江苏省海安高级中学2020届高三第二次模拟考试数学试题及解析word

2020届高三年级阶段检测（二）
数学Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.设集合{}1,3A =，{}
2
230B x x x =--<，则A B =I ____________.
2.已知z i 12i ⋅=+（i 为虚数单位），则复数z =__________.
3.命题“2
0210x x x ∃<-->，”的否定是______________.
4.袋中有形状和大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．现从中一次随机摸出两只球，则这两只球颜色不同的概率为____________.
5.“sin cos 0αα+=”是“cos20α=”的__________条件.（填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）
6.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若28365262a a a a S ==-，，则1a 的值为__________.
7.若幂函数()a f x x =
的图象经过点
)
1
2
，则其单调递减区间为___________. 8.若函数(
)sin f x x x ωω= (x ∈R ，0ω>)满足()()02f f αβ==，，且||αβ-的最小值等
于
2
π
，则ω的值为___________. 9.已知函数()2241020
ax x x f x x bx c x ⎧--≥⎪
=⎨++<⎪⎩，，，是偶函数，直线y t =与函数()y f x =的图象自左向右依次交
于四个不同点A ，B ，C ，D .若AB BC =，则实数t 的值为______________.
10.设集合{}1 A a =-，，,2a e B e ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
（其中e 是自然对数的底数）
，且A B ≠∅I ，则满足条件的实数a 的个数为_______________.
11.已知过原点O 的直线与函数()3x
f x =的图象交于A ，B 两点，点A 在点O ，B 之间，过A 作平行于y
轴的直线交函数()9x
g x =的图象于C 点，当BC ∥x 轴时，点A 的横坐标为_____________.
12.设点P 在函数()1e 2
x
f x =的图象上，点Q 在函数()()ln 2
g x x =的图象上，则线段PQ 长度的最小值为__________________.
13.设()f x 为偶函数，且当(]20x ∈-，时，()()2f x x x =-+；当[)2x ∈+∞，时，
()()()2f x a x x =--.关于函数()()g x f x m =-的零点，有下列三个命题：
①当4a =时，存在实数m ，使函数()g x 恰有5个不同的零点； ②若[]01m ∀∈，，函数()g x 的零点不超过4个，则2a ≤；
③对()1m ∀∈+∞，，()4a ∃∈+∞，，函数()g x 恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列. 其中，正确命题的序号是_________________.
14.已知函数()2211
x kx f x x x ++=++，若对于任意正实数123,,x x x ，均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边边
长的三角形，则实数k 的取值范围是_______________.
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）
已知集合{}
2
20A x x x =-->，集合(){}
2
22550B x x k x k =+++<，k R ∈.
（1）求集合B ；
（2）记M A B =I ，且集合M 中有且仅有一个整数，求实数k 的取值范围. 16.（本小题满分14分） 已知π02α⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭，，ππ2β⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，1cos 3β=-，()7sin 9αβ+=.
（1）求sin α的值； （2）求(
)
tan +
2
β
α的值.
17.（本小题满分14分）
设数列{}n a ，{}n b 的各项都是正数，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且对任意N n *∈，都有
22n n n a S a =-，1b e =，21n n b b +=，ln n n n c a b =⋅（e 是自然对数的底数）.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n c 的前n 项和n T . 18.（本小题满分16分）
已知矩形纸片ABCD 中，6,12AB AD ==，将矩形纸片的右下角沿线段MN 折叠，使矩形的顶点B 落在矩形的边AD 上，记该点为E ，且折痕MN 的两端点M ，N 分别在边,AB BC 上.设
,MNB MN l θ∠==，EMN ∆的面积为S .
（1）将l 表示成θ的函数，并确定θ的取值范围；
（2）求l 的最小值及此时sin θ的值；
（3）问当θ为何值时，EMN ∆的面积S 取得最小值？并求出这个最小值.
19.（本小题满分16分）
已知函数()y f x =.若在定义域内存在0x ，使得()()00f x f x -=-成立，则称0x 为函数()y f x =的局部对称点.
（1）若a ，b ∈R 且a ≠0，证明：函数()2
f x ax bx a =+-有局部对称点；
（2）若函数()2x
g x c =+在定义域[]1,1-内有局部对称点，求实数c 的取值范围；
（3）若函数()1
242
3x
x h x m m +=-⋅+-在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.
20.（本小题满分16分） 已知函数()ln f x x =.
（1）求函数()()1g x f x x =-+的零点； （2）设函数()f x 的图象与函数1a
y x x
=+
-的图象交于()11A x y ，，()()1112B x y x x <，两点，求证：121a x x x <-；
（3）若0k >，且不等式()()()2
211x f x k x --≥对一切正实数x 恒成立，求k 的取值范围.
数学Ⅱ
21.本大题共两小题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
B.选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵()001a k A k ⎡⎤=≠⎢
⎥⎣⎦的一个特征向量为1k α⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦
，A 的逆矩阵1
A －对应的变换将点()3,1变为点()1,1.求实数a ，k 的值.
A M
B
N
C D
E
C.（选修4—4：坐标系与参数方程）
已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=.以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直
线l
的参数方程为1212
x t y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）
如图，在正四棱锥P ABCD -
中，PA AB ==，点M ，N 分别在线段PA 和BD 上，1
3
BN BD =.
（1）若1
3
PM PA =
，求证：MN AD ⊥； （2）若二面角M BD A --的大小为π
4
，求线段MN 的长度.
23.（本小题满分10分）
在一次电视节目的答题游戏中，题型为选择题，只有“A ”和“B ”两种结果，其中某选手选择正确的概率为p ，选择错误的概率为q ，若选择正确则加1分，选择错误则减1分，现记“该选手答完n 道题后总得分为n S ”.
（1）当1
2p q ==
时，记3S ξ=，求ξ的分布列及数学期望； （2）当13p =，2
3
q =时，求82S =且()01234i S i ≥=，，，的概率.
江苏省海安高级中学2020届第二次学测参考答案
数学Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 1.答案：{}1 2.答案：2z i =- 3.答案：2
0,210x x x ∀<--≤ 4.答案：
56
5.答案：充分不必要
6.答案：-2
7.答案：()0,+∞
8.答案：1
9.答案：52
-
10.答案：2 1l.答案：3log 2
12.
)1ln 2-
13.答案：①②③
14.答案：1,42
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15.（本小题满分14分）
解：（1）因为2
2(25)50x k x k +++<，所以(25)()0x x k ++<. 当52k -<-
即52k >时，5,2B k ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭；………………………………………………………2分
当52k -=-即5
2k =时，B =∅；………………………………………………………………4分 当52k ->-
即52k <时，5,2B k ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
.……………………………………………………6分 （2）由220x x -->得()(),12,x ∈-∞-+∞U ，…………………………………………8分 当52k -<-
即5
2
k >时，M 中仅有的整数为-3， 所以43k -≤-<-，即(]3,4k ∈；………………………………………………………………10分 当52k ->-
即5
2
k <时，M 中仅有的整数为-2， 所以23-<-≤时，即[)3,2k ∈-；………………………………………………………………12分 综上，满足题意的k 的范围为[)(]3,23,4-U ………………………………………………14分 16.（本小题满分14分） 解：（1）因为1,,cos 23πβπβ⎛⎫
∈=-
⎪⎝⎭
，
所以sin 3β===………………………………………………2分
又0,
2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，故3,22ππαβ⎛⎫
+∈
⎪⎝
⎭
，
从而cos()αβ+===，………………………………4分
所以sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=+-=+-+
711
933⎛⎛⎫=⨯--= ⎪ ⎝⎭⎝⎭……………………………………………………………6分
（2）由（1）得，1sin ,0,32παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，故cos 3α===，
所以sin tan cos 4
ααα=
=…………………………………………………………8分
因为222
2
2
2
2
2cos sin 1tan 2
22cos cos sin 2
2
cos sin 1tan 2
2
2
βββ
β
β
ββ
β
β--=-==++，且1cos 3β=-， 所以
2
21tan 1231tan 2
β
β-=-+，解得2tan 22β=， 因为,2πβπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，所以,242βππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而tan 02β>，
所以tan
2
β
=…………………………………………………………………………12分
故tan tan
24tan 121tan tan 122
β
αβαβα+⎛⎫+=== ⎪⎝⎭-⋅-………………………………14分
17.（本小题满分14分）
解：（1）因为0n a >，2
2n n n a S a =-，①
当1n =时，2
1112a S a =-，解得11a =；……………………………………………………2分
当2n ≥时，有2
1112n n n a S a ---=-，②
由①-②得，()()2
2
11112(2)n n n n n n n n a a S S a a a a n -----=---=+≥.
而0n a >，所以11(2)n n a a n --=≥，…………………………………………………………4分 即数列{}n a 是公差为1的等差数列，故n a n =………………………………………………6分
又因为2
1n n b b +=，且0n b >，取自然对数得1ln 2ln n n b b +=，
又因为1ln ln 1b e ==，所以
1
ln 2ln n n
b b +=， 所以{}ln n b 是1为首项，以2为公比的等比数列，
所以1
ln 2n n b -=，即1
2n n b e -=…………………………………………………………………………8分
（2）由（1）知，1
ln 2n n n n c a b n -==⨯，………………………………………………………10分 所以1221
112(2)3(2)(1)(2)(2)n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ，③
123121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n T n n -⨯=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ，④
③减去④得：2112222n n
n T n --=++++-⨯L ，
所以(1)21n
n T n =-⋅+…………………………………………………………………………14分
18.（本小题满分16分）
解：（1）,2ENM MNB EMA θθ∠=∠=∠=.
故cos ,sin ,cos 2sin cos 2NB l MB ME l AM ME l θθθθθ=====.
因为6AM MB +=，所以sin cos2sin 6l l θθθ+=，…………………………………………2分 从而263
sin (cos 21)sin cos l θθθθ
=
=+………………………………………………………4分
又12BN ≤，6BM ≤，所以12
4
π
π
θ≤≤
，所以2
3sin cos 124l π
πθθθ⎛⎫=
≤≤ ⎪⎝⎭
…………………6分 （2）记()2sin cos ,
12
4
f π
π
θθθθ=≤≤
，
则2
2
4
()sin cos f θθθ=.记2
2
2
12cos ,()(1),,24x f x x x θθ⎡+==-∈⎢⎣⎦
.
记2
()(1)g x x x =-，则2
()23g x x x '=-，令212()0,,324g x x ⎡+'==
∈⎢⎣⎦
.
所以()g x 在12,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增，在22,34⎡⎢⎣⎦
上单调递减，………………………………8分
故当22
cos 3
x θ==
时l 取最小值，此时sin 3θ=，l .………………10分
（3）EMN ∆的面积23191
sin cos 22sin cos 124S l π
πθθθθθ
⎛⎫=
=⨯≤≤ ⎪⎝⎭
，
从而2268114sin cos S θθ=
⨯设2
1cos ,1242t t ππθθ⎛⎫=≤≤≤≤ ⎪⎝⎭
，………………12分 记3
2
3
()(1),()34f t t t f t t t '=-=-令3
()0,4
f t t '==
.
()f t 在1,234⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,434⎡+⎢⎣⎦
上单调递减，
故当23cos 4t θ=
=，记6
π
θ=时，面积S 取最小值为15分 答：略…………………………………………………………………………………………16分
19.（本小题满分16分）
解：（1）由()2
f x ax bx a =+-得()2
f x ax bx a -=--，
代入()()0f x f x -+=得，()()
220ax bx a ax bx a +-+--=，………………………………2分 得到关于x 的方程2
0(0)ax a a -=≠，由于a R ∈且0a ≠，所以1x =±，
所以函数()2(0)f x ax bx a a =+-≠必有局部对称点……………………………………………4分
（2）方程2220x x c -++=在区间[]1,1-上有解，于是222x x c --=+，
设12(11),22x t x t =-≤≤≤≤，所以1
2c t t
-=+…………………………………………………6分 令11(),22s t t t t =+≤≤，则22
1(1)(1)
()1t t s t t t -+'=-=，
当1,12t ⎛⎫∈
⎪⎝⎭时，()0s t '<，故函数()s t 在区间1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减， 同理函数()s t 在区间()1,2上单调递增，所以1
522
t t ≤+≤， 所以5
14
c -
≤≤-………………………………………………………………………………10分 （3）12()4
23x
x h x m m --+-=-⋅+-，
由于()()0h x h x -+=，所以()
1212423423x x x x m m m m --++-⋅+-=--⋅+-
于是()()()
244222230x x x x m m --+-++-=（*）在R 上有解，……………………12分 令22
(2)x
x
t t -+=≥，则2442x x t -+=-，
所以方程（*）变为222280t mt m -+-=在区间[)2,+∞内有解， 需满足条件：
()
224840
2
m m ⎧∆=--≥≥
即1m m ⎧-≤≤⎪⎨-≤≤⎪⎩
得1m ≤≤16分 20.（本小题满分16分）
解：（1）令()ln 1g x x x =-+，所以11()1x
g x x x
-'=
-=
. 当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 在()0,1上单调递增；
当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在()1,+∞上单调递减；
所以max ()(1)0g x g ==，所以()g x 的零点为1x =………………………………………………2分
（2）因为1
11
22
2ln 1ln 1
a x x x a x x x ⎧
=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩
，所以211221ln ln 1x x a x x x x ⎛⎫-=⋅- ⎪-⎝⎭，………………………………4分
要证121a x x x <-，即证211212121ln ln 1x x x x x x x x x ⎛⎫
-⋅-
<- ⎪-⎝⎭
，
即证2112
ln 1x x x x ⎛⎫>-
⎪
⎝⎭，令211
1,ln 1x t t x t =>>-……………………………………………………6分 由（1）知ln 1x x ≤-，当且仅当1x =取等，所以11
ln 1t t
<-，
即1ln 1t t
>-，所以原不等式成立.…………………………………………………………………8分 （3）不等式()
221ln (1)x x k x -≥-对一切正实数x 恒成立. 因为(
)
(
)2
2
2
(1)1ln (1)1ln 1k x x x k x x x x -⎡⎤
---=--
⎢⎥+⎣⎦
…………………………………………10分 设222
(1)122(1)1
()ln ,()1(1)(1)k x k x k x h x x h x x x x x x -+-+'=-=-=+++. 记2
2
()2(1)1,4(1)44(2)x x k x k k k ϕ=+-+∆=--=-， ①当0∆≤，即02k <≤时，()0h x '≥恒成立，故()h x 单调递增.
于是当01x <<时，()()10h x h <=，又210x -<，故()
221ln (1)x x k x ->-， 当1x >时，()()10h x h >=，又210x ->，故()
221ln (1)x x k x ->-， 又当1x =时，()
221ln (1)x x k x -=-.
因此当02k <≤时，()
221ln (1)x x k x -≥-对一切正实数x 恒成立.…………………………12分 ②当0∆>，即2k >时，设2
2(1)10x k x +-+=的两个不等实根分别为()3434,x x x x <.
又()1420k ϕ=-<，于是3411x k x <<-<.
故当()1,1x k ∈-时，()0h x '<，从而()h x 在()1,1k -在单调递减；
当()1,1x k ∈-时，()()10h x h <=，此时210x ->，于是()
21()0x h x -<，
即()
221ln (1)x x k x -<-，舍去；…………………………………………………………15分 综上，k 的取值范围是02k <≤.…………………………………………………………16分
数学Ⅱ
21.本大题共两小题，每小题10分，共计20分. B.选修4-2：矩阵与变换 解：设特征向量为1k α⎡⎤
=⎢
⎥-⎣⎦
对应的特征值为λ， 则0111a k k k λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1ak k k λλ-=⎧⎨=⎩
， 因为0k ≠，所以2a =.………………………………………………………………………………5分 因为13111A -⎡⎤
⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以1311A ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即2130111k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 所以23k +=，解得1k =，
综上，2a =，1k =.……………………………………………………………………………………10分 C.（选修4-4：坐标系与参数方程）
解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2
2
40x y y +-=，
即2
2
(2)4x y +-=，它表示以()0,2为圆心，2为半径的圆，…………………………………………4分
直线方程l 的普通方程为1y =+，……………………………………………………………………6分 圆C 的圆心到直线l 的距离1
2
d =
，……………………………………………………………………8分
故直线l 被曲线C 截得的线段长度为=…………………………………………10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22.（本小题满分10分）
证明：连接,AC BD 交于点O ，以OA 为x 轴正方向，以OB 为y 轴正方向，OP 为z 轴建立空间直角坐标系.
因为PA AB ==
，则(1,0,0), (0,1,0), (0,1,0), (0,0,1)A B D P -.
（1）由13BN BD =u u u r u u u r ，得10,,03N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由13PM PA =u u u u r u u u r ，得12,0,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 所以112,,,(1,1,0)333MN AD ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭
u u u u r u u u r . 因为0MN AD ⋅=u u u u r u u u r ，所以MN AD ⊥.…………………………………………………………4分
（2）因为M 在PA 上，可设PM PA λ=u u u u r u u u r ，得(,0,1)M λλ-.
所以(,1,1),(0,2,0)BM BD λλ=--=-u u u u r u u u r
设平面MBD 的法向量(),,n x y z =r ，
由00
n BD n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r ，得20(1)0y x y z λλ-=⎧⎨-+-=⎩， 其中一组解为1,0,x y z λλ=-==，所以可取(1,0,)n λλ=-r ………………………………………8分
因为平面ABD 的法向量为()0,0,1OP =u u u r ， 所以cos 4||||n OP n OP π⋅=r u u u r r u u u r
，即2=，解得12λ=， 从而111,0,,0,,0223M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
所以6MN ==………………………………………………10分 23.（本小题满分10分）
解：（1）ξ的取值为3，-1，1，3，又因为12p q ==
；……………………………………………1分 故311(3)28P ξ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，311(3)28
P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 223113(1)228P C ξ⎛⎫=-=⨯⨯= ⎪⎝⎭；2
23113(1)228
P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，…………………………………3分 所以ξ的分布列为：
所以1
331()(3)(1)308888
E ξ=-⨯+-⨯++⨯=；……………………………………………………5分 （2）当82S =时，即答完8题后，正确的题数为5题，错误的题数是3题，…………………6分 又已知0(1,2,3,4)i S i =≥，第一题答对，
若第二题回答正确，则其余6题可任意答对3题；
若第二题回答错误，第三题回答正确，则后5题可任意答对题，………………………………8分
此时的概率为()5333658712308803333P C C ⨯⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或802187）.……………………10分。