2019-2020年高二(下)4月月考数学试卷(理科)含解析(II)

2019-2020年高二（下）4月月考数学试卷（理科）含解析(II)
一、选择题：（本大题共18小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是（）
A．2x+y+3=0 B．2x+y﹣3=0 C．2x+y+1=0 D．2x﹣y﹣1=0
2．定义运算，则符合条件的复数z为（）A．3﹣i B．1+3i C．3+i D．1﹣3i
3．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A．假设至少有一个钝角
B．假设没有一个钝角
C．假设至少有两个钝角
D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
4．观察按下列顺序排序的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，…，猜想第n （n∈N*）个等式应为（）
A．9（n+1）+n=10n+9 B．9（n﹣1）+n=10n﹣9
C．9n+（n﹣1）=10n﹣1 D．9（n﹣1）+（n﹣1）=10n﹣10 5．曲线y=cosx（0≤x≤）与x轴以及直线x=所围图形的面积为（）A．4 B．2 C．D．3
6．平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）
A．B．C．D．
7．若f′（x0）=﹣3，则=（）
A．﹣3 B．﹣12 C．﹣9 D．﹣6
8．复数z=，||是（）
A．25 B．5 C．1 D．7
9．一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动（1步的距离为1个单位长度）．令P（n）表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记P（0）=0，则下列结论中错误的是（）
A．P（3）=3 B．P（5）=1 C．P（2007）＞P（2006） D．P（2003）＜P（2006）
10．如图是导函数y=f′（x）的图象，那么函数y=f（x）在下面哪个区间是减函数（）
A．（x1，x3）B．（x2，x4）C．（x4，x6）D．（x5，x6）11．设，当n=2时，S（2）=（）A．B．C．D．
12．如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功为（）
A．0.28J B．0.12J C．0.26J D．0.18J
13．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．
14．已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（）
A．e B．﹣e C．D．﹣
15．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f （x）=x3的极值点．以上推理中（）
A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确
16．在复平面内，复数1+i与1+3i分别对应向量，其中O为坐标原点，则=
（）
A．B．2 C．D．4
17．某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）
A．当n=6时，该命题不成立B．当n=6时，该命题成立
C．当n=4时，该命题不成立D．当n=4时，该命题成立
18．若点P在曲线y=x3﹣3x2+（3﹣）x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）
A．[0，）B．[0，）∪[，π）C．[，π）D．[0，）∪（，]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．19．（﹣2x）dx=．
20．设Z1=i4+i5+i6+…+i12，Z2=i4•i5•i6•…•i12，则Z1，Z2关系为．
21．已知f（x）=x3+3x2+a（a为常数），在[﹣3，3]上有最小值3，那么在[﹣3，3]上f（x）的最大值是．
22．函数g（x）=ax3+2（1﹣a）x2﹣3ax在区间（﹣∞，）内单调递减，则a的取值范围是．
三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．23．已知F（x）=dt，（x＞0）．
（1）求F（x）的单调区间；
（2）求函数F（x）在[1，3]上的最值．
24．设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）若直线x=﹣t（0＜t＜1把y=f（x））的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．
25．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间的定价增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客入住房间，宾馆每间每天将花费20元的各种费用．当房间定价为多少的时候，宾馆获得的利润最大？
26．已知数列{a n}的前n项和S n=1﹣na n（n∈N*）
（1）计算a1，a2，a3，a4；
（2）猜想a n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
山东省青岛市平度市华侨中学2014-2015学年高二（下）4月月
考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共18小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是（）
A．2x+y+3=0 B．2x+y﹣3=0 C．2x+y+1=0 D．2x﹣y﹣1=0
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的概念及应用．
分析：先求出导数，再把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化为一般式．
解答：解：由题意知，y′=2x，
∴在（1，1）处的切线的斜率k=2，
则在（1，1）处的切线方程是：y﹣1=2（x﹣1），
即2x﹣y﹣1=0，
故选D．
点评：本题考查了导数的几何意义，即在某点处的切线斜率是该点处的导数值，以及直线方程的点斜式和一般式的应用，属于基础题．
2．定义运算，则符合条件的复数z为（）A．3﹣i B．1+3i C．3+i D．1﹣3i
考点：二阶行列式的定义；复数代数形式的混合运算．
专题：计算题．
分析：根据定义，将已知转化，可以得出z（1+i）=4+2i，再利用复数的除法运算法则求出复数z即可．
解答：解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z=4+2i，即z（1+i）=4+2i，
∴z===3﹣i．
故选A．
点评：本题考查了复数的代数运算，利用所给的定义将已知转化为z（1+i）=4+2i是关键．
3．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A．假设至少有一个钝角
B．假设没有一个钝角
C．假设至少有两个钝角
D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
考点：反证法与放缩法．
专题：应用题．
分析：根据命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，从而得出结论．
解答：解：由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，
故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设至少有两个钝角，
故选C．
点评：本题考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．
4．观察按下列顺序排序的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，…，猜想第n （n∈N*）个等式应为（）
A．9（n+1）+n=10n+9 B．9（n﹣1）+n=10n﹣9
C．9n+（n﹣1）=10n﹣1 D．9（n﹣1）+（n﹣1）=10n﹣10
考点：归纳推理．
专题：探究型．
分析：本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的等式，分析等式两边的系数及各个部分与式子编号之间的关系，易得等式左边分别为9与编号减1的积加上编号，等式右边的是一个等差数列，归纳后即可推断出第n（n∈N*）个等式．
解答：解：由已知中的式了，我们观察后分析：
等式左边分别为9与编号减1的积加上编号，
等式右边的是一个等差数列，
根据已知可以推断：
第n（n∈N*）个等式为：
9（n﹣1）+n=10n﹣9
故选B．
点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
5．曲线y=cosx（0≤x≤）与x轴以及直线x=所围图形的面积为（）A．4 B．2 C．D．3
考点：余弦函数的图象．
专题：计算题；三角函数的图像与性质．
分析：根据所围成图形用定积分可求得曲线y=cosx以及直线x=所围图形部分的面积，
然后根据定积分的定义求出所求即可．
解答：解：由定积分定义及余弦函数的对称性，
可得曲线y=cosx以及直线x=所围图形部分的面积为：
S=3∫cosxdx=3sinx|=3sin﹣3sin0=3，
所以围成的封闭图形的面积是3．
故选：D．
点评：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，考查运算求解能力，化归与转化思想思想，属于基本知识的应用．
6．平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）
A．B．C．D．
考点：类比推理．
专题：规律型；空间位置关系与距离．
分析：由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．
解答：解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，
在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，
如图：
由棱长为a可以得到BF=，BO=AO=a﹣OE，
在直角三角形中，根据勾股定理可以得到
BO2=BE2+OE2，
把数据代入得到OE=a，
∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a，
故选B．
点评：本题是基础题，考查类比推理及正四面体的体积的计算，转化思想的应用，考查空间想象能力，计算能力．
7．若f′（x0）=﹣3，则=（）
A．﹣3 B．﹣12 C．﹣9 D．﹣6
考点：导数的运算．
专题：导数的概念及应用．
分析：根据=[4•]=4（）=4f′（x0），利用条件求得结果．
解答：解：∵f′（x0）=﹣3，则
=[4•]=4
（）=4f′（x0）=4×（﹣3）=﹣12，
故选：B．
点评：本题主要考查函数在某一点的导数的定义，属于基础题．
8．复数z=，||是（）
A．25 B．5 C．1 D．7
考点：复数求模．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的模求解运算法则，直接求解即可．
解答：解：复数z=，||===1．
故选：C．
点评：本题考查复数的模的求法，分式的模等于分子的模除以分母的模，是基础题．
9．一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动（1步的距离为1个单位长度）．令P（n）表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记P（0）=0，则下列结论中错误的是（）
A．P（3）=3 B．P（5）=1 C．P（2007）＞P（2006） D．P（2003）＜P（2006）
考点：进行简单的合情推理．
专题：计算题；规律型．
分析：按“前进3步后退2步”的步骤去算，发现机器人每5秒完成一个循环，解出对应的数值，再根据规律推导，即可得解．
解答：解：根据题中的规律可得：P（0）=0，P（1）=1，P（2）=2，P（3）=3，P（4）=2，P（5）=1，…
以此类推得：P（5k）=k （k为正整数）
因此P（2003）=403，且P（2006）=402，
所以P（2003）＞P（2005）
故选：D．
点评：本题主要考查了数列的应用，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”，属于中档题．
10．如图是导函数y=f′（x）的图象，那么函数y=f（x）在下面哪个区间是减函数（）
A．（x1，x3）B．（x2，x4）C．（x4，x6）D．（x5，x6）
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：根据导函数的图象，利用函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．
解答：解：若函数单调递减，则f′（x）≤0，
由图象可知，x∈（x2，x4）时，f′（x）＜0，
故选：B
点评：本题主要考查函数单调性的判断，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．
11．设，当n=2时，S（2）=（）A．B．C．D．
考点：数列的函数特性．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用最后一项是的形式即可得出．
解答：解：当n=2时，S（2）=，
故选C．
点评：知道最后一项是的形式是解题的关键．
12．如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功为（）
A．0.28J B．0.12J C．0.26J D．0.18J
考点：函数模型的选择与应用．
分析：因为F=10Nl=10cm=0.1m，所以k==100，由此能求出在弹性限度内将弹簧从平衡
位置拉到离平衡位置6cm处，克服弹力所做的功．
解答：解：F=kl
∵F=10N，l=10cm=0.1m
∴k==100
∴在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，
克服弹力所做的功：
w=Ep=
=
=0.18J．
故选D．
点评：本题考查物体的弹力做功问题，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
13．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的概念及应用．
分析：欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
解答：解：∵y=x3，
∴y′=3x2，当x=1时，y′=3得切线的斜率为3，
所以k=3；
所以曲线在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=3（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．
令y=0得：x=，
∴切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为：
S=×（2﹣）×4=．
故选A．
点评：本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
14．已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（）
A．e B．﹣e C．D．﹣
考点：导数的几何意义．
专题：计算题．
分析：欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
解答：解：∵y=lnx，∴y'=，
设切点为（m，lnm），得切线的斜率为，
所以曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：y﹣lnm=×（x﹣m）．
它过原点，∴﹣lnm=﹣1，∴m=e，
∴k=．
故选C．
点评：本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
15．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f （x）=x3的极值点．以上推理中（）
A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确
考点：演绎推理的基本方法．
专题：阅读型．
分析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．
解答：解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，
因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，
∴大前提错误，
故选A．
点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．
16．在复平面内，复数1+i与1+3i分别对应向量，其中O为坐标原点，则=
（）
A．B．2 C．D．4
考点：复数求模；复数的基本概念．
专题：计算题．
分析：根据所给的两个向量的代数形式，先求两个向量的差，求出，得到向量的代数形式的表示式，根据模长公式做出要求向量的模长．
解答：解：∵复数1+i与1+3i分别对应向量，
∴=1+3i﹣1﹣i=2i
∴=2
故选B．
点评：本题考查向量的减法运算，考查向量的模长，这种问题比较容易出错的知识点是求两个向量的差时，不要把减数和被减数弄错．
17．某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）
A．当n=6时，该命题不成立B．当n=6时，该命题成立
C．当n=4时，该命题不成立D．当n=4时，该命题成立
考点：数学归纳法．
专题：计算题．
分析：本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n＞k的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k﹣1也不成立，由此类推，对n＜k的任意正整数均不成立，由此不难得到答案．
解答：解：由题意可知，
P（n）对n=4不成立（否则n=5也成立）．
同理可推得P（n）对n=3，n=2，n=1也不成立．
故选C
点评：当P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n＞k的任意整数均成立；结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k﹣1也不成立，由此类推，对n＜k的任意正整数均不成立．
18．若点P在曲线y=x3﹣3x2+（3﹣）x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）
A．[0，）B．[0，）∪[，π）C．[，π）D．[0，）∪（，]
考点：导数的几何意义；直线的倾斜角．
专题：计算题．
分析：先求出函数的导数y′的解析式，通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，来求出倾斜角的取值范围．
解答：解：∵函数的导数y′=3x2﹣6x+3﹣=3（x﹣1）2﹣≥﹣，
∴tanα≥﹣，又0≤α＜π，
∴0≤α＜或≤α＜π，
故选B．
点评：本题考查函数的导数的几何意义，直线的倾斜角和斜率的关系．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．19．（﹣2x）dx=﹣1．
考点：定积分．
专题：计算题；数形结合．
分析：由差的积分等于积分的差得到（﹣2x）dx=
（）dx﹣2xdx，然后由微积分基本定理求出（）dx，求出定积分2xdx，则答案可求．
解答：解：（﹣2x）dx
=（）dx﹣2xdx．
令，则（x﹣1）2+y2=1（y≥0），
表示的是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆．
∴（）等于四分之一圆的面积，为．
又2xdx=．
∴（﹣2x）dx=．
故答案为：．
点评：本题考查了定积分，考查了微积分基本定理，是基础的计算题．
20．设Z1=i4+i5+i6+…+i12，Z2=i4•i5•i6•…•i12，则Z1，Z2关系为Z1=Z2．
考点：虚数单位i及其性质．
专题：数系的扩充和复数．
分析：由虚数单位的性质分别计算可得结论．
解答：解：Z1=i4+i5+i6+…+i12
=1+i﹣1﹣i+…+1=1，
Z2=i4•i5•i6•…•i12
=1×i×（﹣1）×（﹣i）…×1
=（﹣1）2×1=1
∴Z1=Z2，
故答案为：Z1=Z2
点评：本题考查复数的代数运算，涉及虚数单位的性质，属基础题．
21．已知f（x）=x3+3x2+a（a为常数），在[﹣3，3]上有最小值3，那么在[﹣3，3]上f（x）的最大值是57．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：要求f（x）的最大值，先求出函数的导函数，令其等于0求出驻点，在[﹣3，3]上分三种情况讨论得函数的极值，然后比较取最大值即可．
解答：解析：f′（x）=3x2+6x，令f′（x）=0，得3x（x+2）=0⇒x=0，x=﹣2．
（i）当0≤x≤3，或﹣3≤x≤﹣2时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，
（ii）当﹣2＜x＜0时，f（x）单调递减，由最小值为3知，最小为f（﹣3）或f（0）⇒
f（﹣3）=（﹣3）3+3×（﹣3）2+a=a，f（0）=a，则a=3，
∴f（x）=x3+3x2+3，其最大值为f（﹣2）或f（3），
f（﹣2）=（﹣2）3+3×（﹣2）2+3=7，f（3）=33+3×32+3=57，则最大值为57．
故答案为：57．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的能力．
22．函数g（x）=ax3+2（1﹣a）x2﹣3ax在区间（﹣∞，）内单调递减，则a的取值范围是[﹣1，0]．
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的概念及应用．
分析：由g′（x）=3ax2+4（1﹣a）x﹣3a，g（x）在（﹣∞，a/3）递减，则g′（x）在（﹣∞，a/3）上小于等于0，讨论（1）a=0时，（2）a＞0，（3）a＜0时的情况，从而求出a的范围．解答：解：∵g′（x）=3ax2+4（1﹣a）x﹣3a，g（x）在（﹣∞，a/3）递减，
则g′（x）在（﹣∞，a/3）上小于等于0
（1）a=0时，g′（x）≤0，解得：x≤0，即g（x）的减区间是（﹣∞，0），
∴≤0，才能g（x）在（﹣∞，）递减，解得a=0
（2）a＞0，g′（x）是一个开口向上的抛物线，
要使g′（x）在（﹣∞，）上小于等于0 解得：a无解
（3）a＜0，g′（x）是一个开口向下的抛物线，
设g′（x）与x轴的左右两交点为A（x1，0），B（x2，0）
由韦达定理，知x1+x2=﹣，x1x2=﹣1，
解得：x1=﹣，
则在A左边和B右边的部分g′（x）≤0 又知g（x）在（﹣∞，）递减，
即g′（x）在（﹣∞，）上小于等于0，
∴x1≥，解得﹣1≤a≤5，取交集，得﹣1≤a＜0，
∴a的取值范围是﹣1≤a≤0．
点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．
三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．23．已知F（x）=dt，（x＞0）．
（1）求F（x）的单调区间；
（2）求函数F（x）在[1，3]上的最值．
考点：微积分基本定理；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；导数的概念及应用．
分析：（1）由定积分计算公式，结合微积分基本定理算出．再
利用导数，研究F'（x）的正负，即可得到函数F（x）的单调增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．
（2）根据F（x）的单调性，分别求出F（1）、F（2）、F（3）的值并比较大小，可得F（x）在[1，3]上的最大值是F（3）=﹣6，最小值是．
解答：解：依题意得，
，
定义域是（0，+∞）．（2分）
（1）F'（x）=x2+2x﹣8，
令F'（x）＞0，得x＞2或x＜﹣4；令F'（x）＜0，得﹣4＜x＜2，
且函数定义域是（0，+∞），
∴函数F（x）的单调增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．（6分）
（2）令F'（x）=0，得x=2（x=﹣4舍），
由于函数在区间（0，2）上为减函数，区间（2，3）上为增函数，
且，，F（3）=﹣6，
∴F（x）在[1，3]上的最大值是F（3）=﹣6，最小值是．（10分）
点评：本题利用定积分求一个函数的原函数，并研究原函数的单调性和闭区间上的最值．着重考查了定积分计算公式、利用导数研究函数的单调性与最值等知识，属于中档题．
24．设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）若直线x=﹣t（0＜t＜1把y=f（x））的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．
考点：导数的运算；函数解析式的求解及常用方法；定积分．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）设f（x）=ax2+bx+c，根据f′（x）=2x+2求出a、b的值，再由方程f（x）=0有两个相等的实根，△=0，求得c的值，即可得到函数的解析式．
（2）由题意可得（x2+2x+1）dx=（x2+2x+1）dx，即（x3+x2+x）=（x3+x2+x）
，
化简得2（t﹣1）3=﹣1，由此求得t的值．
解答：解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，又因为f′（x）=2x+2，
∴a=1，b=2，∴f（x）=x2+2x+c．
由于方程f（x）=0有两个相等的实根，∴△=4﹣4c=0，解得c=1，∴f（x）=x2+2x+1．（2）由题意可得（x2+2x+1）dx=（x2+2x+1）dx，
即（x3+x2+x）=（x3+x2+x），
即﹣t3+t2﹣t+=t3﹣t2+t，
∴2t3﹣6t2+6t﹣1=0，
即2（t﹣1）3=﹣1，∴t=1﹣．
点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，导数的运算，定积分的应用，属于中档题．
25．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间的定价增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客入住房间，宾馆每间每天将花费20元的各种费用．当房间定价为多少的时候，宾馆获得的利润最大？
考点：函数最值的应用．
专题：应用题．
分析：设出每间房的定价，从而利用租房利润减去维护费，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论．
解答：解：设该宾馆房间的定价为（180+10x）元（x∈N），利润为y元，（2分）
那么宾馆内有（50﹣x）个房间被旅客居住，（4分）
于是y=（180+10x﹣20）•（50﹣x）=﹣10x2+340x+8000=﹣10（x﹣17）2+10890，（10分）∴当x=17，即房间的定价为每间350元时，宾馆所获得的利润最大．（12分）
答：当房间定价为每间350元时，宾馆获得的利润最大．
点评：本题考查了二次函数的应用，要求同学们仔细审题，将实际问题转化为数学模型，注意配方法求二次函数最值的应用．
26．已知数列{a n}的前n项和S n=1﹣na n（n∈N*）
（1）计算a1，a2，a3，a4；
（2）猜想a n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
考点：数学归纳法；数列的求和．
专题：点列、递归数列与数学归纳法．
分析：（1）由S n与a n的关系，我们从n=1依次代入整数值，即可求出a1，a2，a3，a4；（2）由a1，a2，a3，a4的值与n的关系，我们归纳推理出数列的通项公式，观察到它们是与自然数集相关的性质，故可采用数学归纳法来证明．
解答：解：（1）计算得；；；．
（2）猜测：．下面用数学归纳法证明
①当n=1时，猜想显然成立．
②假设n=k（k∈N*）时，猜想成立，
即．
那么，当n=k+1时，S k+1=1﹣（k+1）a k+1，
即S k+a k+1=1﹣（k+1）a k+1．
又，
所以，
从而．
即n=k+1时，猜想也成立．
故由①和②，可知猜想成立．
点评：本题（2）中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N 相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基）P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．。