人教课标版 初中数学九年级上册第二十二章 23折叠型问题的探究(共22张PPT)
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(3)在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会 是一个以折痕为底边的等腰三角形
（4）在折叠问题中，若直接解决较困难时， 可将图形还原，可让问题变得简单明了。有时 还可采用动手操作，通过折叠观察得出问题的 答案。
全等性
轴对称
对称性（折痕）
实 质 折 重过程 折叠问题 重结果 叠
精 髓
利用Rt△
方程思想
【二】利用勾股定理解决问题
如图，沿AE折叠长方形，使D点落在BC边上的F处，已知
AB=8,BC=10.求CE的长.
10
A
D
解∴AA总1：FB、结根==标A8：据D已c折=m知1叠，0c可EmF知，＋，EEF△C==AEDDFCE，=≌8△cmAD，E，
8
10
B 6
8-x
E 8-x x F4C
∴2在、R找t△相A等BF中
练习
1.如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，
在BC上找一点F，沿DF折叠矩形ABCD，使C点落在对角 线BD上的点E处，此时折痕DF的长是多少？
A
8
D
6
4x
6
B 8-x
xC
心得：先标等量，把条件集中到一Rt△中， 利用勾股定理得方程。
练习
2.如图，将一长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在
• 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
练习
1.已知，如图,Rt△ABC中,∠C=90º,沿过点B的
一条直线BE折叠△ABC,使C恰好落在AB边的中
点D处，则∠A=___3_0__°__.
A
C E
B D
2．把矩形纸片ABCD沿BE折叠，使得BA边与BC重合，然后 再沿着BF折叠，使得折痕BE也与BC边重合，展开后如图所
示，则∠DFB等于=__1_1__2_._5_°_。
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/8/112021/8/11Wednesday, August 11, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/8/112021/8/112021/8/118/11/2021 12:49:49 PM
E的位置上，AE交DC于点F,已知AB=8cm,BC=4cm,求线段
CF的长.
8-x 4
解：根据折叠可知，△ABC≌△AEC，
∴∠又AE∵AE∠C=DA=C∠BAB=能=8A角c∠C得mB平，，到A∠分CEE等，C线==腰∠B与B三C=平=9角40行，°形线， 组合时,
x x
4
∴ ∠EAC=∠DCA，
2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.
一、求角度
将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC， BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，
∠CBD= 90 度．
Hale Waihona Puke 解析：BC、BD是折痕， 所以有∠1 = ∠2， ∠3= ∠4 则∠CBD = 90°
2 1
34
总结：折叠图形的翻折部分在折叠前后的形状 和大小不变，是全等图形，利用性质，对应角相 等求解。
•
11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。2021/8/112021/8/112021/8/11Aug-2111- Aug-21
•
12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。2021/8/112021/8/112021/8/11Wednesday, August 11, 2021
•
15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021年8月2021/8/112021/8/112021/8/118/11/2021
•
16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021/8/112021/8/11August 11, 2021
中考专题复习
折叠型问题的探究
命题方向
折叠问题（对称问题）是近几年来中考出 现频率较高的一类题型，学生往往由于对折 叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问 题失分严重。本节课通过对在初中数学中经 常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从 中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这 类问题的常规方法。
本节课的学习目标：
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成 。2021/8/112021/8/112021/8/112021/8/118/11/2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。2021年8月 11日星 期三2021/8/112021/8/112021/8/11
练习
1.如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图
中①②③④四个三角形的周长之和为___3_2___.
2.如图，点O是矩形ABCD的中心,E是AB上的点，沿CE折叠，
点B恰好与点O重合，若BC=3,则折痕CE=_____2 __3__.
D
C
3
O
3
30°30°3
A 30°
B
E
二、求边长
•
二、求边长
【一】折叠前后的对应边相等
如图，矩形纸片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,现将其沿
AE对折，使得B点落在AD上的点B1处，折痕与BC交于点
E,则CE=__2___.
A
B1
D
解析：由翻折可得四边形
ABEB1是正方形
B
C E
总结：折叠图形的翻折部分在折叠前后的形状和大 小不变，是全等图形，利用性质，对应边相等求解。
•
17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。2021/8/112021/8/112021/8/112021/8/11
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四
1、理解图形折叠问题的实质； 2、理解折叠前后关于折痕成轴对称； 3、在操作中观察、分析图形，从中确定线段、角之间的数量 关系，并结合勾股定理利用方程思想解决相关计算问题；
☞透过现象看本质:
A
F
D
折 实质 叠
轴 对
称
E 轴对称性质：
由折叠可得： 1.△AFE≌△ADE
2.折痕AE是DF的 中垂线
1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边、角相等.
S△ A BD ： S矩 形 A BCD1:2， 所 以 S△ A 1BG ： S矩 形 A BCD1:8.
四、纸片中的折折叠叠问题中,求角度
时，往往可通过动手
如图，有一条直的宽纸带，按图折折叠叠，，则或∠α将的图度形数还等于原。
____7__5_°___.
C
D
30°
F
E
B
a
2
1
A
总结：纸片折叠，利用角平分线和平行线性质 得出重叠部分是一个等腰三角形，
若将问题换成：求折叠后重合部 分的面积呢？
我们将几个问题整合，可以得到：
如图，将一长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落 在E的位置上，AE交DC于点F,已知AB=8cm,BC=4cm. （1）找出图中的一对全等三角形，并证明； （2）△AFC是何种形状的三角形？说明你的理由； （3）求FC的长。 （4）试确定重叠部分△AFC的面积。
8
∴FC=FA，
设在在FRCt矩△=x形EcFm的C中,折则，E叠根F问=据(8题勾－中股x)定c，m理求得线段长时，常设未知数，找 到EC相²+应FE的²=C直F角² 三角形，用勾股定理建立方程，利用方
即程4²思+(8想－解x)²决=x问²，题x=。5cm，
∴EC的长为5cm。
练习
3.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5 cm，BC=10 cm，
• 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
练习
如图，矩形纸片ABCD中，AB=4,AD=3,折叠纸片，使AD
边与对角线BD重合，折痕为DG,则△A1BG的面积与该矩形
的面积比为___1__：__8__。
D
C
3
3
A1
2
A
G4
B
根 据 △ A 1BG ∽ △ A BD ， 可 得 到 S S△ △ A A 1B B D GA A 1B B21 4；
利用∽△
利用三角函数
谢谢大家！
试一试
1.如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落 在边AD的中点G处，求四边形BCFE的面积.
2.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E是BC边上一点，连接AE,∠B沿AE折叠，使点 B落在点B1处.当△CEB1为直角三角形时，BE=________.
B3、 F设A 未2 知 F，A将2已B 知1 边2 和 0 未8 2 知 边6 c （用m含x的代数式表示）转
化FC到=同BC一-B直F角=4三cm角形中表示出来。 设EC=xcm ,则EF=DC－EC=(8－x)cm
在4R、t△利E用F勾C中股，定根理据，勾列股出定方理程得，解方程，得解。
即ExC²心＋²=得4F²=C：（²=先8E－F标²x）等²量，x，=3把cm条，件集中到一Rt△中， ∴EC利的用长勾为3股cm定。理得方程。
相信你,一定行
如图，a是长方形纸带， ∠GEF=20°，将
纸带沿EF折叠成图b，如果再沿BF折叠成图c，
则图c中的∠CFE的度数是
.
A
E
DA
E
E A
D
?C
B
FC B
F
G
B
C
图a
图b
D
F
G
图c
小结
(1)折叠过程实质上是一个轴对称变换，折痕就是 对称轴，变换前后两个图形全等。
（2）在矩形的折叠问题中，若有求边长问题，常设未 知数，找到相应的直角三角形，用勾股定理建立方程， 利用方程思想解决问题。
相信你,一定行
如图，a是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图 b， 如果∠GEF=20°，那么∠AEG= _1_4_0_°.
A
E
DA
E 20°
D' A
E
D
B
FC B
20° G
F C' B
C
?C F
G
C´
图a
图b
图c
D
D´
如果再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的
度数是 120° .
提示：在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°
将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为(D )
A .2 5 c mB .1 5 c mC .2 5 c mD .1 5 c m
2
2
4
4
5 10-x
x
10-x
三、求面积
如图，将一长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在E 的位置上，AE交DC于点F,已知AB=8cm,BC=4cm,求 △AFC的面积.
• 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
（4）在折叠问题中，若直接解决较困难时， 可将图形还原，可让问题变得简单明了。有时 还可采用动手操作，通过折叠观察得出问题的 答案。
全等性
轴对称
对称性（折痕）
实 质 折 重过程 折叠问题 重结果 叠
精 髓
利用Rt△
方程思想
【二】利用勾股定理解决问题
如图，沿AE折叠长方形，使D点落在BC边上的F处，已知
AB=8,BC=10.求CE的长.
10
A
D
解∴AA总1：FB、结根==标A8：据D已c折=m知1叠，0c可EmF知，＋，EEF△C==AEDDFCE，=≌8△cmAD，E，
8
10
B 6
8-x
E 8-x x F4C
∴2在、R找t△相A等BF中
练习
1.如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，
在BC上找一点F，沿DF折叠矩形ABCD，使C点落在对角 线BD上的点E处，此时折痕DF的长是多少？
A
8
D
6
4x
6
B 8-x
xC
心得：先标等量，把条件集中到一Rt△中， 利用勾股定理得方程。
练习
2.如图，将一长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在
• 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
练习
1.已知，如图,Rt△ABC中,∠C=90º,沿过点B的
一条直线BE折叠△ABC,使C恰好落在AB边的中
点D处，则∠A=___3_0__°__.
A
C E
B D
2．把矩形纸片ABCD沿BE折叠，使得BA边与BC重合，然后 再沿着BF折叠，使得折痕BE也与BC边重合，展开后如图所
示，则∠DFB等于=__1_1__2_._5_°_。
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9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/8/112021/8/11Wednesday, August 11, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/8/112021/8/112021/8/118/11/2021 12:49:49 PM
E的位置上，AE交DC于点F,已知AB=8cm,BC=4cm,求线段
CF的长.
8-x 4
解：根据折叠可知，△ABC≌△AEC，
∴∠又AE∵AE∠C=DA=C∠BAB=能=8A角c∠C得mB平，，到A∠分CEE等，C线==腰∠B与B三C=平=9角40行，°形线， 组合时,
x x
4
∴ ∠EAC=∠DCA，
2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.
一、求角度
将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC， BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，
∠CBD= 90 度．
Hale Waihona Puke 解析：BC、BD是折痕， 所以有∠1 = ∠2， ∠3= ∠4 则∠CBD = 90°
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34
总结：折叠图形的翻折部分在折叠前后的形状 和大小不变，是全等图形，利用性质，对应角相 等求解。
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11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。2021/8/112021/8/112021/8/11Aug-2111- Aug-21
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12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。2021/8/112021/8/112021/8/11Wednesday, August 11, 2021
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15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021年8月2021/8/112021/8/112021/8/118/11/2021
•
16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021/8/112021/8/11August 11, 2021
中考专题复习
折叠型问题的探究
命题方向
折叠问题（对称问题）是近几年来中考出 现频率较高的一类题型，学生往往由于对折 叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问 题失分严重。本节课通过对在初中数学中经 常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从 中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这 类问题的常规方法。
本节课的学习目标：
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成 。2021/8/112021/8/112021/8/112021/8/118/11/2021
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14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。2021年8月 11日星 期三2021/8/112021/8/112021/8/11
练习
1.如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图
中①②③④四个三角形的周长之和为___3_2___.
2.如图，点O是矩形ABCD的中心,E是AB上的点，沿CE折叠，
点B恰好与点O重合，若BC=3,则折痕CE=_____2 __3__.
D
C
3
O
3
30°30°3
A 30°
B
E
二、求边长
•
二、求边长
【一】折叠前后的对应边相等
如图，矩形纸片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,现将其沿
AE对折，使得B点落在AD上的点B1处，折痕与BC交于点
E,则CE=__2___.
A
B1
D
解析：由翻折可得四边形
ABEB1是正方形
B
C E
总结：折叠图形的翻折部分在折叠前后的形状和大 小不变，是全等图形，利用性质，对应边相等求解。
•
17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。2021/8/112021/8/112021/8/112021/8/11
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四
1、理解图形折叠问题的实质； 2、理解折叠前后关于折痕成轴对称； 3、在操作中观察、分析图形，从中确定线段、角之间的数量 关系，并结合勾股定理利用方程思想解决相关计算问题；
☞透过现象看本质:
A
F
D
折 实质 叠
轴 对
称
E 轴对称性质：
由折叠可得： 1.△AFE≌△ADE
2.折痕AE是DF的 中垂线
1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边、角相等.
S△ A BD ： S矩 形 A BCD1:2， 所 以 S△ A 1BG ： S矩 形 A BCD1:8.
四、纸片中的折折叠叠问题中,求角度
时，往往可通过动手
如图，有一条直的宽纸带，按图折折叠叠，，则或∠α将的图度形数还等于原。
____7__5_°___.
C
D
30°
F
E
B
a
2
1
A
总结：纸片折叠，利用角平分线和平行线性质 得出重叠部分是一个等腰三角形，
若将问题换成：求折叠后重合部 分的面积呢？
我们将几个问题整合，可以得到：
如图，将一长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落 在E的位置上，AE交DC于点F,已知AB=8cm,BC=4cm. （1）找出图中的一对全等三角形，并证明； （2）△AFC是何种形状的三角形？说明你的理由； （3）求FC的长。 （4）试确定重叠部分△AFC的面积。
8
∴FC=FA，
设在在FRCt矩△=x形EcFm的C中,折则，E叠根F问=据(8题勾－中股x)定c，m理求得线段长时，常设未知数，找 到EC相²+应FE的²=C直F角² 三角形，用勾股定理建立方程，利用方
即程4²思+(8想－解x)²决=x问²，题x=。5cm，
∴EC的长为5cm。
练习
3.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5 cm，BC=10 cm，
• 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
练习
如图，矩形纸片ABCD中，AB=4,AD=3,折叠纸片，使AD
边与对角线BD重合，折痕为DG,则△A1BG的面积与该矩形
的面积比为___1__：__8__。
D
C
3
3
A1
2
A
G4
B
根 据 △ A 1BG ∽ △ A BD ， 可 得 到 S S△ △ A A 1B B D GA A 1B B21 4；
利用∽△
利用三角函数
谢谢大家！
试一试
1.如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落 在边AD的中点G处，求四边形BCFE的面积.
2.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E是BC边上一点，连接AE,∠B沿AE折叠，使点 B落在点B1处.当△CEB1为直角三角形时，BE=________.
B3、 F设A 未2 知 F，A将2已B 知1 边2 和 0 未8 2 知 边6 c （用m含x的代数式表示）转
化FC到=同BC一-B直F角=4三cm角形中表示出来。 设EC=xcm ,则EF=DC－EC=(8－x)cm
在4R、t△利E用F勾C中股，定根理据，勾列股出定方理程得，解方程，得解。
即ExC²心＋²=得4F²=C：（²=先8E－F标²x）等²量，x，=3把cm条，件集中到一Rt△中， ∴EC利的用长勾为3股cm定。理得方程。
相信你,一定行
如图，a是长方形纸带， ∠GEF=20°，将
纸带沿EF折叠成图b，如果再沿BF折叠成图c，
则图c中的∠CFE的度数是
.
A
E
DA
E
E A
D
?C
B
FC B
F
G
B
C
图a
图b
D
F
G
图c
小结
(1)折叠过程实质上是一个轴对称变换，折痕就是 对称轴，变换前后两个图形全等。
（2）在矩形的折叠问题中，若有求边长问题，常设未 知数，找到相应的直角三角形，用勾股定理建立方程， 利用方程思想解决问题。
相信你,一定行
如图，a是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图 b， 如果∠GEF=20°，那么∠AEG= _1_4_0_°.
A
E
DA
E 20°
D' A
E
D
B
FC B
20° G
F C' B
C
?C F
G
C´
图a
图b
图c
D
D´
如果再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的
度数是 120° .
提示：在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°
将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为(D )
A .2 5 c mB .1 5 c mC .2 5 c mD .1 5 c m
2
2
4
4
5 10-x
x
10-x
三、求面积
如图，将一长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在E 的位置上，AE交DC于点F,已知AB=8cm,BC=4cm,求 △AFC的面积.
• 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021