2019年中考数学一轮复习 第7讲 一元二次方程

2019年中考数学一轮复习 第7讲 一元二次方程
一元二次方程的概念
只含有①________个未知数，未知数的最高次数是②________，像这样的③________方程叫一元二次方程．其一般形式是④____________．
一元二次方程的解法
一元二次方程的应用
(1)列一元二次方程解应用题的步骤：
①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤检验；⑥作结论． (2)一元二次方程应用问题常见的等量关系：
①增长率中的等量关系：增长率＝增量÷基础量；
②利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；
③利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用，利润率＝利润÷进货价．
一元二次方程根的判别式
(1)根的判别式：一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的情况可由⑧________来判定，我们将⑨________称为根的判别式．
(2)判别式与根的关系：
①当b 2
－4ac>0方程有⑩________的实数根；
②当b 2
－4ac<0方程没有实数根；
③当b 2
－4ac ＝0方程有○
11________的实数根． 【易错提示】 一元二次方程有实数根的前提是b 2
－4ac≥0.
利用方程根的意义，把方程的根代入方程中，是解决一元二次方程有关问题的一种重要方法，我们可以把这种方法
称为让根回家．
命题点1 一元二次方程的解法
(2014·河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式时，对于b 2
－4ac ＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax 2
＋bx ＋c ＝0变形为： x 2
＋b a x ＝－c a
，……第一步
x 2
＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b 2a )2，……第二步
(x ＋b 2a )2＝b 2
－4ac 4a
2
，……第三步 x ＋b 2a ＝b 2－4ac 4a (b 2
－4ac ＞0)，……第四步 x ＝－b ＋b 2－4ac 2a
.……第五步
(1)嘉淇的解法从第________步开始出现错误；事实上，当b 2
－4ac ＞0时，方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式是________________．
(2)用配方法解方程：x 2
－2x －24＝0. 【解答】
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程时，需除以二次项系数之后再配方，这里可与二次函数的配方进行比较．
1．(2014·长沙改编)已知关于x 的一元二次方程2x 2
－3kx ＋4＝0的一个根是1，则实数k 的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2
2．(2014·唐山路北一模)用配方法解一元二次方程x 2
＋4x －5＝0，此方程可变形为（ ）
A ．(x ＋2)2＝9
B ．(x －2)2
＝9
C ．(x ＋2)2＝1
D ．(x －2)2
＝1
3．(2015·厦门)方程x 2
＋x ＝0的解是________________． 4．用公式法解方程：
(1)(2014·遂宁)x 2
＋2x －3＝0；
(2)(2014·淄博改编)x2＋22x－6＝0；
(3)(2013·滨州改编)2x2－3x＋1＝0.
命题点2 一元二次方程根的判别式
(2015·河北)若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是（）
A．a＜1 B．a＞1
C．a≤1 D．a≥1
注意有实数根与有两个不相等的实数根的区别．
1. (2015·石家庄裕华区模拟)一元二次方程 x2＋2x－c＝0中，c＞0，该方程的解的情况是（）
A．没有实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．不能确定
2．(2015·宁德)如果方程x2－2x＋a＝0有两个相等的实数根，那么a的值是________．
3．(2015·青岛)关于x的一元二次方程2x2＋3x－m＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
4．(2015·南充)已知关于x的一元二次方程(x－1)(x－4)＝p2，p为实数．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)p为何值时，方程有整数解．(直接写出三个，不需说明理由)
命题点3 一元二次方程的应用
(2014·巴中)某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180
个，定价每增加1元，销售量将减少10个；定价每减少1元，销售量将增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2 000元，则应进货多少个？定价为多少元？
【解答】
找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
1．(2014·百银)用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列方程为（ ）
A ．x(5＋x)＝6
B ．x(5－x)＝6
C ．x(10－x)＝6
D ．x(10－2x)＝6
2．(2015·安徽)我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ） A ．1.4(1＋x)＝4.5 B ．1.4(1＋2x)＝4.5
C ．1.4(1＋x)2
＝4.5
D ．1.4(1＋x)＋1.4(1＋x)2
＝4.
1．(2015·保定二模)若关于x 的一元二次方程(a －1)x 2
＋2x －2＝0有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1
2
B ．a ≥12
C ．a ＞1
2
且a≠1
D ．a ≥1
2
且a ≠1
2．(2014·保定一模)方程(x ＋1)(x －3)＝5的解是（ ） A ．x 1＝1，x 2＝－3 B ．x 1＝4，x 2＝－2 C ．x 1＝－1，x 2＝3 D ．x 1＝－4，x 2＝2
3．(2014·菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2
＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－2
4．(2015·石家庄新华区质检)某工厂2014年的生产总值比2013年增长了12%，由于排污设备需要改造升级，预计今年比2014年增长7%，若这两年生产总值年平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A ．12%＋7%＝x
B ．(1＋12%)(1＋7%)＝2(1＋x)
C ．12%＋7%＝2x
D ．(1＋12%)(1＋7%)＝(1＋x)2
5．(2014·泰安)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元，若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列出的方程是（ ）
A ．(3＋x)(4－0.5x)＝15
B ．(x ＋3)(4＋0.5x)＝15
C ．(x ＋4)(3－0.5x)＝15
D ．(x ＋1)(4－0.5x)＝15
6．(2014·白银)一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2
－1＝0的一个根为0，则a ＝________．
7. (2015·济宁改编)三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x 2
－13x ＋36＝0的根，则三角形的周长为________．
8．(2013·白银)定义运算“★”：对于任意实数a 、b ，都有a★b＝a 2－3a ＋b ，如：3★5＝32
－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x 的值是________．
9．(2014·丽水)如图，某小区规划在一个长30 m 、宽20 m 的长方形ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条
与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78 m 2
，那么通道的宽应设计成多少m ？
设通道的宽为x m，由题意列得方程________________．
10．解方程：
(1)(2014·自贡)3x(x－2)＝2(2－x)；
(2)(2013·山西)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.
11. (2015·唐山路北二模)已知x＝2是关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－2＝0的一个根．
(1)求m的值及方程的另一个根；
(2)若7－x≥1＋m(x－3)，求x的取值范围．
12．(2014·南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.
(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为________万元；
(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.
13．(2013·广元)小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？
(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，”他的说法对吗？请说明理由．
14．(2015·淮安)水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．
(1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是________斤(用含x的代数式表示)；
(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
15. (2015·石家庄新华区质检) 已知关于x的方程(k－1)x2＋2x＋1＝0有实数解，则k的取值范围是（）A．k＞2
B．k≥2
C．k≤2
D．k≤2且k≠1
16．(2014·成都改编)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m.
(1)若花园的面积为192 m2，求x的值；
(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，若花园的面积为195平方米，能否将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)．
参考答案 考点解读
考点1 ①1 ②2 ③整式 ④ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ≠0)
考点2 ⑤完全平方 ⑥x＝－b±b 2
－4ac 2a
(b 2
－4ac≥0) ⑦0
考点4 ⑧b 2－4ac ⑨b 2
－4ac ⑩两个不相等 ○
11两个相等 各个击破
例1 (1)四 x ＝－b±b 2
－4ac
2a
(2)方程x 2
－2x －24＝0变形，得x 2
－2x ＝24，x 2
－2x ＋1＝24＋1，(x －1)2
＝25，x －1＝±5，x ＝1±5， 所以x 1＝－4，x 2＝6.
题组训练 1.C 2.A 3.x 1＝0，x 2＝－1
4.(1)x 1＝1，x 2＝－3. (2)x 1＝2，x 2＝－3 2. (3)x 1＝1，x 2＝1
2.
例2 B
题组训练 1.B 2.1 3.由题意知b 2－4ac ＝32
－4×2×(－m)＞0，解得m ＞－98.∴m 的取值范围是m ＞－98.
4.(1)化简方程，得x 2
－5x ＋(4－p 2
)＝0.∴Δ＝(－5)2
－4(4－p 2
)＝9＋4p 2
.
∵p 为实数，
∴9＋4p 2
＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)当p 为0、2、－2时，方程有正数解．
例3 设每个商品的定价是x 元，由题意，得(x －40)[180－10(x －52)]＝2 000.整理，得x 2
－110x ＋3 000＝0. 解得x 1＝50，x 2＝60.
当x ＝50时，进货180－10(x －52)＝200(个)，不符合题意，舍去． 当x ＝60时，180－10(x －52)＝100(个)．
答：当该商品每个单价为60元时，进货100个． 题组训练 1.B 2.C 整合集训
1．D 2.B 3.A 4.D 5.A 6.1 7.13 8.－1或4 9.(30－2x)(20－x)＝78×6
10.(1)3x(x －2)－2(2－x)＝0，3x(x －2)＋2(x －2)＝0，(3x ＋2)(x －2)＝0，x 1＝－2
3，x 2＝2.
(2)原方程可化为x 2
－6x ＋8＝0.
∴(x－3)2
＝1. ∴x－3＝±1.
∴x 1＝2，x 2＝4.
11.(1)把x ＝2代入x 2
＋3x ＋m －2＝0，得4＋6＋m －2＝0.
∴m＝－8. 方程化为x 2
＋3x －10＝0.解得x 1＝2，x 2＝－5. ∴m＝－8，另一个根为－5.(2)7－x≥1－8(x －3)，解得x≥18
7
.
12.(1)2.6(1＋x)2
(2)由题意，得4＋2.6(1＋x)2
＝7.146.
解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝－2.1(不合题意，舍去)． 答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.
13.(1)设其中一个正方形的边长为x cm ，由题意得x 2＋(10－x)2
＝58. 解得x 1＝3，x 2＝7.4×3＝12(cm)，4×7＝28(cm)． 答：小林应剪成12 cm 和28 cm 的两段．
(2)假设能围成．由(1)，得x 2＋(10－x)2＝48.化简得x 2
－10x ＋26＝0.
因为Δ＝(－10)2
－4×1×26＝－4<0，所以此方程没有实数根．所以小峰的说法是对的．
14.(1)(100＋200x) (2)根据题意，得(4－2－x)(100＋200x)＝300.解得x1＝0.5, x2＝1.
∵每天至少售出260斤，
∴x＝1.
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．
15.C
16.(1)∵AB＝x m，则BC＝(28－x) m，
∴x(28－x)＝192.解得x1＝12，x2＝16.
∴x的值为12 m或16 m．
(2)由题意可得x(28－x)＝195.解得x1＝15，x2＝13.
当x＝15时，28－x＝13＜15，不能将这棵树围在花园内；当x＝13时，28－x＝15，能将这棵树围在花园内．综上，能将这棵树围在花园内．。