高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)课时作业新人教版必修4

【创新设计】（浙江专用）2016-2017高中数学 第一章 三角函数 1.4.2
正弦函数、余弦函数的性质（二）课时作业 新人教版必修4
1.函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )
解析 函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B.当x ＝π
时，f (π)＝－π＜0，排除A ，当x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2时y ＞0，排除C ，选D.
答案 D
2.若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A.sin α>sin β
B.sin β>sin α
C.sin α≥sin β
D.sin α与sin β的大小不定 答案 D
3.函数y ＝2sin 2
x ＋2cos x －3的最大值是( ) A.－1
B.1
C.－12
D.－5
解析 由题意，得y ＝2sin 2
x ＋2cos x －3＝2(1－cos 2
x )＋2cos x －3＝ －2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122
－12.∵－1≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，函数有最大值－1
2.
答案 C
4.sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为_______. 解析 ∵1<π
2
<2<3<π，
sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.
y ＝sin x 在⎝
⎛⎭
⎪⎫
0，π2
上递增，且0<π－3<1<π－2<π2
，
∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)， 即sin 3<sin 1<sin 2. 答案 sin 3<sin 1<sin 2
5.若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝_____.
解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1，
∴0≤ωx ≤ωπ3<π3.∵f (x )max ＝2sin ωπ
3＝2，
∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，即ω＝3
4.
答案 3
4
6.求下列函数的单调增区间. (1)y ＝1－sin x
2；
(2)y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3－x 2.
解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋3
2π，k ∈Z ，
得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .
∴y ＝1－sin x
2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z ). (2)y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2＝log 12cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 2－π3.
要求原函数的增区间，即求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的减区间，且cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2－π3>0.
∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π
2
(k ∈Z ).
整理得4k π＋23π≤x <4k π＋5
3π(k ∈Z ).
所以函数y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－x 2的单调递增区间是 ⎣
⎢⎡⎭⎪⎫4k π＋23π，4k π＋53π(k ∈Z ).
7.已知函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b (a >0).
(1)写出函数f (x )的单调递减区间；
(2)设x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )的最小值是－2，最大值是3，求实数a ，b 的值.
解 (1)由题意得2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π
2，k ∈Z ，
即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π
12
，k ∈Z ，
∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z . (2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π
3，
∴－
32≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，
∴f (x )min ＝－
3
2
a ＋
b ＝－2，f (x )max ＝a ＋b ＝ 3.
由2,2,22a a b b a b ⎧=⎧-
+=-⎪⎪⇒⎨⎨=-⎪⎩⎪+=⎩
8.求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值______. 解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x ＝π
2
，
∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x . 从而原式就是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，这个函数的最小正周期为2π4，即T ＝π2.
当－
π2＋2k π≤4x ＋π3≤π
2
＋2k π(k ∈Z )时函数单调递增，所以函数的单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2(k ∈Z ). 当
π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π
2
＋2k π(k ∈Z )时函数单调递减，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z ). 当x ＝π24＋k π
2(k ∈Z )时，y max ＝2；
当x ＝－5π24＋k π
2
(k ∈Z )时，y min ＝－2.
能 力 提 升
9.函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π4，π4
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
，3π4
C.⎝
⎛⎭⎪⎫π，3π2
D.⎝
⎛⎭
⎪
⎫3π2，2π 解析 由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得
⎝
⎛⎭⎪⎫π，3π2为y ＝|sin x |的单调递增区间. 答案 C 10.函数y ＝2
sin x
的单调减区间是( )
A.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )
B.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z ) C.[]2k π－π，2k π(k ∈Z ) D.[]2k π，2k π＋π(k ∈Z )
解析 函数y ＝2x
为增函数，因此求函数y ＝2sin x
的单调减区间即求函数y ＝
sin x 的单调减区间. 答案 B
11.已知函数y ＝2sin(3x ＋φ)关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，0中心对称，则φ的一个可能取值为_____(只需
填写一个即可).
解析 由题意，3×π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )，令k ＝1，则φ＝π
4.
答案
π
4
(答案不唯一) 12.关于下列结论：
①函数y ＝sin x 在第一象限是增函数；
②函数y ＝cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－x 是偶函数； ③函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的一个对称中心是⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，0； ④函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在闭区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2上是增函数. 其中所有正确的结论的序号为.
解析 ①第一象限的角是无数个不连续的区间构成，由函数单调性的定义，易知①错误.②y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin 2x ，是奇函数，②错误.③令z ＝2x －π3，又y ＝4sin z
的对称中心是(k π，0)，∴2x －π3＝k π，∴x ＝k π2＋π6，当k ＝0时，x ＝π
6，③正确.④
显然错误. 答案 ③
13.已知函数y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3＋3，x ∈R .
(1)用五点法作出函数的简图； (2)分别写出它的值域、单调区间. 解 (1)列表：
(2)值域为[1，5]，
当x －π3∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )时，
即当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋56π(k ∈Z )时，为增函数. ∴单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z ).
当x －π3∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋32π(k ∈Z )时，
即当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋116π(k ∈Z )时，为减函数. ∴单调减区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋116π(k ∈Z ).
探 究 创 新
14.设定义域为R 的奇函数y ＝f (x )为减函数，f (cos 2
θ＋2m sin θ)＋f (－2m －2)>0恒成立，求实数m 的取值范围. 解 ∵f (x )是奇函数，
∴f (cos 2
θ＋2m sin θ)>－f (－2m －2)＝f (2m ＋2). 又f (x )在R 上递减，∴cos 2
θ＋2m sin θ<2m ＋2，
即2m (1－sin θ)>cos 2
θ－2.而sin θ＝1时该不等式恒成立，∴当sin θ≠1时，
m >－1－sin 2
θ2（1－sin θ）
. 令t ＝1－sin θ，则t ∈(0，2]， 且g (θ)＝－1－sin 2
θ
2（1－sin θ）
＝－1－（1－t ）2
2t ＝－12⎝
⎛⎭⎪⎫t ＋2t －2
＝－12⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤⎝
⎛⎭
⎪⎫t －2t 2
＋22－2≤1－ 2.
故实数m 的取值范围为(1－2，＋∞).。