弧长及扇形面积同步能力提高训练2021-2022学年苏科版九年级数学上册(含答案)

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2.7弧长及扇形面积同步能力提高训练
一、选择题(共9小题).
1.已知扇形的半径为6,圆心角为150°,则它的面积是()
A.πB.3πC.5πD.15π
2.如图,在边长为2的等边△ABC中,D是BC边上的中点,以点A为圆心,AD为半径作圆与AB,AC分别交于E,F两点,则图中阴影部分的面积为()
A.B.C.D.
3.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为点F,若⊙O的半径为4,∠CDF=15°,则阴影部分的面积为()
A.16π﹣12B.16π﹣24C.20π﹣12D.20π﹣24
4.如图,在⊙O中,点C在优弧上,将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.若⊙O 的半径为5,AB=4,则的长是()
A.B.C.D.4π
5.如图,BC为⊙O直径,若∠A=80°,BC=6,则图中灰色区域的面积为()A.2πB.3πC.4πD.5π
6.如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,点C在上,且的长为π,点D在OA上,连接BD,CD,若点C,O关于直线BD对称,则图中阴影部分的面积为()
A.B.C.D.
7.如图,点C为圆O上一个动点,连接AC,BC,若OA=1,则阴影部分面积的最小值为()
A.﹣B.﹣﹣C.﹣D.﹣
8.如图,已知所在圆的半径为5,所对弦AB长为8,点P是的中点,将绕点A逆时针旋转90°后得到,则在该旋转过程中,线段PB扫过的面积是()
A.8πB.9πC.10πD.11π
9.如图,边长为2的正方形ABCD的中心与半径为3的⊙O的圆心重合,延长AB,BC分别交⊙O于M,N,则图中阴影部分的面积是()
A.B.C.9π﹣4D.9π﹣2
二、填空题
10.如图,△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,AC=4,点O为BC的中点,以O为圆心,以OB为半径作半圆,交AC于点D,则图中阴影部分的面积是.
11.如图,在△OAC中,OA=4,AC=2,把△OAC绕点A按顺时针方向转到△O'AC',已知点O'的坐标是(2,2),则在旋转过程中线段OC扫过的阴影部分面积为.
12.如图,⊙O中,若直径AB=4,C,D为⊙O上两点,且分别位于直径AB的两侧,C 为弧AB的中点,∠BCD=15°,则图中阴影部分的周长为.(结果保留根号或π).
13.扇子在我国已经有三、四千年的历史,中国扇文化有丰富的文化底蕴.如图,扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB、AC夹角为150°.AB的长为30cm,扇面BD的长为20cm,则扇面的面积为cm2.
三、解答题
14.如图,在⊙O中,AC为⊙O的直径,AB为⊙O的弦,点E是的中点,过点E作AB 的垂线,交AB于点M,交⊙O于点N,分别连接EB,CN.
(1)EM与BE的数量关系是;
(2)求证:=;
(3)若AM=,MB=1,求阴影部分图形的面积.
15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,O在斜边AB上,且AO=AC,连接CO,并延长至D,使∠D=∠OCB,以O为圆心,OD为半径画圆,交DB延长线于E点.
(1)求证:BD=BE;
(2)已知AC=1cm,BC=cm.
①连接CE,过B作BF⊥EC于F点,求线段BF的长;
②求图中阴影部分面积.
16.如图,在△ABC中,∠C=90°,以点C为圆心,CA长为半径的圆交AB于点D.(1)若∠B=28°,求的度数;
(2)若D是AB的中点,AB=2,求阴影部分的面积;
(3)若AC=,求AD•AB的值.
17.如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为点E,连接OC、AC、BD.(1)求证:∠ACO=∠CDB;
(2)若CD=6,BE=,求弧AD的长;
18.如图,在⊙O中,弦BC垂直于半径OA,垂足为E,D是优弧上一点,连接BD,AD,OC,∠ADB=30°.
(1)求∠AOC的度数;
(2)若弦BC=2cm,求图中阴影部分的面积.
19.已知在⊙O中,点C为上的中点,连接AC并延长至D,使CD=CA,连接DB并延长交⊙O于点E,连接AE.
(1)如图1,连接AB,求证:AE是⊙O的直径;
(2)如图2,连接EC,若AC=4,DE=10,求阴影部分的面积之和.
20.如图,四边形ABCD是正方形,以边AB为直径作⊙O,点E在BC边上,连接AE交⊙O于点F,连接BF并延长交CD于点G,OA=3.
(1)求证:△ABE≌△BCG;
(2)若∠AEB=55°,求劣弧的长.(结果保留π)
参考答案1.解:扇形面积=,故选:D.
2.解:连接AD,如图所示:
∵D是BC边上的中点,
∴AD⊥BC,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°,BC=AB=2,
∴AD=,
∴阴影部分的面积==.故选:C.
3.解:连接AD,OE
∵AB为直径,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴∠ADF+∠CDF=90°,
∵DF⊥AC,
∴∠AFD=90°,
∴∠ADF+∠DAF=90°,
∴∠CDF=∠DAC,
∵∠CDF=15°,
∴∠DAC=15°,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAC=2∠DAC=30°,
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA=30°,
∴∠AOE=120°,
作OH⊥AE于H,
在Rt△AOH中,OA=4,∴OH=2,
AH=6,
∴AE=2AH=12,
∴S
阴影=S
扇形OAE
﹣S
△AOE
==16.
故选:A.
4.解:连接AC,OB,OD,CD,作CF⊥AB于点F,作OE⊥CF于点E,由垂定理可知OD⊥AB于点D,AD=BD==.
又OB=5,
∴OD===,
∵CA、CD所对的圆周角为∠CBA、∠CBD,且∠CBA=∠CBD,
∴CA=CD,△CAD为等腰三角形.
∵CF⊥AB,
∴AF=DF==,
又四边形ODFE为矩形且OD=DF=,
∴四边形ODFE为正方形.
∴,
∴CE===2,
∴CF=CE+EF=3=BF,
故△CFB为等腰直角三角形,∠CBA=45°,
∴所对的圆心角为90°,
∴==.
故选:A.
5.解:∵∠A=80°,
∴∠B+∠C=180°﹣80°=100°,
∵OB=OD,OE=OC,
∴∠ODB=∠B,∠OEC=∠C,
∴∠ODB+∠OEC=100°,
∴∠DOB+∠EOC=160°,
∴图中灰色区域的面积==4π,故选:C.
6.解:连接BC,OC,OC交BD于W,
∵点C,O关于直线BD对称,
∴∠DWO=90°,OW=CW,BC=OB,
∵OC=OB,
∴OC=BC=OB,
即△OCB是等边三角形,
∴∠COB=60°,
∵的长为π,
∴=π,
解得:OB=3,
即OC=OB=3,
∴OW =CW =1.5,
∵∠AOB =90°,
∴∠AOC =30°,
∴OD =2DW ,
由勾股定理得:OD 2=DW 2+OW 2,
即(2DW )2=DW 2+1.52,
解得:DW =(负数舍去),
∴阴影部分的面积S =S 扇形AOC ﹣S △DOC =﹣=, 故选:A .
7.解:连接AB ,OC ',AC ',BC ',
要使阴影部分的面积最小,需要满足四边形AOBC 的面积最大,只需满足△ABC 的面积最大即可,
从而可得当点C 位于弧AB 的中点C ′时,△ABC 的面积最大,
连接OC ',则OC '⊥AB 于D ,
∴OD =AB ==, ∴DC '=OC '﹣OD =1﹣,
∴S 四边形AOBC ′=S △AOB +S △ABC ′=×1×1+×
×(1﹣)=, ∵扇形AOB 的面积==, ∴阴影部分面积的最小值=﹣,
故选:C .
8.解:设
所在圆的圆心为O ,连接OP 、OA 、AP 、AP ′、AB ′, ∵点P 是的中点,
∴OP ⊥AB ,AM =BM =AB =4,
∴OM =
=3, ∴PM =5﹣3=2,
∴PA ===2,
∴线段PB 扫过的面积=S 扇形ABB ′﹣S 扇形APP ′=﹣=16π﹣5π=11π,
故选:D .
9.解:延长CD ,DA 交⊙O 于E ,F ,
由对称性可知,图中阴影部分的面积=×(S 圆O ﹣S 正方形ABCD )=×(9π﹣4)=π﹣1,
故选:B .
10.解,连接OD ,过D 作DE ⊥BC 于E ,
在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =2,AC =4,
∴∠C =30°,
∴∠DOB =60°,
∵OD =BC =

∴DE =, ∴阴影部分的面积是:2×2﹣﹣=﹣,
故答案为:﹣.
11.解:过O ′作O ′M ⊥OA 于M ,则∠O ′MA =90°, ∵点O ′的坐标是(2,2
), ∴O ′M =2
,OM =2, ∵AO =4,
∴AM =4﹣2=2,
∴∠O ′AM =60°,
即旋转角为60°,
∴∠CAC ′=∠OAO ′=60°,
∵把△OAC 绕点A 按顺时针方向旋转到△O ′AC ′, ∴S △OAC =S △O ′AC ′,
∴阴影部分的面积S =S
扇形OAO ′+S △O ′AC ′﹣S △OAC ﹣S 扇形CAC ′=S 扇形OAO ′﹣S 扇形CAC ′=﹣
=2π,
故答案为2π.
12.解:作直径CE ,连接DE 、OD ,如图,
∵C 为弧AB 的中点,
∴∠BOC =∠AOC =90°,
∴△OBC 为等腰直角三角形,
∴BC =OB =2,∠OCB =45°,
∵∠BCD =15°,
∴∠DCE =45°﹣15°=30°,
∵CE 为直径,
∴∠CDE =90°,
∴DE =CE =2,
∴CD =DE =2,
∵∠BOD =2∠BCD =30°, ∴的长度==π, ∴图中阴影部分的周长为π+2+2. 故答案为π+2+2.
13.解:∵AB =30cm ,BD =20cm ,
∴AD =10cm ,
∵∠BAC =150°,
∴扇面的面积=S 扇形BAC ﹣S 扇形DAE =﹣ =π(cm 2). 故答案为π.
14.解:(1)∵AC 为⊙O 的直径,点E 是
的中点, ∴∠ABE =45°,
∵AB ⊥EN ,
∴△BME 是等腰直角三角形,
∴BE =EM ,
故答案为BE =
EM ; (2)连接EO ,AC 是⊙O 的直径,E 是
的中点,
∴∠AOE =90°,
∴∠ABE =∠AOE =45°,
∵EN ⊥AB ,垂足为点M ,
∴∠EMB=90°
∴∠ABE=∠BEN=45°,
∴=,
∵点E是的中点,
∴=,
∴=,
∴﹣=﹣,
∴=;
(3)连接AE,OB,ON,
∵EN⊥AB,垂足为点M,
∴∠AME=∠EMB=90°,
∵BM=1,由(2)得∠ABE=∠BEN=45°,∴EM=BM=1,
又∵BE=EM,
∴BE=,
∵在Rt△AEM中,EM=1,AM=,
∴∠EAB=30°,
∵∠EAB=∠EOB,
∴∠EOB=60°,
又∵OE=OB,
∴△EOB是等边三角形,
∴OE=BE=,
又∵=,
∴BE=CN,
∴△OEB≌△OCN(SSS),
∴CN=BE=
又∵S
扇形OCN ==,S
△OCN
=CN•CN=×=

∴S
阴影=S
扇形OCN
﹣S
△OCN
=﹣.
15.(1)证明:∵AO=AC,
∴∠ACO=∠AOC,
∵∠D=∠OCB,∠BOD=∠AOC,
∴∠ACO+∠OCB=∠BOD+∠D,
∵∠ACB=90°,
∴∠BOD+∠D=90°,
∴OB⊥DE,
∴BD=BE;
(2)解:①在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1cm,BC=cm.∴∠ABC=30°,
∴AB=2AC=2,∠A=60°,
∵OA=AC,
∴△AOC为等边三角形,
∴OC=AC=1cm,∠AOC=60°,
∴∠D=∠OCB=30°,OB=AB﹣OA=1,
∴OD=2OB=2,
∴CD=OD+OC=3,
∵∠D=∠OCB,
∴BD=BC,
∵BD=BE,
∴BC=BE,
∴∠BCE=∠BEC,
∴∠D+∠BEC=∠DCE=90°,
∵BF⊥CE,
∴BF∥CD,
∵BD=BE,
∴BF=CD=;
②解:连接OE,
∵OD =2、OB =1,
∴BD =,
则DE =2BD =2
, ∵OD =OE ,
∴∠D =∠OED =30°,
∴∠DOE =120°,
S 阴影=S 扇形ODE ﹣S △ODE =﹣×2×1=π﹣.
16.解:(1)连接CD ,如图,
∵∠ACB =90°,∠B =28°,
∴∠BAC =90°﹣28°=62°,
∵CA =CD ,
∴∠CDA =∠CAD =62°,
∴∠ACD =180°﹣62°﹣62°=56°, ∴的度数为56°;
(2)∵D 是AB 的中点,∠ACB =90°,
∴CD =AD =BD =AB =1,
∵CD =CA ,
∴△ACD 为等边三角形,
∴∠ACD =60°,
∴阴影部分的面积=S 扇形ACD ﹣S △ACD =﹣×12 =π﹣; (4)过点C 作CH ⊥AD 于H ,
∴AH =DH =AD ,
∵∠ACB=90°,CH⊥AB,
∴∠ACB=∠AHC,
∵∠A=∠A,
∴AC2=AH•AB,
即()2=AD•AB,
∴AD•AB=6.
17.(1)证明:∵OC=OA,
∴∠A=∠ACO,
∵∠A=∠CDB,
∴∠ACO=∠CDB;
(2)解:连接OD,
设⊙O的半径为r,
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD,CD=6,
∴DE=CD=3,AB⊥CD,
在Rt△OED中,OD2=OE2+DE2,即r2=(r﹣)2+32,解得,r=2,
∴∠DOE=60°,
∴∠AOD=120°,
∴弧AD的长==π.
18.解:(1)连接OB,
∵BC⊥OA,
∴BE=CE,,
又∵∠ADB=30°,
∴∠AOC=∠AOB=2∠ADB,∴∠AOC=60°.
(2)∵,
∴,
∵∠AOC=60°,
∴∠C=30°,
设OE=x,OC=2x,
∵OE2+EC2=OC2,
∴OE=x=1,OC=2x=2,
∴S
阴影=S
扇形OBC
﹣S
△OBC
==(π﹣)(cm2).
19.(1)证明:如图1,连接CB,CE,
∵点C为劣弧AB上的中点,
∴CB=CA,
又∵CD=CA,
∴AC=CD=BC,
∴∠D=∠CBD,
∵∠CBD=∠EAD,
∴∠D=∠EAD,
∴EA=ED,
∵CD=CA,
∴EC⊥AD,
∴∠ACE=90°,
∴AE是⊙O的直径;
(2)解:如图2,∵AE=ED=10,AC=4,EC⊥AD,∴根据勾股定理得:CE=2,
∴S
阴影=S
半圆
﹣S
△ACE
=12.5π﹣×4×2=12.5π﹣4.
20.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABE=∠BCG=90°,
∵AB是直径,
∴∠AFB=90°,
∴∠BAE+∠ABF=90°,∠ABF+∠CBG=90°,∴∠BAE=∠CBG,
在△ABE和△BCG中,

∴△ABE≌△BCG(ASA).
(2)解:连接OF,
∵∠ABE=90°,∠AEB=55°,
∴∠BAE=90°﹣55°=35°,
∴∠BOF=2∠BAE=70°,
∵OA=3,
∴的长==.。

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