现代设计方法-汽车可靠性设计2011_强度应力干涉理论

Rd
0.015 3
Rd
0.0058.000607 0.04(mm)
Rd (mm) 2Rd
7.00 15.938
7.2
16.860
7.4
17.034
7.6
18.458
7.80 19.134
8.00 20.062
8.20 21.241
8.40 22.671
u2s
σ2s uR
1299.2Biblioteka 23.4210 5.8652 Rd
4045.7 106
0
{ { 2 Rd
64.009727
Rd 8.000607(mm)
2 Rd
54.822620
Rd 7.40423(mm) 舍去
当 Rd 7.40423
s
F 2Rd
200000 7.40423
2
1161 .2(Mpa) r
1076 (Mpa)
Rd (Rd , Rd ) (8.000607,0.04)mm
试求：在可靠度R=0.99时，拉杆半径 Rd (Rd , Rd )
解：
设 零件的截面积为A,载荷为F,则
拉伸应力为 均值
方差
S
F A
F
R2d
s
F (Rd
)2
2 s
(
S
)2
2 F
F
( S Rd
)2
2 Rd
(
1
2
Rd
)2 2F
(
2 3
F Rd
)2 2 Rd
1
2 4Rd
2F
4
2
2F 6
Rd
2 Rd
（如各种概率纸分析）； ③用可靠度作为零件安全程度的评价指标。
④可靠性设计的目标是使零件具有足够的可靠度。
4.2.1 材料的静强度分布
试验表明，材料的强度极限、屈服极限、延伸率和硬度均符合正态分布。
变差系数
Cr
Sr
r
式中Sr为标准差，ur为均值
4.2.1 应用手册、文献中的材料数据进行可靠性设计
302
[
30002
2
4
2
(2000002
0.0052
)
]
1
4 R
d
63662
1076 (Rd )2
2.33
302
1147.68
(
2 Rd
)
2
(u)
F
R
uR
y y
0
u
R(t)
(
u
y y
)
(uR
)
2 Rd
64.009727
Rd 8.000607(mm)
1.15289106
4
Rd
137001106
1.已知强度范围（ rmin , rmax ）
f (u)
均值
r
r minrmax 2
标准差按3σ 法则估计。
令 r 为强度的偏差
r 3r
r
rmin r r
}
r max
r
r
r rmax rmin
2
r 3r u
P(r 3 r r r 3 r ) 0.9987
(若 r 3 r 该事件出现的概率为99.87%，可认为几乎是一个必然事件）。
4.2.３ 一般函数统计特征值的近似解
梁的弯曲应力 s M • Z I
M 为弯矩；I为横截面的惯性矩； Z 为梁边缘至中性轴的距离
１ 一维随机变量函数特征值的近似解
设 Z f (x) x ～ N(, x2 )
在 x 处的泰勒展开
Z
f (x)
f () (x ) f '()
(x )2
dR A1A2 fs (S0 )ds S0 fr (r)dr
若将s0变为随机变量s,则得对应于零件的所有可能应力值s，强度r均大于应力s的概率
R P(r s) dR fs (s)[ s fr (r)dr]ds
应力——零件在工作中承受的负荷，如静应力、交变应力、冲击、温度、 电压、电流、变形量（或刚度）、磨损量、压力等。
2 s
fy(y)
F
fs(s)
fr(r)
概率密度函数
fy ( y)
1 y2
e
1 2
y u y y
2
y<0 y>0
y=0
y
s
可靠度
R P( y 0)
0
f
y
(
y)dy
y
1
2
e dy
1 2
y u y y
2
0
r y,r,s
R P( y 0)
0
f
y
(
y)dy
y
1 2
Rd Rd / 3 0.015 Rd 0.005 Rd
uR
ur us
2 r
2 s
1076
2001000 (Rd )2
302
30002 2 4Rd
4 2
2000002 6d
2
Rd
1076
63662 (Rd )2
302
30002 2 4Rd
4 2
2000002 6
Rd
2 Rd
j 1
E(Z )
f
(1, 2 ,...,
n)
1 2
n i 1
f
'' xi xi
(1,
2
,...,
n
) D( xi
)
若各D(xi)均很小 E(Z ) f (1, 2,..., n ) f [E(x1), E(x2 ),..., E(xn )]
D(Z )
D[
f
(1, 2 ,...,n )]
D[ 1 2
r
rmax rmin 2
3 r
r
1 r 3
1
6 rmax
rmin
2. 已知强度均值 r
r rCr
4.2.2 几何尺寸的处理
几何尺寸一般近似服从正态分布
几何尺寸的均值
ux
U sl
2
Lsl
几何尺寸的标准差均值
x
U sl Lsl 6
式中 Usl和Lsl为几何尺寸的上、下规范限
Z f (x)
强度——产品能够承受应力的极限值，如静强度、疲劳强度，能够承受 的温度、电压等极限值等。
注意：干涉面积大小不能作为失效概率的定量表示，即使两个分布曲线完全 重叠，R=50%。
4.2 机械零件的静强度应力-强度干涉分析
可靠性设计方法的特点
①设计变量（例如载荷、强度、零件几何尺寸）为随机变量；
②设计所依据的数据（零件几何尺寸、材料强度、载荷等）来自试验， 考虑了工况变化及各种不确定因素的影响，设计数据经过了统计分析
n)
1 2
n i 1
f
'' xi xi
(1,
2
,...,
n
) D( xi
)
n
Z f (x1, x2,...,xn ) f (1, 2,...,n )
f
' xi
(1,
2 ,...,n
)(xi
i
)
i 1
1 n
2 i1
n
f
'' xi x j
(1,
2 ,...,n
)(xi
i
)(x
j
j
)
Re
强度的随机性：零件材料性能、表面质量、尺寸效应、材料对缺口的 敏感性、使用环境等。
零件在初期在正常的工作条件下，r>s，不发生故障，但即使在r、s分布
曲线无干涉情况下，在动载荷、腐蚀、磨损、疲劳载荷的长期作用下，强度
会逐渐衰减.
fr(r), fs(s)
fs(s)
两曲线无重叠部分
fr(r) R(t) P(r s) 1
汽车可靠性设计
重庆大学汽车系
第四章 应力－强度干涉
4.1 应力－强度干涉理论
4.1.1 概率设计方法与安全系数法的区别
一、安全系数法
n r s
r ——材料强度 S ——工作应力
认为r和s是单值常量。当n大于某一根据实际使用经验规定的数值时，
零件就是安全的。但实际上r和s不是常量，因此n本身就是一“未知”系数，
2
R(t
)
(
u
y y
)
(uR
)
F
R
uR
y y
0
u
R(t
)
(
u
y y
)
(uR
)
uR
uy y
ur us
2 r
2 s
（联结方程）
uR把应力分布参数、强度分布参数和R联系起来，称为为联结方程。 uR称为联结系数或可靠性系数，在进行可靠性设计时，可以先确定目标可
靠度R，再由标准正态分布表查出uR，利用上式求出所需的设计参数（如零
P(S0
ds 2
S0
S0
ds ) 2
fs (S0 )ds
A1
强度超过应力S0的概率为面积A2
P(r S0) S0 fr (r)dr A2
s,r
设这两个独立事件同时发生，即零件在应力为S0时的不失
效概率（应力落在ds内的可靠度dR）应用概率乘法定理得：
dR A1A2 fs (S0 )ds S0 fr (r)dr
fr(r), fs(s)
s
r r,s
fs(s)
fr(r)
R(t) P(r s) 1
s
r
r,s
4.1.2 强度和应力都服从正态分布时可靠度的计算方法
设强度 r ~ N (r , r ) 应力 s ~ N (s , s )
令 yrs
y ~ N (uy , y )
uy ur us
2 y
2 r
n
Z f (x1, x2 ,...,xn ) f (1, 2 ,...,n )
f
' xi
(1,
2 ,...,n
)(xi
i
)
i 1
1 n
2 i1
n
f
'' xi x j
(1,
2 ,...,n )(xi
i )(x j
j
)
Re
j 1
若x1,x2,…,xn 相互独立，舍去余项Re
E(Z )
f (1, 2 ,...,
2!
f "() Re (余项）
E(Z)
f (x) E[ f ()] E[(x ) f '()] E[(x )2 2!
f "()] E[Re ]
f () 1 f "()D(x) 2
E(Z) f () 1 f "()D(x)
2
当 D(x) 1
f (u)
E(Z) f ()
方差
（联结方程）
Rd Rd Rd 设 2Rd 0.03Rd 或Rd 0.015 Rd Rd Rd / 3 0.015 Rd 0.005 Rd
R
1076 63662
(Rd )2
302
30002
2
1
4 Rd
4
2
2000002
6 Rd
( 0.015Rd
3
)2
1076
63662
(Rd )2
e dy
1 2
y u y y
2
0
将此式转化为标准正态分布
令
u y u y y (ur us )
y
2 r
2 s
~ N (0,1)
则 dy ydu
R P( u y u )
y
1
2
u2
uy e 2 du
y
u
y y
(u )du
(
u
y y
)
其中
(u)
1
u 2
e2
(u)
D(Z )
D[
f
(x)]
D[
f
()]
D[( x )
f
' ()]
D[(x ) 2!
f
"()]
D(Re )
f '()2 D(x)
标准差 Z D(Z) f '() • x
２ 多维随机变量函数特征值的近似解
设 Z f (x1, x2,..., xn )
xi
～
N
(i
,
2 xi
)
在 xi i （i=1,2,…,n) 的泰勒展开
受弯扭联合作用的轴的静强度可靠性设计
弯曲应力
M
I /h
弯曲应力均值
M I /h
弯曲应力标准差
{( 1 )2 2M I /h
[
M
2 I /h
]2
2 (I
/
1/
h)}
2
实心轴： I / h d 3 r3
32 4
式中M为危险断面的最大弯矩，I为断面对中性层的惯性矩，h为中性层 到最大应力点的距离。d, r为轴的直径和半径。
n i 1
f 'xi (1, 2 ,...,n )(xi i )
n
[
f
' xi
(1,
2
,...,n
)]2
D( xi
)
i 1
r (r , r ) (1076 ,30)Mpa
例6-1 设计一种圆形断面拉杆，承受载荷 F (F , F ) (200,3)kN
材料拉伸强度 r (r , r ) (1076 ,30)Mpa
根据第四强度
合成应力
S 2 3 2
合成应力均值
S
2
3
2
1 2S 2 2
•
D(
)
1 2
2S 2
• D( )
,
,
2
3
2
1
3
2
2
1
3
2
2
2
(
2
3
2
)3
2
(
2
3
2
)3
合成应力标准差
2 S
D(S )
{ S
}2 • D() {S
件几何尺寸）。
采用概率设计方法，可以明确地预测零件的可靠度，设计出可靠性好、 体积小、重量轻的零件。
4.1.3 计算可靠度的一般表达式—概率密度函数联合积分法
fs(s),fr(r)
fs(s) fs(s0) A1
s0
ds
可靠度——强度大于应力的整个概率
fr(r)
设应力S0落在区间ds的概率为面积A1
1228.05 22.1370 4.078
1162.56 20.9575 2.365
1102.18 19.8789 0.728
1046.38 18.8631 -0.836
994.79 17.9317 -2.326
946.78 17.0677 -3.744
902.29 16.2646 -5.092
R
0.0000 0.000023 0.009016 0.23332 0.79558 0.98999 0.999909 0.999999
并不能保证所设计的零件在多大程度上是安全的。出于保守考虑，往往
将安全系数法n设计得比较大，导致零件尺寸、重量增加，制造成本增加。