小学奥数讲义5年级-12-位值原理-难版

同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。

也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。

例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。

这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则。

我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。

就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一，叫做“十”，10个十叫做“百”，10个百叫做“千”，等等。

写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（见下图）。

用阿拉伯数字和位值原则，可以表示出一切整数。

例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6。

根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如：
其中a 可以是1～9中的数码，但不能是0，b 和c 是0～9中的数码。

利用位值原理可以解决很多数论问题。

【例1】某三位数abc 和它的反序数cba 的差被99除，商等于______与______的差；
【解析】本题属于基础型题型。

我们不妨设a ＞b ＞c 。

典型例题
知识梳理
(abc -cba ）÷99=[(100a+10b+c)-(100c+10b+a)]÷99=(99a-99c)÷99=a-c ； 【小试牛刀】ab 与ba 的差被9除，商等于______与______的差；
【解析】(ab -ba ）÷9=[(10a+b)-(10b+a)]÷9=(9a-9b)÷9=a-b ；
【例2】(美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？ 【解析】设原来的两位数为ab ，交换后的新的两位数为ba ，根据题意，
(10)(10)9()45ab ba a b b a a b -=+--=-=，5a b -=，原两位数最大时，十位数字至多为9，即9a =，4b =，原来的两位数中最大的是94．
【小试牛刀】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数． 【解析】设原数为abcd ，则新数为dcba ，
(100010010)(100010010)999()90()dcba abcd d c b a a b c d d a c b -=+++-+++=-+-． 根据题意，有999()90()8802d a c b -+-=，111()10()97888890d a c b ⨯-+⨯-==+． 推知8d a -=，9c b -=，得到9d =，1a =，9c =，0b =，原数为1099．
【例3】(第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？ 【解析】设这六个不同的三位数为,,,,,abc acb bac bca cab cba ， 因为10010abc a b c =++，10010acb a c b =++，……，它们的和是：222()1554a b c ⨯++=，所以15542227a b c ++=÷=，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而7(12)4-+=，所以最大的数最大为4；又12367++=<，所以最大的数大于3，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2．
【小试牛刀】(迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数．
【解析】设三个数字分别为a 、b 、c ，那么6个不同的三位数的和为：
2()1002()102()222()abc acb bac bca cab cba a b c a b c a b c a b c +++++=++⨯+++⨯+++=⨯++ 所以288622213a b c ++=÷=，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13193--=，所以所有这样的6个三位数中最小的三位数为139．
【例4】用1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？
【解析】卡片“9”倒过来看是“6”。

作为卡片“9”，由第3题的结果可知，1，9，7可组
成的六个不同的三位数之和是（1＋9＋7）×222；同理，作为卡片“6”，1，6，7可组成的六个数之和是（1＋6＋7）×222。

这12个数的平均值是：［（1＋9＋7）＋（1＋6＋7）］×222÷12＝573.5。

【例5】从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。

若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？
【解析】设这三个数字分别为a、b、c。

由于每个数字都分别有两次作百位、十位、个位，所以六个不同的三位数之和为222×（a＋b＋c）＝3330，推知a＋b＋c＝15。

所以，当a、b、c取1、5、9时，它们组成的三位数最小为159，最大为951。

【小试牛刀】a，b，c分别是09中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？
【解析】由a，b，c组成的六个数的和是222()
⨯++．因为223422210
a b c
>⨯，所以
++>．
10
a b c
若11
++=≠，不合题意．
⨯-=，但2081011
a b c
++=，则所求数为222112234208
若12
a b c
⨯-=，但430712
++=≠，不合题意．++=，则所求数为222122234430
若13
⨯-=，65213
++=，符合题意．++=，则所求数为222132234652
a b c
若14
++=≠，不合题意．
⨯-=，但8741914
a b c
++=，则所求数为222142234874
若15
a b c
≥⨯-=，但所求数为三位数，不合题意．++≥，则所求数2221522341096
所以，只有13
++=时符合题意，所求的三位数为652．
a b c
【例6】在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。

求出所有这样的三位数。

【解析】因为原两位数与得到的三位数之和是原两位数的10倍，所以原两位数的个位数只能是0或5。

如果个位数是0，那么无论插入什么数，得到的三位数至少是原两位数的10倍，所以个位数是5。

设原两位数是ab，则b=5，变成的三位数为ab5，由题意有100a＋10b ＋5＝（10a＋5）×9，化简得a＋b＝4。

变成的三位数只能是405，315，225，135。

【例7】一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数。

又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。

【解析】设第一个2位数为10a+b；第二个为10b+a ；第三个为100a+b ；由题意：(100a+b)-（10b+a）=( 10b+a)-（10a+b) ；化简可以推得b=6a，0≤a,b≤9，得a=1，b=6；即每小时走61-16=45 ；（601-106)÷45=11；再行11小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。

【例8】a ，b ，c 分别是0～9中不同的数码，用a ，b ，c 共可组成六个三位数字，如果其中五个数字之和是2234，那么另一个数字是几？
【解析】设原三位数为x ，根据题意有：（6000+x ）+（10x+6）=9999，解得x=363。

【例9】 已知1370,abcd abc ab a abcd +++=求.
【解析】原式：1111a ＋111b ＋11c ＋d ＝1370，所以a ＝1， 则111b ＋11c ＋d ＝1370－1111＝259，推知b ＝2；进而推知c ＝3，d=4所以abcd =1234。

【小试牛刀】(2008年清华附中考题)已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，则所有这样的四位数之和为多少． 【解析】设这样的四位数为abcd ，则2008abcd a b c d ++++=，即
10011011122008a b c d +++=，则1a =或2．
⑴若2a =，则1011126b c d ++=，得0b c ==，3d =，2003abcd =；
⑵若1a =，则1011121007b c d ++=，由于11211929117c d +≤⨯+⨯=，所以
1011007117890b ≥-=，所以8b >，故b 为9，112100790998c d +=-=，则c 为偶数，且11982980c ≥-⨯=，故7c >，由c 为偶数知8c =，5d =，1985abcd =；
所以，这样的四位数有2003和1985两个，其和为：200319853988+=．
【例10】有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数．将这两个三位数和一个四位数相加等于3600．求原来的两位数． 【解析】设原来的两位数是ab ，则得到的两个三位数分别为3ab 和3ab ，四位数为33ab ，由题知33333600ab ab ab ++=，即1033003003103600ab ab ab ⨯+++++⨯=，
21294ab ⨯=，故14ab =．
【小试牛刀】如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加1111A ，这里A 表示一个看不清的数码，求这个数和A 。

【解析】设这个数为x ，则10x+5-x=1111A ，化简得9x=1106A ，等号右边是9的倍数，试验可得A=1，x=1234。

【例11】a b ab bbb,a b.⨯⨯=⨯已知求
【解析】a ×b ×（10a ＋b ）＝111b ，a ×（10a ＋b ）＝111＝3×37。

由上式知a ＝3，b ＝7，a ×b ＝21。

1.ab 与ba 的和被11除，商等于______与______的和。

课后作业
【解析】(ab +ba ）÷11=[(10a+b)+(10b+a)]÷11=(11a+11b)÷11=a+b 。

2.如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”。

例如，99就是一个巧数，因为9×9＋(9＋9)＝99。

可以证明，所有的巧数都是两位数。

请你写出所有的巧数。

【解析】设这个巧数为ab ，则有ab+a+b=10a+b ，a(b+1)=10a ，所以b+1=10，b=9。

满足条件的巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99。

3.将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数．现有一个四位数码互不相同，且没有0的四位数M ，它比新数中最大的小3834，比新数中最小的大4338．求这个四位数．
【解析】设组成这个四位数的四个数码为a ，b ，c ，d (91a b c d ≥>>>≥)， 则有383443388172abcd dcba -=+=，
可得999()90()81727992180a d b c -+⨯-==+，
则8a d -=，2b c -=，9a =，1d =，194338M cb =+，且M 的四位数字分别为1、c 、b 、9，由于8917+=的个位数字为7，所以b ，c 中有一个为7，但2b c -=，所以c 不能为7，故7b =，5c =，157943385917M =+=．
4.某八位数形如2abcdefg ，它与3的乘积形如4abcdefg ，则七位数abcdefg 应是多少？ 【解析】设abcdefg x =，则72210abcdefg x =⨯+，4104abcdefg x =+，根据题意，有()7210
3104x x ⨯+⨯=+，得77610459999996x =⨯-=，所以8571428x =．
5.证明：当a>c 时，必是9的倍数。

6.有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666。

求原来的两位数。

【解析】由位值原则知道，把数码1加在一个两位数前面，等于加了100；把数码1加在一个两位数后面，等于这个两位数乘以10后再加1。

设这个两位数为x。

由题意得到
（10x+1）-（100+x）=666，
10x+1-100-x=666，10x-x=666-1+100，
9x=765，x=85
原来的两位数是85。

7.a，b，c是1～9中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是（a+b+c）的多少倍？
【解析】用a，b，c组成的六个不同数字是
这六个数的和等于将六个数的百位、十位、个位分别相加，得到
所以，六个数的和是（a+b+c）的222倍。

8.用2，8，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？【解析】由例3知，可以组成的六个三位数之和是（2+8+7）×222，
所以平均值是（2+8+7）×222÷6=629。

9.一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大6，求这个两位数。

【解析】设这个两位数是ab,
（a+b）×5-（10a+b）=6，
5a+5b-10a-b=6，
4b-5a=6。

当b=4，a=2或b=9，a=6时，4b-5a=6成立，所以这个两位数是24或69。

10.将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。

【解析】设原来的三位数的三个数字分别是a，b，c。

若
由上式知，所求三位数是99的倍数，可能值为198，297，396，495，594，693，792，891。

经验证，只有495符合题意，即原来的三位数是495。