可得y=f（x）=，
y=g（x）=，
①∵函数h（x）=，f（4)=4，g（4)=，
∴h（4）=，故①正确；
②函数h（x）的图象关于直线x=6对称；
∵两个几何图形是正三角形与正方形,∴函数h（x)的图象关于直线x=6对称,故②正确；
③∵f（x）∈[0，4］，g（x）∈[0，]，
由=,解得x=5时，f（x）=g（x）,此时g（5）=，
∴函数h（x）值域为[0，]，故③正确；
④∵f（x）=，x∈（6，8），f(x）是增函数,并且g（x）≥f
（x），
∴函数h（x）增区间为（0，5），（6，8）．故④不正确．
综上①②③正确．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用,考查简单的建模思想方法，考查分段函数的图象与性质，属中高档题．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．在△ABC中,角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足2•=a2﹣（b﹣c）2
（Ⅰ)求角A的大小；
（Ⅱ）若a=4，△ABC的面积为4，求b，c．
【考点】余弦定理的应用．
【专题】综合题;转化思想；综合法;解三角形．
【分析】（I）由题意可得2bccosA=a2﹣b2﹣c2﹣2bc，再由余弦定理求出cosA,从而确定A的大小；
(II）利用三角形的面积公式S=bcsinA得bc=16；再由余弦定理得b2+c2+bc=48，联立求出b、c．
【解答】解：(Ⅰ）由题意可得2bccosA=a2﹣b2﹣c2﹣2bc，
由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得4bccosA=﹣2bc，
∴cosA=﹣，∵0＜A＜π，∴A=．
(Ⅱ）∵sinA=，cosA=﹣,
∴S==4，∴bc=16，
a2=b2+c2﹣2bccosA⇔b2+c2+bc=48，
∴b=c=4，
故b=4，c=4．
【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的应用,结合题设条件，利用余弦定理求出角A的大小是解答本题的关键．
17．已知向量，的夹角为60°，且|｜=1，｜|=2，又=2+，=﹣3+
(Ⅰ）求与的夹角的余弦;
（Ⅱ)设=t﹣，=﹣,若⊥，求实数t的值．
【考点】平面向量的综合题．
【专题】计算题；向量法;平面向量及应用．
【分析】(Ⅰ）进行数量积的运算便可得出，根据便可求出，同理可求出，这样根据向量夹角的余弦公式即可求出与夹角的余弦；
(Ⅱ)先求出，而根据便有
，进行数量积的运算即可求出t的值．【解答】解：(Ⅰ）==﹣6﹣1•2•cos60°+4=﹣3；
=，
；
∴;
即与夹角的余弦为；
(Ⅱ）,；
∴=2t+3﹣t﹣4﹣4t+4=0;
∴t=1．
【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，求向量长度的方法:根据，向量夹角的余弦公式,向量的减法和数乘运算，向量垂直的充要条件．
18．已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣)
（Ⅰ）求f(x）的单调递增区间;
(Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数y=g（x)的图象,求函数y=g(x）在［﹣，]上的值域．【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；数形结合;数形结合法；三角函数的图像与性质．
【分析】（Ⅰ）利用两角和与差的正弦函数公式化简可得函数解析式f(x）=2sin（2x﹣），由2k≤2x﹣≤2k,k∈Z即可解得f（x)的单调递增区间．
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换规律得到函数g（x）=2cosx，结合范围x∈［﹣，］，由余弦函数的图象和性质即可得解．
【解答】（本题满分为12分）
解：(Ⅰ）f（x)=(sin2x+cos2x）+•（sin2x﹣cos2x）
=sin2x﹣cos2x
=2sin（2x﹣）,
由2k≤2x﹣≤2k,k∈Z即可解得f（x）的单调递增区间为：[k，
k](k∈Z）…6分
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位,得到y=2sin［2（x+）﹣］=2sin（2x+）, 再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数y=g(x）=2sin（x+）=2cosx，
∵x∈［﹣,］，
∴x=0时,g(x）max=2,x=时，g（x）min=﹣1．
∴函数y=g（x)在［﹣，］上的值域为：[﹣1，2］…12分
【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，函数y=Asin(ωx+φ）的图象变换规律的应用，考查了正弦函数、余弦函数的图象和性质,属于中档题．
19．设函数f(x）=x3﹣3(a+1）x+b．(a≠0）
（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点（2，f(2）)处与直线y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函数g（x）=f(x)+3x的单调区间与极值．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值．
【专题】计算题；分类讨论；分类法；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ)先求出函数的导数，通过解方程组求出a，b的值;
(Ⅱ）讨论a＞0，a＜0，分别令g′（x）＞0，g′（x）＜0，解不等式,求出单调区间，从而求出函数的极值．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x)=3x2﹣3（a+1），
∵曲线y=f（x）在点（2，f（2)）处与直线y=8相切，
∴f′（2）=0且f（2)=8，即12﹣3（a+1）=0，且8﹣6(a+1)+b=8,
解得a=3,b=24；
（Ⅱ）∵g(x）=f（x)+3x=x3﹣3ax+b，
g′(x)=3（x2﹣a）(a≠0），
当a＜0时,g′（x）＞0，函数g(x）在（﹣∞,+∞）上单调递增,
此时函数g(x）没有极值点;
当a＞0时，由g′（x）=0，解得x=±，
当x＞或x＜﹣时，g′（x)＞0，函数g（x）单调递增，
当﹣＜x＜时,g′（x）＜0，函数g(x）单调递减，
∴此时x=﹣是g（x)的极大值点，且极大值为b+2a；
x=是g（x）的极小值点，且极小值为b﹣2a．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力．
20．某厂家拟举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t=5﹣(其中0≤x≤a2﹣3a+4,a为正常数），现假定生产量与销售量相等,已知生产该产
品t万件还需投入成本(10+2t）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（t+)万元/万件．
(Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．
【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】应用题；分类讨论;数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】(Ⅰ）确定该产品售价为2×（）万元，y=2×（)×t﹣10﹣2t﹣x，销售量t 万件满足t=5﹣代入化简得该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ)分类讨论,利用基本不等式及函数的单调性，可求厂家的利润最大．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，利润y=t×（）﹣（10+2t）﹣x
由销售量t万件满足t=5﹣（其中0≤x≤a2﹣3a+4，a为正常数）,
代入化简可得：y=20﹣（+x），(0≤x≤a2﹣3a+4）
(Ⅱ）y=21﹣(+x+1）≤21﹣2=15，
当且仅=x+1,即x=2时，上式取等号．
当1≤a2﹣3a+4，即a≥2或0＜a≤1时，促销费用投入2万元时,厂家的利润最大；
当a2﹣3a+4＜2,即1＜a＜2时,y=＞0,
故y在0≤x≤a2﹣3a+4上单调递增，
所以在0≤x≤a2﹣3a+4时，函数有最大值．促销费用投入x=a2﹣3a+4万元时,厂家的利润最大．综上述，当a≥2或0＜a≤1时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大；
当1＜a＜2时，促销费用投入x=a2﹣3a+4万元时，厂家的利润最大．
【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式的运用，确定函数解析式是关键．
21．已知函数f（x）=xlnx和g（x）=m（x2﹣1）(m∈R）
（Ⅰ）m=1时，求方程f（x)=g（x)的实根；
（Ⅱ）若对于任意的x∈(1，+∞），函数y=g（x）的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求m 的取值范围；
（Ⅲ）求证：++…+＞ln（2n+1）（n∈N*）
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的证明．
【专题】构造法；导数的综合应用；不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）代入m=1时，f（x）=g（x)即xlnx=x2﹣1，整理方程得lnx﹣x+=0，利用导函数判断函数的单调性为递减函数，故最多有一个零点，而h(1）=0,故方程f(x）=g（x)有惟一的实根x=1；
（Ⅱ）对于任意的x∈（1,+∞）,f（x）＜g（x)恒成立，通过构造函数设F(x）=lnx﹣m(x﹣），利用导函数判断函数的单调性,F′（x)=﹣m(1+）=,通过讨论m，判断是否符合题意;
（Ⅲ)由（Ⅱ）知,当x＞1时，m=时，lnx＜（x﹣）成立．结合题型，构造不妨令x=
＞1，(k∈N＊）,得出ln（2k+1）﹣ln(2k﹣1)＜，(k∈N*），利用累加可得结论．
【解答】（Ⅰ）m=1时，f（x)=g（x）即xlnx=x2﹣1，
整理方程得lnx﹣x+=0，
∵x＞0，所以方程即为lnx﹣x+=0，
令h(x）=lnx﹣x+,则h′（x）=﹣1﹣==＜0，
∴h（x）单调递减，而h(1）=0，故方程f（x）=g（x）有惟一的实根x=1；
（Ⅱ）对于任意的x∈［1，+∞），f（x)＜g（x）恒成立,
∴lnx＜m（x﹣），
设F（x)=lnx﹣m（x﹣),即∀x∈［1，+∞)，F（x）≤0,
F′（x）=﹣m（1+)=①
若m≤0，则F’(x)＞0,F（x）＞F（1）=0，这与题设F(x）≤0矛盾；
②若m＞0，方程﹣mx2+x﹣m=0的判别式△=1﹣4m2，
当△≤0,即m≥时，F’（x）≤0,
∴F(x）在(1，+∞）上单调递减，
∴F(x)≤F(1）=0，即不等式成立，
当0＜m＜时，方程﹣mx2+x﹣m=0有两正实根,设两根为x1,x2，（x1＜x2）,
x1=∈（0，1），x2=∈（1,+∞），
当x∈（1，x2)，F'（x)＞0，F（x)单调递增,F（x）＞F（1)=0与题设矛盾，
综上所述,m＞．
所以，实数m的取值范围是（，+∞）；
（Ⅲ）由(Ⅱ)知,当x＞1时，m=时，lnx＜（x﹣)成立．
不妨令x=＞1，（k∈N＊），
所以ln＜（﹣）=，
即ln（2k+1）﹣ln（2k﹣1）＜，（k∈N＊)
ln3﹣ln1＜，ln5﹣ln3＜，…，ln(2n+1）﹣ln（2n﹣1）＜, 累加可得，++…+＞ln（2n+1）．
【点评】本题考查了零点与单调性,利用导数判断恒成立问题，利用已证结论，构造函数解决实际问题．属于难题．。