平行四边形的判定知识点小结

平行四边形的判定知识点小结
一、平行四边形的判定方法。

1. 定义判定。

- 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

- 用符号语言表示：如果AB∥CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形。

这是平行四边形最基本的判定方法，它是从平行四边形的定义直接得出的。

2. 边的判定。

- 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

- 符号语言：若AB = CD，AD = BC，则四边形ABCD是平行四边形。

- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

- 符号语言：若AB∥CD且AB = CD（或者AD∥BC且AD = BC），则四边形ABCD 是平行四边形。

3. 角的判定。

- 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

- 符号语言：若∠A = ∠C，∠B = ∠D，则四边形ABCD是平行四边形。

4. 对角线的判定。

- 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

- 符号语言：若OA = OC，OB = OD（其中O为对角线AC、BD的交点），则四边形ABCD是平行四边形。

二、平行四边形判定方法的证明思路。

1. 定义法证明。

- 一般通过已知条件中的平行关系，如角相等推出直线平行（同位角、内错角相等，两直线平行）等方法来证明两组对边分别平行。

- 例如：已知∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，可推出AD∥BC，AB∥CD，从而证明四边形ABCD是平行四边形。

2. 边的判定证明。

- 对于两组对边分别相等的判定方法，通常利用三角形全等的知识来证明。

- 例如：连接AC，在△ABC和△CDA中，已知AB = CD，BC = DA，AC = CA（公共边），通过SSS（边 - 边 - 边）全等判定定理证明△ABC≌△CDA，进而得出∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，所以AD∥BC，AB∥CD，四边形ABCD是平行四边形。

- 对于一组对边平行且相等的判定方法，可通过平移线段构造平行四边形或者利用三角形全等和平行线的判定来证明。

- 例如：已知AB∥CD且AB = CD，延长AB到E，使BE = CD，连接CE，可证明四边形BECD是平行四边形，从而得出BD∥CE，再结合已知条件证明四边形ABCD是平行四边形。

3. 角的判定证明。

- 利用四边形内角和为360°以及已知的角的关系，通过等量代换等方法来证明两组对角分别相等。

- 例如：已知四边形ABCD中，∠A+∠B = 180°，∠C + ∠D=180°，∠A+∠D = 180°，∠B+∠C = 180°，可得出∠A = ∠C，∠B = ∠D，从而证明四边形ABCD是平行四边形。

4. 对角线的判定证明。

- 主要是通过证明三角形全等得出线段相等关系，从而得到对角线互相平分。

- 例如：在四边形ABCD中，设AC、BD相交于点O，已知∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，AD = BC，可证明△AOD≌△BOC（AAS，角角边），得出OA = OC，OB = OD，所以四边形ABCD是平行四边形。

三、平行四边形判定方法的应用。

1. 在几何证明中的应用。

- 在证明一个四边形是平行四边形时，首先要分析已知条件，确定使用哪种判定方法。

- 例如：已知四边形ABCD中，AB = CD，AD = BC，直接使用两组对边分别相等的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形。

- 如果已知条件中有平行关系和线段相等关系，要灵活选择判定方法。

- 例如：已知AB∥CD且AB = CD，就使用一组对边平行且相等的判定方法。

2. 在计算中的应用。

- 当已知一个平行四边形时，利用平行四边形的判定方法的逆用，可以求出一些线段的长度或角的大小。

- 例如：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知OA = 3，OB = 4，若四边形EFGH的对角线EG、FH也相交于点O，且OE = OA，OF = OB，可先判定四边形EFGH是平行四边形，然后利用平行四边形的性质计算其周长或面积等相关量。