广东省东莞市市万江中学2020-2021学年高三数学理上学期期末试卷含解析

广东省东莞市市万江中学2020-2021学年高三数学理上
学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知，，则的值
为( )
A．B．C．
D．
参考答案：
A
2. 在区间和分别取一个数,记为，则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）
....
参考答案：
B
【知识点】椭圆的简单性质H5 K3
解析：∵表示焦点在x轴上且离心率小于，
∴a＞b＞0，a＜2b，它对应的平面区域如图中阴影部分所示：
则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为
P==，故选B．
【思路点拨】表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时，（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．
3. 已知实数满足的约束条件则的最大值为（）
A． 20 B． 24 C． 16
D． 12
参考答案：
B
4. 若集合，且，则集合可能是（）
A. B. C.
D.
参考答案：
A.
试题分析：∵，∴，故只有A符合题意，故选A.
考点：集合的关系及其运算.
5. 执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为（）
A．10 B．15 C．18 D．21
参考答案：
B
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=5，S=15时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15，即可得解．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
k=3，n=1，S=1
满足条件S＜kn，执行循环体，n=2，S=3
满足条件S＜kn，执行循环体，n=3，S=6
满足条件S＜kn，执行循环体，n=4，S=10
满足条件S＜kn，执行循环体，n=5，S=15
此时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15．
故选：B．
6. 用[a]表示不大于实数a的最大整数，如[1.68]=1，设分别是方程
及
的根，则
A．3 B．4
C．5 D．6
参考答案：
A
7. 已知函数，则关于x的不等式
的解集为（）
A．(－∞,1) B．(1,+∞) C.(1,2) D．(1,4)
参考答案：
A
由题意易知：为奇函数且在上单调递增, ∴，即
∴
∴
∴不等式的解集为
故选：A
8. 已知复数，则“”是“为纯虚数”的 ( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条
件 D.既非充分又非必要条件
参考答案：
A
时, 是纯虚数; 为纯虚数时=0,解出.选A.
9. 设x,y满足，则（）
A.有最小值2，无最大值
B.有最小值－1，无最大值
C.有最大值2，无最小值
D.既无最小值，又无最大值
参考答案：
B
10. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=4x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若|PF|=，则双曲线的渐近线方程为（）
A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x
参考答案：
C
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2﹣a2，解得a，b，得到渐近线方程．
【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点坐标F（1，0），p=2，
抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，
∴p=2c，即c=1，
∵设P（m，n），由抛物线定义知：
|PF|=m+=m+1=，∴m=．
∴P点的坐标为（，±）
∴解得：，
则渐近线方程为y=±x，
故选：C．
【点评】本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若复数（为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数的值为 .参考答案：
2
12. 曲线在点P(2,-3)处的切线方程为_________
参考答案：
13. 设函数（），将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于．
参考答案：
6
14. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a11=3a6－4，则则S n= 。

参考答案：
44
略
15. 在直角三角形中,,点是斜边上的一个三等分点,则_______________.
参考答案：
4
16. 已知集合，，若，则实数m= ．
参考答案：
3
,故
17. 将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=，则三棱锥D-ABC的体积为__________.
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 椭圆C：(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，满足
，，．
（1）求椭圆C的方程．
（2）设O为坐标原点，过椭圆C的左焦点F1的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，是否存在常数t，使得为定值，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）由椭圆定义得，由=|PF2|2，得c=2，由此能求出椭圆方程．
（2）当直线L的斜率存在时，设点M（x1，y1），N（x2，y2），直线L为y=k（x+2），
由，得，由此利用韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出结果．
【解答】解：（1），得，
由=|PF2|2，得c=2，
由c2=a2﹣b2得b=1，
∴椭圆方程为；…..
（2）当直线L的斜率存在时，设点M（x1，y1），N（x2，y2），直线L为y=k（x+2）
把y=k（x+2）代入得：
…．
由，得，，
所以，
所以…
当时，t=﹣11，此时
即当t=﹣11时，可得为定值6；，
当直线L的斜率不存在时，直线L为x=﹣2，则，
当t=﹣11时，可得为定值6，
由上综合可知，当t=﹣11时，可得为定值6．…
19. 2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品.图1是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.
表1：设备改造后样本的频数分布表
量指标值与设备改造有关；
较；
（3）根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利180元，一件不合格品亏损100元，用频率估计概率，则生产1000件产品企业大约能获利多少元？
附：
参考答案：
（1）根据图1和表1得到列联表：
将列联表中的数据代入公式计算得：
.
∵，
∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.
（2）根据图1和表1可知，设备改造后产品为合格品的概率约为，设备改造
前产品为合格品的概率约为；即设备改造后合格率更高，因此，设备改造后性能更好.
（3）用频率估计概率，1000件产品中大约有960件合格品，40件不合格品，
，所以该企业大约获利168800元.
20. 如图，直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．
参考答案：
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）由已知中直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是正方形，且BF⊥平面ACE，我们可以证得BF⊥AE，CB⊥AE，进而由线面垂直的判定定理可得AE⊥平面BCE．
（2）连接BD与AC交于G，连接FG，设正方形ABCD的边长为2，由三垂线定理及二面角的平面角的定义，可得∠BGF是二面角B﹣AC﹣E的平面角，解Rt△BFG即可得到答案．
【解答】证明：（1）∵BF⊥平面ACE
∴BF⊥AE…
∵二面角D﹣AB﹣E为直二面角，且CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABE
∴CB⊥AE…
∴AE⊥平面BCE．…
解：（2）连接BD与AC交于G，连接FG，设正方形ABCD的边长为2，∴BG⊥AC，BG=，…
∵BF垂直于平面ACE，由三垂线定理逆定理得FG⊥AC
∴∠BGF是二面角B﹣AC﹣E的平面角…
由（1）AE⊥平面BCE，得AE⊥EB，
∵AE=EB，BE=．
∴在Rt△BCE中，EC==，…
由等面积法求得，
则
∴在Rt△BFG中，
故二面角B﹣AC﹣E的余弦值为．…
21. 如图，圆O与离心率为的椭圆T：（）相切于点M。

⑴求椭圆T与圆O的方程；
⑵过点M引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）。

①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为、，求的最大值；
②若，求与的方程。

参考答案：
解: (1)由题意知: 解得可知:
椭圆的方程为与圆的方程
(2)设因为⊥,则因为
所以,
因为所以当时取得最大值为，此时点(3)设的方程为,由解得；
由解得
把中的置换成可得，
所以，
，
由得解得
所以的方程为，的方程为
或的方程为，的方程为
略
22. 某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测.现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数，标准差，绘制如图所示的频率分布直方图.以频率值作为概率估计值.
（1）从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X，依据以下不等式评判（P表示对应事件的概率）：
①
②
③
评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线，试判断该生产线是否需要检修；
（2）将数据不在内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取2件，次品数记为Y，求Y的分布列与数学期望EY.
参考答案：
（1）由题意知，，由频率分布直方图得
，
，
，∵不满足至少两个不等式成立，∴该生产线需检修.
（2）由（1）知，
所以任取—件是次品的概率为，
所以任取两件产品得到的次品数可能值为0，1,2，
则；
；
；
∴的分布列为
∴.。