金安区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

金安区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知集合A ，B ，C 中，A ⊆B ，A ⊆C ，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A 的子集最多有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个
2． 设向量，满足：||=3，||=4， =0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
3． 一个骰子由1~6六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字，推出“”处的数字是（ ） A ．6 B ．3 C ．1 D ．2
4． 设集合{}|22A x R x =∈-≤≤，{}|10B x x =-≥，则()R A B = ð（ ） A.{}|12x x <≤ B.{}|21x x -≤< C. {}|21x x -≤≤ D. {}|22x x -≤≤ 【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算，属容易题.
5． 已知函数f （x ）=x 4cosx+mx 2+x （m ∈R ），若导函数f ′（x ）在区间[﹣2，2]上有最大值10，则导函数f ′（x ）在区间[﹣2，2]上的最小值为（ ） A ．﹣12 B ．﹣10 C ．﹣8 D ．﹣6
6． 双曲线的渐近线方程是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 在空间中，下列命题正确的是（ ） A ．如果直线m ∥平面α，直线n ⊂α内，那么m ∥n
B ．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β
C ．如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m ⊥α
D ．如果平面α⊥平面β，任取直线m ⊂α，那么必有m ⊥β
8．如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线
段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）
A
B
C
D
9．若等式（2x﹣1）2014=a0+a1x+a2x2+…+a2014x2014对于一切实数x都成立，则a0+1+a2+…+a2014=（）
A．B．C．D．0
10．下列命题中的说法正确的是（）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”
B．“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＞0”
D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆否命题为真命题
11．已知直线x+y+a=0与圆x2+y2=1交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且，那么实数a的取值范围是（）
A．B．C．
D．
12．运行如图所示的程序框图，输出的所有实数对（x ，y ）所对应的点都在某函数图象上，则该函数的解析式为（ ）
A ．y=x+2
B ．y=
C ．y=3x
D ．y=3x 3
13．设集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则的取值范围是（ ） A ．{|2}a a ≤ B ．{|1}a a ≤ C ．{|1}a a ≥ D ．{|2}a a ≥
14．已知集合{}
2
|10A x x =-=，则下列式子表示正确的有（ ）
①1A ∈；②{}1A -∈；③A ∅⊆；④{}1,1A -⊆．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 15．已知集合A={x|﹣1≤x ≤1}，B={x|x 2﹣2x ≤0}，则A ∪B=（ ） A ．{x|﹣1≤x ≤2} B ．{x|﹣1≤x ≤0} C ．{x|1≤x ≤2}
D ．{x|0≤x ≤1}
二、填空题
16．函数1
()lg(1)1f x x x
=
++-的定义域是 ▲ ． 17．在矩形ABCD 中，=（1，﹣3），
，则实数k= ．
18．已知实数x ，y 满足，则目标函数z=x ﹣3y 的最大值为
19．如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PBC △为等边三角形，则PC 与平面ABC 所成角的正弦值为______________.
【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力．三、解答题
20．已知F1，F2分别是椭圆=1（9＞m＞0）的左右焦点，P是该椭圆上一定点，若点P在第一象限，
且|PF1|=4，PF1⊥PF2．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求点P的坐标．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M，N均在直线x=5上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13；圆弧C2过点A（29，0）．
（1）求圆弧C2的方程；
（2）曲线C上是否存在点P，满足？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．
22．已知（
+）n 展开式中的所有二项式系数和为512，
（1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中所有项的系数之和．
23．设点P 的坐标为（x ﹣3，y ﹣2）．
（1）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现在从盒子中随机取出一张卡片，记下标号后把卡片放回盒中，再从盒子中随机取出一张卡片记下标号，记先后两次抽取卡片的标号分别为x 、y ，求点P 在第二象限的概率；
（2）若利用计算机随机在区间上先后取两个数分别记为x 、y ，求点P 在第三象限的概率．
24．已知函数322
()1f x x ax a x =+--，0a >．
（1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；
（2）若关于的不等式()0f x ≤在[1,)+∞上有解，求实数的取值范围．
25．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】已知函数()2
ln f x ax x =+，
()21145ln 639f x x x x =
++，()221
22
f x x ax =+，a R ∈ （1）求证：函数()f x 在点()(),e f e 处的切线恒过定点，并求出定点的坐标； （2）若()()2f x f x <在区间()1,+∞上恒成立，求a 的取值范围； （3）当2
3
a =
时，求证：在区间()0,+∞上，满足()()()12f x g x f x <<恒成立的函数()g x 有无穷多个．（记ln5 1.61,6 1.79ln ==）
金安区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：因为B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，且A ⊆B ，A ⊆C ； ∴A ⊆B ∩C={0，2}
∴集合A 可能为{0，2}，即最多有2个元素， 故最多有4个子集． 故选：B ．
2． 【答案】B
【解析】解：∵向量ab=0，∴此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，进而可知其内切圆半径为1，
∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点， 对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，
但5个以上的交点不能实现．
故选B
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．可采用数形结合结合的方法较为直观．
3． 【答案】A 【解析】
试题分析：根据与相邻的数是1,4,3，而与相邻的数有1,2,5，所以1,3,5是相邻的数，故“？”表示的数是，故选A ．
考点：几何体的结构特征． 4． 【答案】B 【解析】易知{}{}|10|1B x x x x =-≥=≥，所以()R A B = ð{}|21x x -≤<，故选B.
5． 【答案】C
【解析】解：由已知得f ′（x ）=4x 3cosx ﹣x 4
sinx+2mx+1， 令g （x ）=4x 3cosx ﹣x 4
sinx+2mx 是奇函数，
由f ′（x ）的最大值为10知：g （x ）的最大值为9，最小值为﹣9， 从而f ′（x ）的最小值为﹣9+1=﹣8． 故选C ．
【点评】本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质．属于常规题，难度不大．
6． 【答案】B
【解析】解：∵双曲线标准方程为，
其渐近线方程是=0，
整理得y=±x．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．
7．【答案】C
【解析】解：对于A，直线m∥平面α，直线n⊂α内，则m与n可能平行，可能异面，故不正确；
对于B，如果平面α内的两条相交直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β，故不正确；
对于C，根据线面垂直的判定定理可得正确；
对于D，如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么可能m⊥β，也可能m和β斜交，；
故选：C．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于中档题．
8．【答案】C
【解析】根据题意有：
A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；
E的坐标为（4，3，12）
（1）l1长度计算
所以：l1=|AE|==13。

（2）l2长度计算
将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：
A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；
显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称。

设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（x E2，y E2，24）
根据相识三角形易知：
x E2=2x E=2×4=8，
y E2=2y E=2×3=6，
即：E2（8，6，24）
根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内。

9．【答案】B
【解析】解法一：∵，
∴（C为常数），
取x=1得，
再取x=0得，即得，
∴，
故选B．
解法二：∵，
∴，
∴，
故选B．
【点评】本题考查二项式定理的应用，定积分的求法，考查转化思想的应用．
10．【答案】D
【解析】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错误，
B．由x2+5x﹣6=0得x=1或x=﹣6，即“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”既不充分也不必要条件，故B错误，
C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≤0﹣5，故C错误，
D．若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，即命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的为真命题．则命题的逆否命题也成立，故D正确
故选：D．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系以及充分条件和必要条件的判断，含有量词的命题的否定，比较基础．
11．【答案】A
【解析】解：设AB的中点为C，则
因为，
所以|OC|≥|AC|，
因为|OC|=，|AC|2=1﹣|OC|2
，
所以2（
）2
≥1，
所以a ≤﹣1或a ≥1，
因为
＜1，所以﹣
＜a ＜
，
所以实数a 的取值范围是，
故选：A ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．【答案】 C
【解析】解：模拟程序框图的运行过程，得； 该程序运行后输出的是实数对
（1，3），（2，9），（3，27），（4，81）；
这组数对对应的点在函数y=3x
的图象上．
故选：C ．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．
13．【答案】D 【解析】
试题分析：∵A B ⊆，∴2a ≥．故选D ． 考点：集合的包含关系． 14．【答案】C 【解析】
试题分析：{}1,1A =-，所以①③④正确.故选C. 考点：元素与集合关系，集合与集合关系． 15．【答案】A
【解析】解：由x 2
﹣2x ≤0，解得0≤x ≤2．
∴B={x|0≤x ≤2}， 又集合A={x ﹣|1＜x ≤1}， ∴A ∪B={x|﹣1≤x ≤2}， 故选：A ．
二、填空题
16．【答案】()()1,11,-⋃+∞
考点：定义域
17．【答案】4．
【解析】解：如图所示，
在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，
∴=﹣=（k﹣1，﹣2+3）=（k﹣1，1），
∴•=1×（k﹣1）+（﹣3）×1=0，
解得k=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了利用平面向量的数量积表示向量垂直的应用问题，是基础题目．18．【答案】5
【解析】解：由z=x﹣3y得y=，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=，
由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=的截距最小，
此时z最大，
由，解得，即C（2，﹣1）．
代入目标函数z=x﹣3y，
得z=2﹣3×（﹣1）=2+3=5，
故答案为：5．
19．【答案】21 7
【解析】
三、解答题
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由已知得：|PF2|=6﹣4=2，
在△PF1F2中，由勾股定理得，，
即4c2=20，解得c2=5．
∴m=9﹣5=4；
（Ⅱ）设P点坐标为（x0，y0），由（Ⅰ）知，，，
∵，，
∴，解得．
∴P（）．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，属中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=169，令x=5，
解得M（5，12），N（5，﹣12）…2分
则直线AM的中垂线方程为y﹣6=2（x﹣17），
令y=0，得圆弧C2所在圆的圆心为（14，0），
又圆弧C2所在圆的半径为29﹣14=15，
所以圆弧C2的方程为（x﹣14）2+y2=225（5≤x≤29）…5分
（2）假设存在这样的点P（x，y），则由PA=PO，得x2
+y2+2x﹣29=0 …8分
由，解得x=﹣70 （舍去）9分
由，解得x=0（舍去），
综上知，这样的点P不存在…10分
【点评】本题以圆为载体，考查圆的方程，考查曲线的交点，同时考查距离公式的运用，综合性强．22．【答案】
【解析】解：（1）对（+）n，所有二项式系数和为2n
=512，
解得n=9；
设T r+1为常数项，则：
T r+1=C9r=C9r2r，
由﹣r=0，得r=3， ∴常数项为：C 9323
=672； （2）令x=1，得（1+2）9=39
．
【点评】本题考查了二项式展开式定理的应用问题，也考查了赋值法求展开式各项系数和的应用问题，是基础题．
23．【答案】
【解析】解：（1）由已知得，基本事件（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（0，﹣1），（0，0）（0，1）共9种…4（分）
设“点P 在第二象限”为事件A ，事件A 有（﹣2，1），（﹣1，1）共2种
则P （A ）=
…6（分）
（2）设“点P 在第三象限”为事件B ，则事件B 满足…8（分）
∴
，作出不等式组对应的平面区域如图：
则P （B ）=
=
…12（分）
24．【答案】（１）()f x 的单调递增区间是(),2-∞-和2,3⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，单调递减区间为2(2,)3-；（２）[1,)+∞．
【解析】
试题分析：（１） 2a =时，利用导数与单调性的关系，对函数求导，并与零作比较可得函数的单调区间；（２） 对函数求导，对参数分类讨论，利用函数的单调性求函数的最小值，使最小值小于或等于零，可得的取值范围．
试题解析：（1）当2a =时，32
()241f x x x x =+--，
所以2'()344(32)(2)f x x x x x =+-=-+， 由'()0f x >，得2
3
x >
或2x <-， 所以函数()f x 的单调递减区间为2(2,)3
-．
（2）要使()0f x ≤在[1,)+∞上有解，只要()f x 在区间[1,)+∞上的最小值小于等于0． 因为22'()32(3)()f x x ax a x a x a =+-=-+， 令'()0f x =，得103
a
x =
>，20x a =-<．1
考点：导数与函数的单调性；分类讨论思想． 25．【答案】（1）切线恒过定点1,22e ⎛⎫
⎪⎝⎭
．（2） a 的范围是11,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦ （3） 在区间()1,+∞上，满足
()()()12f x g x f x <<恒成立函数()g x 有无穷多个
【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义求得切线方程为11222e y ae x e ⎛⎫⎛⎫-
=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故过定点1,22e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
；
试题解析：
（1）因为()12f x ax x '=+
，所以()f x 在点()(),e f e 处的切线的斜率为12k ae e
=+， 所以()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为()2121y ae x e ae e ⎛
⎫=+-++ ⎪⎝
⎭，
整理得11222e y ae x e ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以切线恒过定点1,22e ⎛⎫
⎪⎝⎭
．
（2）令()()()2p x f x f x =-=212ln 02a x ax x ⎛
⎫--+< ⎪⎝
⎭，对()1,x ∈+∞恒成立，
因为()()1212p x a x a x =--+'()2
2121a x ax x --+=()()()
1211*x a x x
⎡⎤---⎣⎦= 令()0p x '=，得极值点11x =，21
21
x a =-，
①当112a <<时，有211x x >=，即1
12
a <<时，在()2,x +∞上有()0p x '>，
此时()p x 在区间()2,x +∞上是增函数，并且在该区间上有()()()2,p x p x ∈+∞，不合题意；
②当1a ≥时，有211x x <=，同理可知，()p x 在区间()1,+∞上，有()()()
1,p x p ∈+∞，也不合题意； ③当1
2
a ≤
时，有210a -≤，此时在区间()1,+∞上恒有()0p x '<， 从而()p x 在区间()1,+∞上是减函数；
要使()0p x <在此区间上恒成立，只须满足()111022
p a a =--≤⇒≥-， 所以11
22
a -
≤≤． 综上可知a 的范围是11,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
． （利用参数分离得正确答案扣2分）
（3）当23a =
时，()21145ln 639f x x x x =++，()221423
f x x x =+ 记()()22115
ln 39
y f x f x x x =-=-，()1,x ∈+∞．
因为22565399x x y x x
='-=-，
令0y '=，得x =
所以()()21y f x f x =-在⎛ ⎝
为减函数，在⎫+∞⎪⎪⎭
上为增函数，
所以当x =
时，min 59
180y =
设()()()159
01180
R x f x λλ=+<<，则()()()12f x R x f x <<， 所以在区间()1,+∞上，满足()()()12f x g x f x <<恒成立函数()g x 有无穷多个。