高中数学 第3讲 圆锥曲线性质的探讨高效整合课件 新人
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1．理解几何图形正射椭圆的准线的定义，掌握圆柱面 的截线定理．Dandelin双球的应用是证明定理的关键，它相当 于一座桥梁，沟通了题设和结论之间的联系，将动点到两定点 的距离之和(差)转化为两平行平面间的母线段之长，使问题变 得容易解决，这是数形结合的力量．
热点考点例析
[典型问题举例] 数形结合思想
在解决与几何图形有关的问题时，将图形信息转换成代数 信息，利用数量特征，将其转化为代数问题；在解决与数量有 关的问题时，根据数量的结构特征，构造出相应的几何图形， 即化为几何问题，从而利用数形的辩证统一和各自的优势尽快 得到解题途径．这就是数形结合的思想方法．
最长的弦长为 4 3，则该圆柱底面的半径为( )
A． 3
B．2 3
C．3
D．6
解析： 圆柱底半径 r＝2 3sin 60°＝3. 答案： C
4．已知半径 r＝2 的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成 45°
角，则截线椭圆的焦距为( )
A．2 2
B．2
C．4
D．4 2
解析： 由椭圆长半轴 a＝sin245°＝2 2，短半轴 b＝2，得
转化与化归思想
在研究平面与圆柱面或圆锥面的截线性质时，往往借助 Dandelin双球——内切于圆柱面或圆内的球．此时，几何体的结 构较为复杂．因此在处理这类问题时，可作圆柱面或圆锥面的 轴截面(过轴的截面)，将立体几何问题转化为平面几何问题来 解决．即立体问题平面化．
在底面半径为6的圆柱内有两个半径也为6的球， 两球的球心距离为13，若作一个平面与这两个球都相切，且与 圆柱面相交成一椭圆．求此椭圆的长轴长．
解析： 由两焦球球心距离等于截线椭圆的长轴长，故两 焦球球心距离为sin26r0°＝8 3.
截线椭圆的长轴长为 8 3，短轴长为 2r＝12， 离心率 e＝cos 60°＝12.
8 ． 如 图 ， 圆 锥 面 S 的 一 正 截 面 与 圆 锥 面 的 交 线 为 ⊙O ， PA、PB是两条母线上所截得的线段，∠AOB＝120°，PO与平
方程思想
在平面与圆柱面、圆锥面的截线中，存在着大量的数量关 系，若求某个量时，有时需要列出方程，通过解方程求解．这 就是方程的思想方法．
平面 α 与圆柱轴线成 60°角，截圆柱面所得椭圆焦 距为 2 3，求圆柱面的半径．
解析： 如图所示，O 为椭圆中心，AA′
是椭圆的长轴，其长设为 2a，过 O 向圆柱母
焦距 2c＝2 a2－b2＝2 2 22－22＝4.故选 C．
答案： C
5．已知圆锥面的轴截面是正三角形，用一个与轴线成 45°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所得的截线是 ________.
解 析 ： 由 已 知 圆锥 的 母线与 轴 线的夹 角 为 30° ， 又 45°>30°，∴截线是椭圆．
3．了解圆锥曲面及其性质，掌握圆锥面截线定理，能简 单地判定几何曲线的类型(从图形形状上)．
[命题探究]
圆锥曲线性质的探讨这一章与前面学习的立体几何、解析 几何的有关知识有密切的联系，逐步会成为高考考查的对象， 预计在高考中会对某个知识点或多个知识点进行相关的考查， 重在考查考生对知识的综合运用能力及分析问题、解决问题的 能力，题型可以是选择或填空题，也可以是解答题，难度为中 低档．
答案： ①②④
2．线段AB、CD在同一平面内的正射影相等 ，则线段
AB、CD的长度关系为( )
A．AB>CD
B．AB<CD
C．AB＝CD
D．无法确定
解析： 应由线段AB、CD与平面所成的角来判定，虽然
射影相等，但线段AB、CD的长度无法确定，故它们的长度关
系也无法确定．
答案： D
3．一圆柱面被一平面所截，平面与母线成 60°角，截线上
[跟踪训练]
1．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b 在α上的射影有可能是：
①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直 线；④一条直线及其外一点．
在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出所有 正确结论的编号)．
解析： 如图，由图可知①②④正确，而对于③，两直线 射影若是同一条直线，则两直线必共面，这与a、b异面矛盾， ∴③错，故正确答案为：①②④.
线作垂线，垂足为 B，则△OAB 是直角三角
形，且∠OAB＝60°是平面 α 与圆柱母线(也
是与轴线)所成的角．设圆柱面半径为 r，则
a＝sin r60°＝2
3r 3.
椭圆的短轴长 2b＝2r，即 b＝r， 由已知焦距 2c＝2 3， ∴c＝ 3. 又在椭圆中，a2＝b2＋c2，∴2 33r2＝r2＋( 3)2. 解得 r＝3，即圆柱面的半径为 3.
已知一圆锥面S的轴线为Sx，轴线与母线的夹角 为30°，在轴上取一点O，使SO＝3 cm，球O与这个锥面相 切，求球O的半径和切点圆的半径．
解析： 如右图所示，点 H 为球 O 与圆 锥面的一个切点，点 C 为切点圆心，连接 OH、
HC．则 OH⊥SH，∠OSH＝30°，
∴OH＝12SO＝32 cm，且∠SOH＝60°， ∴HC＝OHsin 60°＝32× 23＝343(cm)． ∴球 O 的半径为32 cm，切点圆的半径为343 cm.
解析： 如图为圆柱面的轴截面图．
AB为与两球O1和O2相切的平面与轴截面的交线，由对称 性知AB过圆柱的几何中心O.
∵OO1⊥OD，O1C⊥OA， ∴∠OO1C＝∠AOD，且O1C＝OD＝6， ∴Rt△OO1C≌Rt△AOD，∴OA＝OO1， ∴AB＝2AO＝2OO1＝O1O2＝13. ∵AB即为椭圆的长轴，∴椭圆的长轴长为13.
答案： 椭圆
6．设椭圆的离心率 e＝23，两准线间的距离为 15，则椭圆 的长轴长为________.
解析： 依题意：ac＝23，2·ac2＝15，解得 a＝5，∴c＝130， ∴2a＝10.即长轴长为 10.
答案： 10
7．已知圆柱面的半径r＝6，截割平面β与母线所成的角为 60°，求此截割面的两个焦球球心距离，并指出截线椭圆的长 轴、短轴和离心率e.
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1．理解几何图形正射椭圆的准线的定义，掌握圆柱面 的截线定理．Dandelin双球的应用是证明定理的关键，它相当 于一座桥梁，沟通了题设和结论之间的联系，将动点到两定点 的距离之和(差)转化为两平行平面间的母线段之长，使问题变 得容易解决，这是数形结合的力量．
热点考点例析
[典型问题举例] 数形结合思想
在解决与几何图形有关的问题时，将图形信息转换成代数 信息，利用数量特征，将其转化为代数问题；在解决与数量有 关的问题时，根据数量的结构特征，构造出相应的几何图形， 即化为几何问题，从而利用数形的辩证统一和各自的优势尽快 得到解题途径．这就是数形结合的思想方法．
最长的弦长为 4 3，则该圆柱底面的半径为( )
A． 3
B．2 3
C．3
D．6
解析： 圆柱底半径 r＝2 3sin 60°＝3. 答案： C
4．已知半径 r＝2 的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成 45°
角，则截线椭圆的焦距为( )
A．2 2
B．2
C．4
D．4 2
解析： 由椭圆长半轴 a＝sin245°＝2 2，短半轴 b＝2，得
转化与化归思想
在研究平面与圆柱面或圆锥面的截线性质时，往往借助 Dandelin双球——内切于圆柱面或圆内的球．此时，几何体的结 构较为复杂．因此在处理这类问题时，可作圆柱面或圆锥面的 轴截面(过轴的截面)，将立体几何问题转化为平面几何问题来 解决．即立体问题平面化．
在底面半径为6的圆柱内有两个半径也为6的球， 两球的球心距离为13，若作一个平面与这两个球都相切，且与 圆柱面相交成一椭圆．求此椭圆的长轴长．
解析： 由两焦球球心距离等于截线椭圆的长轴长，故两 焦球球心距离为sin26r0°＝8 3.
截线椭圆的长轴长为 8 3，短轴长为 2r＝12， 离心率 e＝cos 60°＝12.
8 ． 如 图 ， 圆 锥 面 S 的 一 正 截 面 与 圆 锥 面 的 交 线 为 ⊙O ， PA、PB是两条母线上所截得的线段，∠AOB＝120°，PO与平
方程思想
在平面与圆柱面、圆锥面的截线中，存在着大量的数量关 系，若求某个量时，有时需要列出方程，通过解方程求解．这 就是方程的思想方法．
平面 α 与圆柱轴线成 60°角，截圆柱面所得椭圆焦 距为 2 3，求圆柱面的半径．
解析： 如图所示，O 为椭圆中心，AA′
是椭圆的长轴，其长设为 2a，过 O 向圆柱母
焦距 2c＝2 a2－b2＝2 2 22－22＝4.故选 C．
答案： C
5．已知圆锥面的轴截面是正三角形，用一个与轴线成 45°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所得的截线是 ________.
解 析 ： 由 已 知 圆锥 的 母线与 轴 线的夹 角 为 30° ， 又 45°>30°，∴截线是椭圆．
3．了解圆锥曲面及其性质，掌握圆锥面截线定理，能简 单地判定几何曲线的类型(从图形形状上)．
[命题探究]
圆锥曲线性质的探讨这一章与前面学习的立体几何、解析 几何的有关知识有密切的联系，逐步会成为高考考查的对象， 预计在高考中会对某个知识点或多个知识点进行相关的考查， 重在考查考生对知识的综合运用能力及分析问题、解决问题的 能力，题型可以是选择或填空题，也可以是解答题，难度为中 低档．
答案： ①②④
2．线段AB、CD在同一平面内的正射影相等 ，则线段
AB、CD的长度关系为( )
A．AB>CD
B．AB<CD
C．AB＝CD
D．无法确定
解析： 应由线段AB、CD与平面所成的角来判定，虽然
射影相等，但线段AB、CD的长度无法确定，故它们的长度关
系也无法确定．
答案： D
3．一圆柱面被一平面所截，平面与母线成 60°角，截线上
[跟踪训练]
1．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b 在α上的射影有可能是：
①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直 线；④一条直线及其外一点．
在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出所有 正确结论的编号)．
解析： 如图，由图可知①②④正确，而对于③，两直线 射影若是同一条直线，则两直线必共面，这与a、b异面矛盾， ∴③错，故正确答案为：①②④.
线作垂线，垂足为 B，则△OAB 是直角三角
形，且∠OAB＝60°是平面 α 与圆柱母线(也
是与轴线)所成的角．设圆柱面半径为 r，则
a＝sin r60°＝2
3r 3.
椭圆的短轴长 2b＝2r，即 b＝r， 由已知焦距 2c＝2 3， ∴c＝ 3. 又在椭圆中，a2＝b2＋c2，∴2 33r2＝r2＋( 3)2. 解得 r＝3，即圆柱面的半径为 3.
已知一圆锥面S的轴线为Sx，轴线与母线的夹角 为30°，在轴上取一点O，使SO＝3 cm，球O与这个锥面相 切，求球O的半径和切点圆的半径．
解析： 如右图所示，点 H 为球 O 与圆 锥面的一个切点，点 C 为切点圆心，连接 OH、
HC．则 OH⊥SH，∠OSH＝30°，
∴OH＝12SO＝32 cm，且∠SOH＝60°， ∴HC＝OHsin 60°＝32× 23＝343(cm)． ∴球 O 的半径为32 cm，切点圆的半径为343 cm.
解析： 如图为圆柱面的轴截面图．
AB为与两球O1和O2相切的平面与轴截面的交线，由对称 性知AB过圆柱的几何中心O.
∵OO1⊥OD，O1C⊥OA， ∴∠OO1C＝∠AOD，且O1C＝OD＝6， ∴Rt△OO1C≌Rt△AOD，∴OA＝OO1， ∴AB＝2AO＝2OO1＝O1O2＝13. ∵AB即为椭圆的长轴，∴椭圆的长轴长为13.
答案： 椭圆
6．设椭圆的离心率 e＝23，两准线间的距离为 15，则椭圆 的长轴长为________.
解析： 依题意：ac＝23，2·ac2＝15，解得 a＝5，∴c＝130， ∴2a＝10.即长轴长为 10.
答案： 10
7．已知圆柱面的半径r＝6，截割平面β与母线所成的角为 60°，求此截割面的两个焦球球心距离，并指出截线椭圆的长 轴、短轴和离心率e.