高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其线性运算学案苏教版选修2-1(2021学年)

2017－2018版高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.1 空间向量及其线性运算学案苏教版选修２-1
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3．1。

1 空间向量及其线性运算
［学习目标] 1．了解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的线性运算及运算律，理解空间向量线性运算及其运算律的几何意义．
知识点一空间向量的概念
在空间中，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量叫做空间向量,向量的大小叫向量的长度或模．
知识点二空间向量的加减法
（1）加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类
似于平面向量的加减法.（如图)
错误!=错误!＋错误!＝a+b;
错误!=错误!－错误!＝a-b.
（2)运算律
交换律:a＋b=b＋a;
结合律：（ａ＋b)+c＝a＋（b+c）.
知识点三空间向量的数乘运算
（1)定义
实数λ与空间向量ａ的乘积λａ仍是一个向量,称为向量的数乘运算．当λ〉0时，λa与a 方向相同；当λ〈0时，λa与a方向相反;当λ＝0时,λa=0。

λａ的长度是ａ的长度的|λ｜倍．如图所示.
(２）运算律
分配律:λ（a+b)＝λa＋λb;
结合律：λ(μa）＝（λμ)a。

知识点四共线向量定理
（1)共线向量的定义
与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量,记作ａ∥b。

（2）充要条件
对空间任意两个向量a，b（a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使b=λａ。

思考 (1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同,则终点也相同.对吗？
(2)零向量没有方向．对吗?
(3）空间两个向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一致.对吗?
答案（1)正确.起点相同,终点也相同的两个向量相等．
(２)错误.不是没有方向，而是方向任意.
(3)正确.
题型一空间向量的概念
例１判断下列命题的真假.
（1）空间中任意两个单位向量必相等;
(2)方向相反的两个向量是相反向量;
(3）若|a|=|b｜,则ａ＝ｂ或a＝－b；
(4)向量错误!与错误!的长度相等．
解（１)假命题.因为两个单位向量，只有模相等,但方向不一定相同．
（２)假命题．因为方向相反的两个向量模不一定相等.
（３)假命题.因为两个向量模相等时,方向不一定相同或相反,也可以是任意的．
(4)真命题．因为错误!与错误!仅是方向相反,但长度是相等的.
反思与感悟空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．
跟踪训练1 如图所示,以长方体ABCD－Ａ1B1C1Ｄ1的八个顶点的两点为始点和
终点的向量中,
(１）试写出与＼o（AＢ，＼s＼up6(→))相等的所有向量；
(2)试写出错误!的相反向量；
(3)若ＡB＝AＤ＝2，AA1＝1,求向量错误!的模．
解 (1）与向量错误!相等的所有向量（除它自身之外)有错误!，错误!及错误!共3个.
（2）向量错误!的相反向量为错误!，错误!,错误!，错误!．
(3）｜错误!|=3。

题型二空间向量的线性运算
例2 如图，在长方体ABCＤ-Ａ1B1Ｃ１D1中，下列各式运算结果为错误!的是
____＿＿_＿．(填序号)
①错误!-错误!－错误!;
②＼o(BC，＼s＼uｐ6（→))+＼o（BB1,→)-错误!；
③错误!－错误!－错误!；
④错误!－错误!+错误!。

答案①②
解析 (1）错误!－错误!－错误!＝错误!－错误!＝错误!;
（２）错误!+错误!－错误!＝错误!＋错误!＝错误!;
(3)错误!-错误!－错误!=错误!-错误!=错误!-错误!=错误!≠错误!;
(4）错误!－错误!＋错误!=错误!＋错误!＋错误!＝错误!+错误!≠错误!。

反思与感悟运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素:
（１)向量加法的三角形法则:“首尾相接,指向终点”；(2）向量减法的三角形法则:“起点重合,指向被减向量”；（3)平行四边形法则：“起点重合”；（4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”．
跟踪训练2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算结果为向量错误!
的是____＿＿__．（填序号)
①(错误!+错误!）+错误!;②(错误!＋错误!)＋错误!;③(错误!+错误!）+错误!；
④(错误!+错误!）＋错误!。

答案①②③④
解析①(错误!＋错误!)＋错误!=错误!＋错误!＝错误!；②(错误!+错误!）+错误!=错误!+错误!＝错误!;③(错误!＋错误!)＋错误!=错误!＋错误!=错误!;④（错误!+错误!)+错误!＝错误!+错误!=错误!.所以所给四个式子的运算结果都是错误!。

题型三空间向量的共线问题
例3 设e1、e2是平面上不共线的向量,已知错误!=２ｅ1＋k e2，错误!=e1+3e2，错误!=2ｅ1－e2,若Ａ、B、D三点共线,求k的值.
解∵错误!=错误!-错误!＝ｅ1-4ｅ2，错误!=2ｅ1＋k e2，
又Ａ、B、D三点共线,由共线向量定理得＼f(1,2）=＼f(-4，k)，
∴ｋ=-8.
反思与感悟灵活应用共线向量定理，正确列出比例式.
跟踪训练3 设两非零向量e1、e２不共线,错误!＝e1+ｅ2，错误!＝２ｅ1＋8e２,错误!＝３(e1-e2)．试问:Ａ、B、D是否共线,请说明理由.
解∵错误!=错误!+错误!
＝(2e１＋8e2)＋３（ｅ１-e2)＝5（e1+e２)，
∴错误!=5错误!，
又∵B为两向量的公共点,
∴A、B、D三点共线.
1．两个非零向量的模相等是两个向量相等的_______＿条件．
答案必要不充分
解析a＝ｂ⇒｜a|=｜b|；｜a|＝｜b|a＝b。

2．在平行六面体ABCＤ－A′B′C′D′的各条棱所在的向量中，模与向量错误!的模相等的向量有___＿_＿_＿个.
答案７
解析｜错误!｜=|错误!|=|错误!|=|错误!|＝|错误!｜＝｜错误!｜
=｜错误!｜＝｜错误!｜.
3．下列说法中正确的是_＿____＿_.（填序号）
①若|a|=|b|,则ａ,b的长度相等,方向相同或相反；
②若向量ａ是向量b的相反向量，则|a|=|b｜;
③空间向量的减法满足结合律；
④在四边形ABＣD中，一定是＼o(AB，
＋错误!=错误!.
→）
答案②
解析若|a|=|b|，则a,b的长度相等，方向不确定,故①不正确;相反向量是指长度相同,方向相反的向量,故②正确;空间向量的减法不满足结合律,故③不正确;在▱ABCD中，才有＼ｏ（ＡB,→）+错误!＝错误!,故④不正确．
4．如图，在平行六面体ＡBCD－A1Ｂ1C1D1中，M为A１C1与Ｂ1Ｄ1的交点.若错误!
＝ａ,错误!＝b,错误!=ｃ，则下列向量中与错误!相等的向量是____＿_＿_．(填
序号)
①－错误!ａ+错误!b＋c②错误!a+错误!b+ｃ
③－错误!a－错误!ｂ+c④错误!a-错误!ｂ+c
答案①
解析错误!＝错误!＋错误!＝错误!(错误!－错误!)＋错误!
=-＼f(1,2)a+＼f(1，2)b＋c.
５.下列命题中正确的个数是________.
①如果ａ，b是两个单位向量,则|a|=|b｜;
②两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同；
③若ａ，b，c为任意向量,则(a＋b)＋c＝a+(b+c）;
④空间任意两个非零向量都可以平移到同一个平面内．
答案 3
解析由单位向量的定义知｜a|＝｜b｜＝1，故①正确；因相等向量不一定有相同的起点和终点,所以②错误；由向量加法运算律知③正确;在空间确定一点后，可将两向量的起点移至该点,两向量所在直线确定一个平面,这两个非零向量就共同在这个平面内，故④正确．
1.空间向量的概念和平面向量类似，向量的模、零向量、单位向量、相等向量等都可以结合平面向量理解.
２．向量可以平移,任意两个向量都可以平移到同一个平面内．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同,可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算.
以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。

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