高考数学压轴专题新备战高考《推理与证明》图文解析

新高考数学《推理与证明》练习题
一、选择题
1．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，L ，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ） A ．255
B ．419
C ．414
D ．253 【答案】B
【解析】
【分析】
每个式子的值依次构成一个数列{}n a ，然后归纳出数列的递推关系12n n n a a a n --=++后再计算．
【详解】
以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92，L 构成一个数
列{}n a ，可得数列{}n a 满足12n n n a a a n --=++()
*3,n n ≥∈N ， 则876854928154a a a =++=++=，
9879154929255a a a =++=++=，10981025515410419a a a =++=++=． 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项．
2．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据提示三分法，考虑将硬币分为3组，然后将有问题的一组再分为3组，再将其中有问题的一组分为3，此时每组仅为1枚硬币，即可分析出哪一个是假币.
【详解】
第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组3枚，任取2组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每组1枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不
平衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3次天平. 故选：B.
【点睛】
本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息，由此入手会方便很多.
3．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）
A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电
B ．猜想数列111122334
⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=
D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=
【答案】C
【解析】
【分析】
根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解．
【详解】
根据合情推理与演绎推理的概念，可得:
对于A 中， 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理； 对于B 中， 猜想数列111122334
⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；
对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理； 对于D 中， 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222
()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理，
综上，可演绎推理的C 项，故选C ．
【点睛】
本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
4．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队
B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队
C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队
D ．任意顺序排队接水的总时间都不变
【答案】B
【解析】
【分析】
表示出拎小桶者先接水时等候的时间，然后加上拎大桶者一共等候者用的时间，用（2m+2T+t ）减去二者的和就是节省的时间；由此可推广到一般结论
【详解】
事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T 分钟，小桶接满水需要t 分钟，并设拎大桶者开始接水时已等候了m 分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（m+T ）分钟，拎小桶者一共等候了（m+T+t ）分钟，两人一共等候了（2m+2T+t ）分钟，在其他人位置不变的前提下，让这两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了 22m t T ++ 2m+2t+T
分钟，共节省了T t - T-t
分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少．这样经过一系列调整后，整个队伍都是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短．
故选B.
【点睛】
一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决．经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法．
5．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n N ∈，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i
行有i 个数，*i N ∈），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （*,i j N ∈且j i ≤），则
()21,20a =（ ）
A ．20932⨯
B ．21032⨯
C ．21132⨯
D ．21232⨯
【答案】C
【解析】
【分析】 由题可观察得到第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行
第20个数,即为第21行倒数第2个数,则先求得前20行的数的个数,再加2即为()21,20a 对应的数列的项,即可求解.
【详解】
由题可知,第i 行有i 个数,
当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,
()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,
则前20行共有()1+2020=2102
⨯个数,即第21行倒数第1个数为211a , 所以()21121221,2032
a a ==⨯,
故选:C
【点睛】 本题考查合情推理,考查归纳总结能力,考查等差数列求和公式的应用.
6．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）
A ．丙被录用了
B ．乙被录用了
C ．甲被录用了
D ．无法确定谁被录用
了
【答案】C
【解析】
【分析】
假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.
【详解】
解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，
若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，
若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，
综上可得甲被录用了，
故选：C.
【点睛】
本题考查了逻辑推理能力，属基础题.
7．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时，
小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过北京的是（ ）
A ．小钱
B ．小李
C ．小孙
D ．小赵
【答案】A
【解析】
由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；
如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选A.
8．数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2212cos a sin a =-”所用的几何图形，已知点,B C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且,AE AB =点F 为EC 的中点.设2,AC r =,DAC a ∠=那么下列结论:
2,DC rcosa =①
22,AB rcos a =②
()12,FC r cos a =-③
()22DC r r AB =-④.
其中正确的是（ ）
A ．②③
B ．②④
C ．①③④
D ．②③④ 【答案】D
【解析】
【分析】
在Rt ADC ∆中，可判断①，Rt ABC ∆中，可判断②，利用ADB ∆与ADE ∆全等及ADC ∆与DFC ∆相似即可判断③④.
【详解】
在Rt ADC ∆中，
2sin ,DC r a =故①不正确； 因为 ,BD DC =所以2,BAC a ∠=在Rt ABC ∆中，2cos2AB r a =，故②正确； 因为AE AB BD DC ==，，易知ADB ∆与ADE ∆全等，故
DE BD DC DF EC ==⊥，，所以()1cos22AB FC r r a =-
=-， 又C
C AC
D FC D =，所以()22DC AC FC r r AB =⋅=-，故③④正确， 由2sin 2cos2DC r a AB r a ==,，()22DC r r AB =-，可得
()
()22sin 22cos2r a r r r a =-，即22sin 1cos2a a =-.
故选：D.
【点睛】 本题考查推理与证明，考查学生在圆中利用三角形边长证明倍角公式的背景下，判断所需
的边长是否正确，是一道中档题.
9．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( )
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【解析】
【分析】
结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人.【详解】
结合题意分类讨论：
若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意；
若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意；
若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意；
若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意；
综上可得，获奖人为乙.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.
10．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )
A．乙 B．甲 C．丁 D．丙
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论.
【详解】
在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；
假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；
由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，
由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的，
由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A.
【点睛】
本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.
11．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级.该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）
A．8种B．10种C．12种D．14种
【答案】B
【解析】
【分析】
根据表格,利用分类讨论思想进行逻辑推理一一列举即可.
【详解】
张毅同学不同的选课方法如下:
()1物理A层1班，生物B层3班,政治3班;
()2物理A层1班,生物B层3班,政治2班;
()3物理A层1班,生物B层2班,政治3班;
()4物理A层3班,生物B层2班,政治3班;
()5物理A层3班,生物B层2班,政治1班;
()6物理A层2班,生物B层3班,政治1班;
()7物理A层2班,生物B层3班,政治3班;
()8物理A层4班,生物B层3班,政治2班;
()9物理A层4班,生物B层3班,政治1班;
()10物理A 层4班,生物B 层2班,政治1班;
共10种.
故选:B
【点睛】
本题以实际生活为背景,考查学生的逻辑推理能力和分类讨论的思想;属于中档题.
12．新课程改革后，某校的甲、乙、丙三位同学都选了A 、B 、C 三门课中的两门，且任何两位同学选修的课程有且仅有一门相同.其中甲、乙共同选修的课不是B ，乙、丙共同选修的课不是A ，B 和C 两门课程有一个丙没有选，则甲选修的两门课程是（ ） A ．A 和B
B ．B 和
C C ．A 和C
D ．无法判断
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可知丙一定选了A 课程，结合题意进行推理，可得出甲所选修的两门课程，由此可得出结论.
【详解】 B 和C 两门课程有一个丙没有选，所以丙肯定选了A ，
乙、丙共同选修的课不是A ，则乙选择了B 、C 两门课程，
由于甲、乙共同选修的课不是B ，则甲、乙共同选修的是C ，但甲不能选择B 课程. 因此，甲选修是A 、C 两门课程.
故选：C.
【点睛】
本题考查简单的合情推理问题，考查推理能力，属于中等题.
13．三角形面积为()12
S a b c r =++，a ，b ，c 为三角形三边长，r 为三角形内切圆半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为（ ）
A ．13V abc =
B ．13V Sh =
C ．()13V ab bc ac h =
++⋅（h 为四面体的高） D ．()123413
V s s s s r =+++⋅（其中1s ，2s ，3s ，4s 分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径，设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面与空间的类比推理，由点类比直线，由直线类比平面，由内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比四面体的体积计算方法，即可求解．
【详解】
设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，
根据三角形的面积的求解方法：利用分割法，将O 与四个顶点连起来，
可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积之和， 即()123413
V s s s s r =+++⋅，故选D ． 【点睛】
本题主要考查了类比推理的应用，其中解答中类比推理是将已知的一类数学对象的性质类比到另一类数学对象上去，通常一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质取推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题，本题属于基础题．
14．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）
A ．高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人
B ．猜想数列111,,122334
⋯⋯⨯⨯⨯的通项公式为()1(1)n a n N n n +=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=
D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质
【答案】C
【解析】
【分析】
根据归纳推理，类比推理和演绎推理的定义分别进行判断即可.
【详解】
对于A ，高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人，是归纳推理；
对于B ，归纳出{}n a 的通项公式，是归纳推理；
对于C ，半径为r 的圆的面积2πS r =，则单位圆的面积πS =，演绎推理；
对于D ，由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，为类比推理.故选C ．
【点睛】
该题考查的是有关演绎推理的判断，涉及到的知识点有判断一个推理是合情推理还是演绎推理，关键是要明确合情推理和演绎推理的定义，属于简单题目.
15．已知()()
()212f x f x f x +=+， ()11f =（*x N ∈），猜想()f x 的表达式为（ ）
A ．()21f x x =
+ B ．()422x f x =+ C ．()11f x x =+ D ．()221
f x x =+ 【答案】A 【解析】因为()()
()212f x f x f x +=+,所以()()11112
f x f x =++ ,因此()()()()()11112111221
x x f x f x f x =+-=+⇒=+,选A.
16．用数学归纳法证明不等式11112321
n n +++⋅⋅⋅+<-（2n ≥且*n N ∈）时，在证明从n k =到1n k =+时，左边增加的项数是（ ） A ．2k
B ．21k -
C ．12k -
D ．k 【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意由n k =递推到1n k =+时，由1n k =+时的不等式左边11111111232122121
k k k k +=+
++⋯++++⋯+-+-与n k =时不等式的左边比较即可求解. 【详解】 用数学归纳法证明不等式11112321
n n +++⋅⋅⋅+<-的过程中， 假设n k =时不等式成立，则左边11112321k =+
++⋅⋅⋅+-， 那么当1n k =+时，左边11111111232122121
k k k k +=+++⋯++++⋯+-+-， ∴由n k =递推到1n k =+时，不等式左边增加了：
111122121k k k +++⋯++-， 共()
121212k k k +--+=项. 故选：A
【点睛】
本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题.
17．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式11111+
++⋅⋅⋅中“⋅⋅⋅”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程
11x x +=求得12
x =，类似上述过程，则231111333++++⋅⋅⋅=( ) A ．2
B ．32
C ．3
D ．53 【答案】B
【解析】
【分析】 由232311111131333333⎛⎫⎛⎫⨯+++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，类比已知中的求法，可构造方程求得结果.
【详解】 232311111131333333⎛⎫⎛⎫⨯+++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
Q ∴可设23111333
x =+++⋅⋅⋅，则31x x =+，解得：12x = 23111131133322
++++⋅⋅⋅=+=∴ 故选：B
【点睛】
本题考查类比推理的应用问题，关键是能够明确已知中的代换关系，将所求式子整理变形为可以整体换元的方式.
18．0=，则0x y ==，假设为( ) A ．,x y 都不为0
B ．,x y 不都为0
C ．,x y 都不为0，且x y ≠
D ．,x y 至少有一个为0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果.
【详解】 0x y ==的否定为00x y ≠≠或，即x ，y 不都为0，选B.
【点睛】
本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题.
19．用数学归纳法证明“
1112n n ++++…111()24
n N n n +≥∈+”时，由n k =到1n k =+时，不等试左边应添加的项是( )
A ．
12(1)k + B ．112122k k +++ C ．11121221k k k +-+++ D ．1111212212
k k k k +--++++ 【答案】C
【解析】
【分析】
分别代入,1n k n k ==+，两式作差可得左边应添加项。

【详解】
由n=k 时，左边为11112k k k k
+++++L ， 当n=k+1时，左边为11111231(1)(1)
k k k k k k k k +++++++++++++L 所以增加项为两式作差得：
11121221k k k +-+++，选C. 【点睛】
运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n 0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．
20．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有4637a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于5b ，7b ，4b ，8b 的一个不等关系正确的是（ ）
A ．5748b b b b >
B ．7845b b b b >
C ．5748b b b b +<+
D ．7845b b b b ++<
【答案】C
【解析】
【分析】
类比等差数列{}n a 与等比数列{}n b 各项均为正数，等差数列中的“和”运算类比到等比数列变为“积”运算，即可得到答案．
【详解】
在等差数列{}n a 中，由4637+=+时，有4637a a a a >，
类比到等比数列{}n b 中，由5748+=+时，有4857b b b b +>+，
因为4334857444444()(1)(1)b b b b b b q b q b q b q b q q +-+=+--=-+- 32244(1)(1)(1)(1)0b q q b q q q =--=-++>，
所以4857b b b b +>+成立．
故选：C
【点睛】
本题主要考查类比推理，同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力，属于中档题．。