2019-2020学年河南省南阳市数学高二第二学期期末调研试题含解析

2019-2020学年河南省南阳市数学高二第二学期期末调研试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是( )
A ．①②③
B ．②③①
C ．②①③
D ．①③②
2．设1311
ln
,log 22
a b ==，则 （ ） A ．0a b ab +<<
B ．0ab a b <+<
C ．0a b ab +<<
D ．0ab a b <<+
3．分配4名工人去3个不同的居民家里检查管道，要求4名工人都分配出去，并且每名工人只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（ ） A ．3
4A 种
B ．31
34A A 种
C ．23
43C A 种
D ．113
433C C A 种
4．2019年5月31日晚，大连市某重点高中举行一年一度的毕业季灯光表演.学生会共安排6名高一学生到学校会议室遮挡4个窗户，要求两端两个窗户各安排1名学生，中间两个窗户各安排两名学生，不同的安排方案共有（ ） A ．720
B ．360
C ．270
D ．180
5．设,,(0,)a b c ∈+∞则111
,,a b c b c a
+++（ ） A ．都大于2
B ．至少有一个大于2
C ．至少有一个不小于2
D ．至少有一个不大于2
6．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且满足()()0f x xf x '+>（()f x '是()f x 的导函数），则不等式()()
()2
111x f x f x --<+的解集为（ ）
A ．(),2-∞
B ．()1,+∞
C ．()1,2-
D ．()1,2
7．对于函数(),y f x x R =∈,“()y f x =的图象关于轴对称”是“
=()f x 是奇函数”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
8．在某次体检中，学号为i （1,2,3,4i =）的四位同学的体重()f i 是集合{45,48,52,57,60}kg kg kg kg kg 中的元素，并满足(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤，则这四位同学的体重所有可能的情况有（ ）
A ．55种
B ．60种
C ．65种
D ．70种
9．已知命题p 是命题“若ac bc >，则a b >”的否命题；命题q ：若复数22(1)(2)x x x i -++-是实数，则实数1x =，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∨
B ．()p q ⌝∧
C ．()p q ∧⌝
D ．()()p q ⌝∧⌝
10．复数z=i·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
11．已知12F F 为椭圆M:22x m +22y =1和双曲线N:2
2x
n
-2y =1的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且
112PF F F ⊥，那么椭圆M 和双曲线N 的离心率之积为（ ）
A ．2
B ．1
C ．
2
2
D ．
12
12．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x '=-的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f
B ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f
C ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -
D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．在圆中：半径为r 的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为22r .类比到球中：半径为R 的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为__________．
14．用1、2、3、4、5、6六个数字组成的没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是____________。

15．已知随机变量X 的分布列为P(X=i)=
i
2a
(i =1,2,3),则P(X=2)=_____. 16．关于x 的方程()2
10x px p R -+=∈的两个根12,x x ，若121x x -=，则实数p =__________． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．如图，在Rt ABC ∆中，4AB BC ==，点E 在线段AB 上.过点E 作//EF BC 交AC 于点F ，将AEF ∆沿EF 折起到PEF ∆的位置（点A 与P 重合）
，使得60PEB ∠=o .
（Ⅰ）求证：EF PB ⊥.
（Ⅱ）试问：当点E 在线段AB 上移动时，二面角P FC B --的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由.
18．如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中, 1. 1.2,4,AC BC AC BC AA ⊥=== M 为侧面
11AA CC 的对角线的交点, D E 、分别为棱,AB BC 的中点.
(1)求证:平面MDE //平面11A BC ； (2)求二面角C ME D --的余弦值.
19．（6分）已知椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的左右焦点为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，且b c =.
（1）求直线AB 的方向方量；
（2）若Q 是椭圆上的任意一点，求12FQF ∠的最大值；
（3）过1F 作AB 的平行线交椭圆于C 、D 两点，若||3CD =，求椭圆的方程.
20．（6分）为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：cm ），经统计其增长长度均在区间[19,31]内，将其按[19,21)，[21,23)，[23,25)，
[25,27)，[27,29)，[29,31]分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为27cm及以上的产品为优质产品．
（1）求图中a的值；
（2）已知这120件产品来自于A，B两个试验区，部分数据如下列联表：
将联表补充完整，并判断是否有99.99%的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系，并说明理由；下面的临界值表仅供参考：
（参考公式：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++）
（3）以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数X的分布列和数学期望E(X)．
21．（6分）环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数PM2.5浓度，制定了空气质量标准：
空气污染
指数
(0，50] (50，100] (100，150] (150，200] (200，300] (300，＋∞)
空气质量
等级
优良轻度污染中度污染重度污染严重污染
某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考察了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行(尾号是字母的，前13个视为单号，后13个视为双号).王先生有一辆车，若11月份被限行的概率为0.05.
(1)求频率分布直方图中m的值；
(2)若按分层抽样的方法，从空气质量等级为良与中度污染的天气中抽取6天，再从这6天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量是中度污染的概率；
(3)该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的11月份共60天的空气质量进行统计，其结果如下表：
空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染
天数11 27 11 7 3 1
根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写2×2列联表，并回答是否有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.
空气质量优、良空气质量污染总计
限行前
限行后
总计
参考数据：
()
2
P K k
≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参考公式：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++.
22．（8分）某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）①根据图中数据，求出月销售额在[14,16)小组内的频率.
②根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使70%的推销员完成任务？并说明理由.
（2）该公司决定从月销售额为[22,24]和[24,26]的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自同一个小组的概率.
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】
分别分析三个图中的点的分布情况，即可得出图()1是正相关关系，图()2不相关的，图()3是负相关关系． 【详解】
对于()1，图中的点成带状分布，且从左到右上升，是正相关关系①； 对于()2，图中的点没有明显的带状分布，是不相关的③；
对于()3，图中的点成带状分布，且从左到右是下降的，是负相关关系②． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了利散点图判断相关性问题，是基础题． 2．B 【解析】
分析：先分析出ab<0,a+b<0，再利用作差法比较ab a b +和的大小关系得解.
详解：由题得1ln
2a =＜ln1=0,13
1
log 2b =>13log 10=. 所以ab<0. 13
11ln 211ln 3
ln
log ln 2ln 2(1)ln 2022ln 3ln 3ln 3a b -+=+=-+=-=⋅<. 所以1133
1111ln 2ln 2
()ln
log ln log ln 2ln 22222ln 3ln 3ab a b ab a b -+=--=⋅--=-⋅+- 3
ln
ln 21ln 3ln 212ln 2(1)ln 2ln 20
ln 3ln 3ln 3ln 3
e ---+-=⋅=⋅<，所以ab a b <+. 故答案为B.
点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较和对数函数的性质，考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.(2)解答本题的关键是对数的运算. 3．C 【解析】 【分析】
根据题意，分析可得，必有2名水暖工去同一居民家检查；分两步进行，①先从4名水暖工中抽取2人，②再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，由分步计数原理，计算可得答案. 【详解】
解：根据题意，分配4名水暖工去3个不同的居民家里，要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查；
则必有2名水暖工去同一居民家检查，
即要先从4名水暖工中抽取2人，有24C 种方法，
再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，有3
3A 种情况， 由分步计数原理，可得共2
3
43C A 种不同分配方案， 故选：C. 【点睛】
本题考查排列、组合的综合应用，注意一般顺序是先分组（组合），再排列，属于中档题. 4．D 【解析】 【分析】
由题意分两步进行，第一步为在6名学生中任选2名安排在两端两个窗户，可得方案数量，第二步为将剩余的6名学生平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个窗户，两者方案数相乘可得答案.
【详解】
解：根据题意，分两步进行：
① 在6名学生中任选2名安排在两端两个窗户，有2
630A =中情况；
② 将剩余的6名学生平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个窗户，有222
4222
2
6C C A A =种情况， 则一共有306180⨯=种不同的安排方案， 故选：D. 【点睛】
本题主要考查排列、组合及简单的计数问题，相对不难，注意运算准确. 5．C 【解析】 【分析】
由基本不等式a b +≥a ，b 都是正数可解得． 【详解】
由题a ，b ，c 都是正数，根据基本不等式可得111
2226a b c b c a
+++++≥++=， 若1a b +
，1b c +，1
c a +都小于2，则与不等式矛盾，因此，至少有一个不小于2； 当1a b +，1b c +，1
c a
+都等于2时，选项A ，B 错误，都等于3时，选项D 错误．选C.
【点睛】
本题考查了基本不等式，此类题干中有多个互为倒数的项，一般都可以先用不等式求式子范围，再根据题目要求解题． 6．D 【解析】 【分析】
构造函数()()g x xf x =，利用导数分析函数()y g x =在()0,∞+上的单调性，在不等式
()()()2111x f x f x --<+两边同时乘以1x +化为()()()()221111x f x x f x --<++，即
()()211g x g x -<+，然后利用函数()y g x =在()0,∞+上的单调性进行求解即可.
【详解】
构造函数()()g x xf x =，其中0x >，则()()()0g x f x xf x ''=+>， 所以，函数()y g x =在定义域()0,∞+上为增函数，
在不等式()()
()2
111x f x f x --<+两边同时乘以1x +得()()
()()2
2
1111x f x x f x --<++，即
()()211g x g x -<+，
所以22
111010x x x x ⎧-<+⎪->⎨⎪+>⎩
，解得12x <<，
因此，不等式()()
()2
111x f x f x --<+的解集为()1,2，故选：D.
【点睛】
本题考查利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下： （1）根据导数不等式的结构构造新函数()y g x =；
（2）利用导数分析函数()y g x =的单调性，必要时分析该函数的奇偶性； （3）将不等式变形为()()12g x g x <，利用函数()y g x =的单调性与奇偶性求解. 7．B 【解析】 【分析】 【详解】
由奇函数，偶函数的定义,容易得选项B 正确. 8．D 【解析】 【分析】
根据(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中等号所取个数分类讨论，利用组合知识求出即可. 【详解】
解：当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中全部取等号时，情况有1
55C =种；
当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中有两个取等号，一个不取等号时，情况有21
5330C C =种；
当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中有一个取等号，两个不取等号时，情况有31
5330C C =种；
当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中都不取等号时，情况有4
55C =种；
共560+60+5=70+种. 故选：D . 【点睛】
本题考查分类讨论研究组合问题，关键是要找准分类标准，是中档题. 9．D 【解析】
分析：先判断命题p ，q 的真假，再判断选项的真假. 详解：由题得命题p:若a>b,则ac bc >，是假命题.
因为(
)(
)
2
2
12x x x i -++-是实数，所以2
20,2 1.x x x x +-=∴=-=或
所以命题q 是假命题，
故()()p q ⌝∧⌝是真命题.故答案为 D.
点睛：（1）本题主要考查四个命题和复数的基本概念，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复合命题的真假判断口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真. 10．B 【解析】
2(1)1z i i i i i =+=+=-+，故对应的点在第二象限.
11．B 【解析】 【分析】
根据题意得到21||||,||||PF m n PF m n =+=-，根据勾股定理得到2
||mn c =，计算得到答案.
【详解】
12F F 为椭圆M:22x m +22y =1和双曲线N:2
2x n
-2y =1的公共焦点 故21212||,2||PF PF m PF PF n +=-=，故21||||,||||PF m n PF m n =+=-
112PF F F ⊥，故()2
22||||(||||)4m n m n c +=-+即2||mn c =
2
121||||||
c c c e e m n mn =⋅==
故选：B 【点睛】
本题考查了椭圆和双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力. 12．D 【解析】 【分析】 【详解】
()()2,10,10x x x f x --'->则()0f x '>函数()f x 增； ()()21,10,10x x x f x -<--<'则()0f x '<函数()f x 减；
()()12,10,10x x x f x <<--'则()0f x '<函数()f x 减；
()()2,10,10x x x f x >-<-<'则()0f x '>函数()f x 增；选D.
【考点定位】
判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
133
R 【解析】
时，类比球中内接长方体中，以正方体
R
详解：圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，当边长2
2
2
a a (2)r +=时，解得a =
时，
类比球中内接长方体中，以正方体的体积最大，当棱长2
2
2
2
a a a (2)R ++=, 解得a
R =
时，正方体
3
R 点睛：类比推理，理会题意抓住题目内在结构相似的推导过程，不要仅模仿形式上的推导过程。

14．40 【解析】 【分析】
将问题分成三步解决，首先将3,5排列，再将4,6插空排列，再根据已排好的位置将1,2整体插空放入，利用分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】
第一步：将3,5进行排列，共有2
2
2A =种排法 第二步：将4,6插空排列，共有2
224A =种排法
第三步：将1,2整体插空放入，共有1
55C =种排法
根据分步乘法计数原理可得共有：24540⨯⨯=种排法 本题正确结果：40 【点睛】
本题考查分步乘法计数原理的应用，关键是能够根据题意将问题拆分成几个步骤来进行处理，要注意不重不漏.
15．
13
【解析】
分析：根据所给的随机变量的分布列，写出各个变量对应的概率，根据分布列中各个概率之和是1，把所有的概率表示出来相加等于1，得到关于a 的方程，解方程求得a 的值，最后求出P （X=2）． 详解：∵P （X=i ）=
i
2a
(i =1,2,3)， 1231222a a a ∴++= 612a
∴= ∴a=3， ∴P （X=2）=
2163
=. 故答案选：C ．
点睛：（1）本题主要考查分布列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 分布列的两个性质： ①P i ≥0，i ＝1，2，...；②P 1+P 2+ (1)
16．【解析】
分析：根据所给的方程，当判别式不小于0时和小于0时，用求根公式表示出两个根的差，根据差的绝对值的值做出字母p 的值．
详解：当2
40p =-≥V ，即2p ≥或2p ≤- ，由求根公式得121x x -=
= ，得p =
当2
40p =-V ＜ ，即22p ＜＜- ，由求根公式得|12|1x x -==，
得p =
综上所述，p =或p =．
故答案为
点睛：本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题解题的关键是对于判别式与0的关系的讨论，方程有实根和没有实根时，两个根的表示形式不同，本题是一个易错题． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17． (Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)答案见解析. 【解析】
分析：（1）由已知条件，结合线面垂直的判定定理和性质定理，即可得到EF PB ⊥.
（2）过点P 作PD BE ⊥，则EF ，BE ，PD 两两垂直，以B 为坐标原点，以EF u u u r ，BE u u u r DP u u u r
的方向分
别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.设(04)PE x x =<<，应用空间向量，分别求得两
平面的法向量12,n n u r u u r
，计算两平面法向量夹角，证明点E 在线段AB 上移动时，二面角P FC B --的平面
角的余弦值为定值，且定值为
5
. 详解：证明：（Ⅰ）在Rt ABC ∆中，
因为//EF BC ，所以EF AB ⊥，所以EF EB ⊥，EF EP ⊥， 又因为EB EP E ⋂=，,EB EP ⊂平面PEB ，所以EF ⊥平面PEB . 又因为PB ⊂平面PEB ，所以EF PB ⊥.
（Ⅱ）在平面PEB 内，过点P 作PD BE ⊥于点D ， 由（Ⅰ）知EF ⊥平面PEB ，所以EF PD ⊥，
又因为BE EF E ⋂=，,BE EF ⊂平面BCFE ，所以PD ⊥平面BCFE . 在平面PEB 内过点B 作直线//BH PD ，则BH ⊥平面BCFE .
如图所示，以B 为坐标原点，BC uuu v ，BE u u u v ，BH u u u v
的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.
设(04)PE x x =<<， 又因为4AB BC ==， 所以4BE x =-，EF x =. 在Rt PED ∆中，60PED ∠=o ，
所以2
PD x =
，12DE x =，所以134422BD x x x =--=-，
所以()4,0,0C ，(),4,0F x x -
，30,42P x x ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭. 从而()4,4,0CF x x =--u u u v
，34,42CP x x ⎛⎫
=-- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u v .
设()1000,,n x y z =u v
是平面PCF 的一个法向量，
所以1100n CF n CP ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ，即()(
)00000440
34402x x y x x x y ⎧-+-=⎪⎨⎛
⎫-+-+
=⎪ ⎪⎝⎭⎩
，
所以00000
0x y z -=⎧⎪-=，
取01y =
，得(1n =u v
是平面PFC 的一个法向量.
又平面BFC 的一个法向量为()20,0,1n =u u v
，
设二面角P FC B --的平面角为α，
则12cos cos ,n
n α=u v u u v 1212
15
n n n n ⋅==u v u u v
u
v u u v . 因此当点E 在线段AB 上移动时，二面角P FC B --的平面角的余弦值为定值，且定值为
15
.
点睛：点睛：用空间向量求二面角问题的解题步骤：
右手定则建立空间直角坐标系，写出关键点坐标
设两平面的法向量12,n n u r u u r
， 两法向量夹角为12,n n u r u u r ，求法向量及两向量夹角的余弦
121212
cos ,n n n n n n ⋅=⋅u r u u r
u r u u r u r u u r ；
当两法向量的方向都向里或向外时，则二面角12,n n π-u r u u r
；当两法向量的方向一个向里一个向外时，二面角为12,n n u r u u r
.
18． (1)证明见解析；(2)8585
. 【解析】 【分析】
（1）利用线线平行证明平面MDE //平面1A BC ， （2）以C 为坐标原点建系求解即可． 【详解】
（1）证明D E 、分别为边,AB BC 的中点，可得DE/ / AC ,
又由直三棱柱可知侧面11A A C C 为矩形，可得11A /?
/?A?C C 故有11A /?/C DE ， 由直三棱柱可知侧面11A A C C 为矩形，可得M 为1A C 的中点，又由E 为BC 的中点，可得1A //B ME . 由DE ，ME ⊂平面MDE ，11A C ，1A B
⊂平面MDE ，得11A C / /平面MDE ，1A B / /平面MDE ，
11A C I 1A B 1=A ，可得平面MDE / /平面11A BC .
（2）1CA CB,?
CC 、为x, y, z 轴建立空间直角坐标系，如图，
则()()()()1110,0,01,0,0,0,2,0,0,0,4,,0,2,,1,00,1,022C A B C M D E ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，（）， 111,1,2,,0,2,,0,0222ME CM ED ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=--== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
u u u v u u u u v u u u v ，
设平面CME 的一个法向量为()11
,,,22022
m x y z x y z x z =-
+-=+=v
则，取=-1z ，有4,0,(4,0,1)x y m ===-r
同样可求出平面DME 的一个法向量(0,2,1)m =r
，
·85cos ,175
m n m n m n 〈〉===u u u v v v
v v
结合图形二面角C ME D --85
. 【点睛】
本题属于基础题，线线平行的性质定理和线面平行的性质定理要熟练掌握，利用空间向量的夹角公式
·cos ,m n m n m n
〈〉=u u u v v v
v v 求解二面角．
19．（1）(2,1)-或(2,1)-；（2）2π；（3）22
142
x y +=.
【解析】 【分析】
（1）根据题意可得222a c b b =+=，2
2
02AB k b
==-
-，即直线AB 的方向方量可以为(2,1)-或(2,1)-．
（2）在12F QF ∆中，设12,PF m PF n ==,
222222
12(2)()42
4cos 10222m n c m n c mn b FQF mn mn mn
+-+--∠=
==-≥，即可求解． （3）设椭圆方程为22
2212x y b b
+=，直线CD 的方程为2x y b =--，利用韦达定理、弦长公式计算．
【详解】
（1）Q b c =，222a c b b ∴=+=，
∴右顶点(2,0)A b ，上顶点(0,)B b ，则2
2
02AB k b
=
=-
- ∴ 直线AB 的方向方量为(2,1)或2,1)-．
（2）在12F QF ∆中，设12,PF m PF n ==，
则2
2
2
2
2
2
12
(2)()424cos 1222m n c m n c mn b FQF mn mn mn
+-+--∠===- 22
2242110
2()2
b b m n a ≥-=-=+⋅ 当且仅当m n =时，即Q 为上（或下）顶点时，12FQF ∠的最大值，最大值为
2
π
. （3）设椭圆方程为22
2212x y b b
+=，
C AB
D Q P ，∴直线CD 的方程为2x b =-， 由22
221
22x y b b x b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
可得224220y by b +-=
122
2
y y ⇒+=-，2124b y y =-，
2
2122111232
b CD y b k ∴=+-=++=，解得
22b =，24a =，
∴椭圆方程为
22
1 42
x y
+=
【点睛】
本题考查的知识点比较多，椭圆方程、方向向量、余弦定理、基本不等式、弦长公式等，综合性比较强，需熟记公式；同时本题也需有一定的计算能力.
20．（1）0.025；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据面积之和为1，列出关系式，解出a的值. （2）首先根据频率分布直方图中的数据计算A,B这两个试验区优质产品、非优质产品的总和，然后根据表格填入数据，再根据公式计算即可.（3）以样本频率代表概率，则属于二项分布，利用二项分布的概率公式计算分布列和数学期望即可.
【详解】
（1）根据频率分布直方图数据，得：
2(20.20.2)1
a a a
++++=，
解得0.025
a=．
（2）根据频率分布直方图得：
样本中优质产品有120(0.10020.0252)30
⨯+⨯=，
列联表如下表所示：
∴
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
2
120(10302060)
10.28610.828
70503090
⨯-⨯
=≈<
⨯⨯⨯
，
∴没有99.9%的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系．
（3）由已知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是1
4
，
随机抽取4件中含有优质产品的件数X的可能取值为0，1，2，3，4，且
1
~4,
4
X B
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
∴
4
4
381 (0)
4256
P X C⎛⎫
===
⎪
⎝⎭
，
3
1413108(1)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭， 2
2
24
1354(2)44256
P X C ⎛⎫⎛⎫===
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3
341312(3)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭， 4
44
11(4)4256
P X C -⎛⎫===
⎪⎝⎭， ∴X 的分布列为：
E(X) 414
=⨯= 【点睛】
本题考查频率分布直方图，独立性检验以及二项分布的分布列和期望值的计算，同时考查了学生分析问题的能力和计算能力，属于中档题. 21． (1) 0.003；(2)3
5
；(3) 有. 【解析】 【分析】
(1) 因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为0.05，再利用概率和为1解得答案.
(2)利用分层抽样得到空气质量良的天气被抽取的有4天，空气中度污染的天气被抽取的有2天，利用排列组合公式的到没有中度污染的概率，用1减得到答案. (3)补全列联表，计算2K ，跟临界值表作比较得到答案. 【详解】
(1)因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为0.05， 所以空气重度污染和严重污染的概率应为0.05×2＝0.1，
由频率分布直方图可知(0.004＋0.006＋0.005＋m)×50＋0.1＝1，解得m ＝0.003. (2)因为空气质量良好与中度污染的天气的概率之比为0.3∶0.15＝2∶1，
按分层抽样的方法从中抽取6天，则空气质量良的天气被抽取的有4天，空气中度污染的天气被抽取的有2天.
记事件A 为“至少有一天空气质量是中度污染”.则
24263
()1.5
C P A C =-=
(3)2×2列联表如下：
由表中数据可得，2
2
240(90229038) 3.214 2.70618060128112
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
所以有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关. 【点睛】
本题考查了概率的计算，分层抽样，列联表，意在考查学生的综合应用能力和计算能力. 22．（1）①0.12；②17，理由见解析；（2）1
3
. 【解析】 【分析】
（1）①利用频率分布直方图能求出月销售额在[14，16)内的频率．
②若70%的推销员能完成月销售额目标，则意味着30%的推销员不能完成该目标．根据频率分布直方图知，[12，14)和[14，16)两组频率之和为0.18，由此能求出月销售额目标应确定的标准．
（2）根据直方图可知，销售额为[22，24)和[24，26]的频率之和为0.08，由500.084⨯=可知待选的推销员一共有4人，设这4人分别为1A ，2A ，1B ，2B ，利用列举法能求出选定的推销员来自同一个小组的概率． 【详解】
解：（1）①月销售额在[14,16)小组内的频率为
12(0.030.120.180.070.020.02)0.12-⨯+++++=.
②若要使70%的推销员能完成月销售额目标，则意味着30%的推销员不能完成该目标.根据题图所示的频率分布直方图知，[12,14)和[14,16)两组的频率之和为0.18，故估计月销售额目标应定2为
0.12
162170.24
+
⨯=（万元）. （2）根据直方图可知，月销售额为[22,24)和[24,26]的频率之和为0.08，由500.084⨯=可知待选的推销员一共有4人.
设这4人分别为1212,,,A A B B ，则不同的选择为121112212212,,,,,A A A B A B A B A B B B ，一共有6种情况，每一种情况都是等可能的，而2人来自同一组的情况有2种，所以选出的推销员来自同一个小组的概率
2163
P =
=. 【点睛】
本题考查频率、月销售额目标、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．。