空间问题基本理论英语版演示文稿

dφ
φ
φ
ρ
ρ φ
z
z
z
dz
zr
zr
z
dz
r rz
rz
rz r
dr
r
r r
dr
zr
r
z
根据r方向的平衡，可得
r
r
r
d r (r
d r)d
d
z
rr
d
d
z
2
dr
d
z
d
2
r
r
z
d z r d
dr
r r d
dr
Krr d
drdz
0
化简后得到
r
r
r
z
r
r
Kr
0
第十一页，共12页。
第四页，共12页。
N
ZN XN
YN
zx 0 y 由x方向的平衡得到：
XNΔS = lΔSσx+mΔSτyx+nΔSτzx
即 XN = lσx+mτyx +nτzx
注意，这里边界上的外力是坐标轴方向上的分量。
第五页，共12页。
由y、z方向的平衡得到:
YN= lτxy+mσy+nτzy ZN = lτxz +mτyz+nσz
应力边界条件为：
X = lσx+mτyx +nτzx Y = lτxy+mσy+nτzy Z = lτxz +mτyz+nσz
求解的应力应满足平衡方程和应力边界条件，在 空间应力状态有六个未知的应力函数，只有三个 平衡方程；边界条件主要是用来确定解出的应力 中的未定常数。
第六页，共12页。
5.3 主应力
θ dθ r
r
z
z
z
dz
zr
zr
z
dz
r rz
rz
rz r
dr
r
r r
dr
zr
r
z
根据z方向的平衡，可得
rz
rz
r
d
r
(r
d
r)d
d
z
rzr
d
d
z
z
z
z
d
z r
d
d
r
zr
d
d
r
Zr
d
d
r
d
z
0
化简后得到
r rz rz Z 0
z r r
第十二页，共12页。
态下的物理方程。
第九页，共12页。
xy
1 G
xy
,
xz
1 G
xz
,
yz
1 G
yz
θr
5.5
dr
空间轴对称问题
z
z
z
dz
zr
zr
z
dz
r rz
rz
rz r
dr
r
r r
dr
zr
dθ
r
z
θ dθ r
r
从轴对称物体中取出图示 的单元体。
由于对称性，
r r
并且环向体力分量为零。
第十页，共12页。
与平面问题一致，设经过任一点P的某斜面上剪应力等于 零，则该斜面上的正应力称为在P点的一个主应力，并称该斜 面为在P点的一个应力主面，该斜面的法线方向为P点一个应 力主向。
设P点有一主应力存在，则该面上的全应力在坐标轴上的投影
为：
XN l ,YN m , Z N n
则得：l x m yx n zx l 又有： l 2 m2 n2 1
空间问题基本理论英语版演示 文稿
第一页，共12页。
（优选）空间问题基本理论英 语版
第二页，共12页。Fra bibliotekxzxz
z
dz
y yz xz
X yx
x
yz
xy
yz dz
z
yz
yz
y
y
yx
yx
y
d
y
d
y
y
y
d
同理可以得到y、z方向的平
衡方程
y 则空间问题平衡方程如下：
zy
z
zx
Y
(
y z
z
x
x
y
2 yz
2 zx
2 xy
)
(
x y z
2
x yz
2
y zx
z
2 xy
2
yz zx
xy )
0
求解上式得三个实根σ1，σ2，σ3，这即为P点的三个
主应力。
并可得与σ1对应的l1,m1,n1的关系
1
l1 1 ( m1 )2 ( n1 )2
l1
l1
第八页，共12页。
5.4 几何方程和物理方程
oy x
第三页，共12页。
Z
其中X、Y、Z 为物体的体力分量。
5.2 一点的应力状态
N
ZN XN
YN
设斜面ACD为边界面，其 外法线n的方向为(l,m,n)，面积 为ΔS，边界外力分量为(px， py，,pz)，则三角形ABC、 ABD 、 BCD的面积分别为ΔS 在各相应方向上的投影
z
oy x
lΔS, mΔS, nΔS,
空间问题的位移分量为：u、v、w
x
u x
, y
v y
,z
w z
yz
w y
v z
, zx
u z
w x
,
xy
v x
u y
位移边界条件： us u, vs v, ws w
物理条件：
x
1 E
[
x
( y
z )]
E
E
1 2
1
y
1 E
[
y
(
x
z )]
z
1 E
[ z
( x
y )]
就得到了平面应变状
m y n zy l xy m
n z l xz m yz n
联立上式可以得到方程： 3 ( x y z ) 2
(
y
z
z x
x
y
2 yz
2 zx
2 xy
)
( x
y z
x
2 yz
2
y zx
z
2 xy
2 yz zx xy )
0
第七页，共12页。
3 ( x y z ) 2