2019-2020学年洛阳市高一下学期期末数学试卷(理科)

2019-2020学年洛阳市高一下学期期末数学试卷(理科)
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知直线方程为y=−√3x+2，则直线的倾斜角为()
A. 2π
3B. 3π
4
C. π
4
D. π
3
2.一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的
和大于2n”，则算过关，则某人连过前三关的概率是()
A. 100
243B. 50
243
C. 49
243
D. 98
243
3.若函数f(x)={−2x 2+ax−2,x≤1
x−1,x>1的值域为R，则实数a的取值范围是()
A. [−4,5]
B. [−4,4]
C. (−∞,−4]∪[5,+∞)
D. (−∞,−4]∪[4,+∞)
4.若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线()
A. 只有一条
B. 无数条
C. 是平面α内的所有直线
D. 不存在
5.已知某线路公交车从6：30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲
每天到起点站的时间是在6：30～7：00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6：45～7：15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是()
A. 1
2B. 1
6
C. 1
9
D. 1
12
6.如图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的
成绩(单位：分)，已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数
为17.4，则x，y的值分别为()
A. 7，8
B. 5，7
C. 8，5
D. 8，7
7.函数y=sin x(x∈R)图象的一条对称轴是()
A. x轴
B. y轴
C. 直线y=x
D. 直线x=π
2 8.执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的值满足
A. B. C.
D.
( )
9.
已知P ，Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P 点的纵坐标为4
5，Q 点的横坐标为5
13，则cos∠POQ =
A. 33
65
B. −33
65
C. −34
65
D. 34
65
10. 已知一个球的内接正方体的体积为8，则这个球的体积为( )
A. 4√3π
B. 4π
3
C. 2√6π3
D. 12π
11. 如图，已知圆C 的方程为x 2+y 2=1，
P 是双曲线x 24
−
y 29
=1上的一点，
过P 作圆的两条切线，切点为A ，B ，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( )
A. [0,3
2]
B. [3
2,+∞)
C. [1,3
2]
D. [32,9
2]
12. 已知函数f(x)=sinx +cosx ，则关于f(x)说法正确的是( )
A. f(x)的最大值是2
B. f(x)的最小正周期是π
C. f(x)的最大值是√2
D. (0,π
2)是f(x)的一个单调递增区间
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知tanθ=3，则1−cos2θ+sin2θ
1+cos2θ+sin2θ=______．
14. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3x +4y −5=0与圆x 2+y 2=4相交于A ，B 两点，则弦AB 的
长等于________．
15. 已知a ⃗ =(2,3),b
⃗ =(−4,0)，则b ⃗ 在a ⃗ 方向上的投影为______．
16. 已知函数为常数)，且，则____．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. (1)求值：(21
4)1
2−(−2008)0−(33
8)−2
3+(3
2)−2；
(2)求值：(lg5)2+lg2×lg50．
18. 某地有2000名学生参加数学学业水平考试，现将成绩(满分：100分)汇总，得到如图所示的频
率分布表．
(1)请完成题目中的频率分布表，并补全题目中的频率分布直方图；
成绩分组 频数 频率 [50,60] 100 (60,70]
(70,80] 800 (80,90]
(90,100] 200
(2)将成绩按分层抽样的方法抽取150名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的概率．
19. 如图，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东a 角的射线OZ 方
向航行，其中tana =1
3，在距离港口O 为3√13a(a 为正常数)海里北偏东β角的A 处有一个供科学考察船物资的小岛，其中cosβ=
√13
，现指挥部紧急征调沿海岸线港口O 正东方向m 海里
的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科学考察船，该船沿BA 方向不变追赶科学考察船，并在C 处相遇．经测算，当两船运行的航线OZ 与海岸线OB 围成三角形OBC 的面积S 最小时，补给最合适．
(1)求S 关于m 的函数关系式S(m)； (2)当m 为何值时，补给最合适？
20. 如图，棱长为a 的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，E 分别是棱A 1B 1，A 1D 1，C 1D 1的中
点．
(1)求证：AM//平面NED ；
(2)求直线AM 与平面BCC 1B 1所成角的正切值．
21. 已知f(x)=2sin(2x +π
3)．
(1)求f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时，x 值的集合． (2)求f(x)的单调递增区间．
22. 已知点P 是圆x 2+y 2=2上的一个动点，过点P 且与x 轴垂直的直线交x 轴于点N ，动点M 满
足NP
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2NM ，记动点M 的轨迹为C ．(Ⅰ)求曲线C 的方程； (Ⅱ)若过点Q(1,0)的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，且AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +3BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，求直线l 的方程．
【答案与解析】
1.答案：A
解析：解：∵直线方程为y =−√3x +2，则直线的斜率为−√3， 故它的倾斜角为2π
3， 故选：A ．
由题意利用直线的方程求出它的斜率，可得它的倾斜角． 本题主要考查直线的斜率和倾斜角，属于基础题．
2.答案：A
解析：解：(1)要求他第一关时掷1次的点数>2，第二关时掷2次的点数和>4，第三关时掷3次的点数和>8．
第一关过关的概率=4
6=2
3；
第二关过关的基本事件有62种，不能过关的基本事件为不等式x +y ≤4的正整数解的个数，有C 42个
(亦可枚举计数：1+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1)计6种， 过关的概率=1−6
6=5
6；
第三关的基本事件有63种，不能过关的基本事件为方程x +y +z ≤8的正整数解的总数，可连写8
个1，从8个空档中选3个空档的方法为C 83
=56=56种，不能过关的概率=56
63=7
27，能过关的概率
=1−
727
=
2027
；
∴连过三关的概率=2
3×5
6×20
27=100
243． 故选A ．
分别求出第一、二、三关过关的概率，利用概率的乘法公式，可得结论．
本题考查相互独立事件的概率乘法公式，考查学生分析解决问题的能力，确定基本事件的个数是关键．
3.答案：D
解析：解：当x >1时，f(x)=x −1>0， 函数f(x)={−2x 2+ax −2,x ≤1x −1,x >1
的值域为R ，
必须x ≤1时，f(x)=−2x 2+ax −2的最大值大于等于0， 二次函数的开口向下，对称轴为x =a
4，
当a
4>1时，即a >4时，f(1)=−4+a ≥0，解得a ≥4； 当a
4≤1时，即a ≤4时，f(a
4)=−
a 28
+
a 24
−2≥0，解得a ≥4或a ≤−4，
综上a ≤−4或a ≥4． 故选：D ．
求出x >1时的最小值，与x ≤1时的最大值，列出不等式求解即可．
本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
4.答案：B
解析：解：若直线a 与平面α不垂直，
当直线a//平面α时，在平面α内有无数条直线与直线a 是异面垂直直线； 当直线a ⊂平面α时，在平面α内有无数条平行直线与直线a 相交且垂直； 直线a 与平面α相交但不垂直，在平面α内有无数条平行直线与直线a 垂直． ∴若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线有无数条． 故选：B ．
若直线a 与平面α不垂直，有三种情况：直线a//平面α，直线a ⊂平面α，直线a 与平面α相交但不垂直，分别研究这三种况下，在平面α内与直线a 垂直的直线的条数，能够得到结果．
本题考查在平面α内与直线a 垂直的直线条数的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间思维能力的培养．
5.答案：D
解析：解：由题意知本题是一个几何概型， 设甲和乙到达的分别为6时+x 分、6时+y 分， 则30≤x ≤60，45≤y ≤75，
他们能搭乘同一班公交车，则45≤x ≤60，45≤y ≤60． 则试验包含的所有区域是Ω={(x,y)|30≤x ≤60，45≤y ≤75}，
他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为A ={(x,y)|{45≤x ≤5045≤y ≤50或{50≤x ≤5550≤y ≤55或{55≤x ≤60
55≤y ≤60
}，
则他们能搭乘同一班公交车的概率是：p =5×5×330×30
=
112
．
故选：D ．
由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为6时+x 分、6时+y 分，则30≤x ≤60，45≤y ≤75，
他们能搭乘同一班公交车，则45≤x ≤60，45≤y ≤60.试验包含的所有区域是Ω={(x,y)|30≤x ≤60，45≤y ≤75}，他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为A ={(x,y)|{45≤x ≤50
45≤y ≤50或
{50≤x ≤5550≤y ≤55或{
55≤x ≤6055≤y ≤60
}，由此能求出结果． 本题考查几何概型，这类问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果，是中档题．
6.答案：D
解析：解：由茎叶图知，甲组数据为：9，12，10+y ，24，27， ∵甲组数据的中位数为17， ∴10+y =7，解得y =7． ∵乙组数据的平均数为17.4
∴17.4=1
5(9+16+10+x +19+25)， 解得x =8． 故选：D ．
利用中位数、平均数计算公式求解．
本题考查中位数和平均数的求法及应用，是基础题，解题时要注意茎叶图的合理运用．
7.答案：D
解析：解：函数y =sin x (x ∈R) 其对称轴方程x =π
2+kπ，k ∈Z ． 当k =0时，可得x =π2． 故选：D ．
根据正弦函数的性质求解对称轴方程，即可得答案． 本题给出正弦型三角函数的图象即性质，属于基础题．
8.答案：D
解析：
本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于中档题．
解：输入x =0，y =1，n =1，
故y =4x ， 故选D ．
9.答案：B
解析：
本题考查平面向量的几何应用以及圆的方程，分别求出P ，Q 两点坐标，然后根据向量夹角公式求出结果，属于中档题．
解：P 、Q 在单位圆O:x 2+y 2=1，分别位于第一象限和第四象限， P 的纵坐标为4
5，Q 的横坐标为5
13
，
∴P 的横坐标为：√1−(45)2=35，Q 的纵坐标为：−√1−(513)2=−12
13，
则P 点坐标为(35,4
5)，Q 点坐标为(5
13,−12
13)，
则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(35,4
5)，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(513,−1213
)， 则cos∠POQ =OP
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OP
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=
−
33
65
1
=−33
65
故选B ．
10.答案：A
解析：
本题考查球的体积的求法，考查球的内接正方体、球的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
先求出正方体的棱长a =√83=2，从而这个球的半径r =√22+22+22
2
=√3，
由此能求出这个球的体积．
解：∵一个球的内接正方体的体积为8， ∴正方体的棱长a =√83=2， ∴这个球的半径r =√2
2+22+22
2=√3，
∴这个球的体积为V =4
3×π×(√3)3=4√3π． 故选：A ．
11.答案：B
解析：解：设PA 与PB 的夹角为2α，α∈(0,π
6]. 则|PA|=PB|=1
tanα，
∴y =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos2α=1
tan 2α⋅cos2α =1+cos2α
1−cos2α⋅cos2α．
记cos2α=u ，u ∈[1
2,1)则y =
u(1+u)1−u
=−3+(1−u)+
21−u
≥2√2−3，
当且仅当u =√2−1时取等号，但是√2−1∉[1
2,1), 由双勾函数的性质可知，x ∈[1
2,1)，函数的增函数， 可得y ≥3
2，此时P 在双曲线的顶点位置．
u →1时，y →+∞．
PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为：[3
2,+∞)． 故选：B ．
由圆切线的性质，即与圆心切点连线垂直设出一个角，通过解直角三角形求出PA ，PB 的长；利用向量的数量积公式表示出PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用基本不等式求出最值．
本题考查双曲线的简单性质，考查了圆的切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值，属于中档题．
12.答案：C
解析：解：∵f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π
4)， 故f(x)的最大值是√2，故A 错误，C 正确； f(x)的最小正周期是2π，故B 错误； 当x ∈(0,π
4)时，函数为增函数，
当x ∈(π4,π2)时，函数为减函数，故D 错误； 故选：C ．
由f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π
4)，分析函数的最值，周期性和单调性，可得答案． 本题考查的知识点三角函数的最值，周期性和单调性，难度中档．
13.答案：3
解析：解：tanθ=3，则1−cos2θ+sin2θ
1+cos2θ+sin2θ
=2sin 2θ+2sinθcosθ2cos 2θ+2sinθcosθ=tan 2θ+tanθ1+tanθ
=9+3
1+3=3．
故答案为：3．
利用二倍角公式以及平方关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可． 本题考查三角函数化简求值，考查计算能力．
14.答案：2
解析：圆x 2+y 2=4的圆心O(0,0)到直线3x +4y −5=0的距离d =
=1，弦AB 的长|AB|=2
=2
．
15.答案：−2√13
13
解析：解：∵a ⃗ =(2,3),b ⃗ =(−4,0)，
∴b ⃗ 在a
⃗ 方向上的投影为： |b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >=|b ⃗ |⋅a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b ⃗ |=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |=√13⋅4=−2√1313． 故答案为：−2√1313．
b ⃗ 在a ⃗ 方向上的投影为：|b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >=|b ⃗ |⋅a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b
⃗ |=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |． 本题考查向量的投影的求法，考查向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
16.答案：．
解析：试题分析：因为， 所以
． 考点：函数的奇偶性．
点评：解本小题最简算途径是求出
是定
值，
因而可由f(5)求出f(−5)． 17.答案：解：(1)(214)12−(−2008)0−
(338)−23+(32)−2 =(94)12−1−
(278)−23+(23)2 =32−1−(827)23+49
=12−49+49
=12
(2)解：(lg5)2+lg2×lg50=(lg5)2+lg2×(lg5+1)
=(lg5)2+lg2×lg5+lg2
=(lg5+lg2)×lg5+lg2
=1×lg5+lg2
=1．
解析：(1)本题中各数都是指数幂的形式，故可以用有理数指数幂的运算法则将(214)12−(−2008)0−(338)−23+(3
2)−2化简求值，变形方向是把底数变为幂的形式，用积的运算法则化简． (2)本题中各数都是对数的形式，利用对数的运算法则将(lg5)2+lg2×lg50化简求值即可，首先将50变为25×2．
18.答案：解：(1)完成题目中的频率分布表，如下；
成绩分组 频数 频率
[50,60] 100 0.05
(60,70] 600 0.30
(70,80] 800 0.40
(80,90] 300 0.15
(90,100] 200 0.10
补全题目中的频率分布直方图，如下；
(2)将成绩按分层抽样的方法抽取150名同学进行问卷调查，
甲同学在本次测试中数学成绩为95分，
他被抽中的概率为1502000=0.075．
解析：(1)根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，填写频率分布表， 计算频率
组距，补全频率分布直方图即可；
(2)用分层抽样方法，该同学被抽中的概率是与每一个同学的几率相等，为1502000．
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题目． 19.答案：解：以O 为原点，正北方向为轴建立直角坐标系，直线OZ 的方程为y =3x①，
(1)设A(x 0,y 0)，∵cosβ=2√13，sinβ=3
√13，
则x 0=3√13asinβ=9a ，y 0=3√13acosβ=6a ，∴A(9a,6a)．
又B(m,0)，则直线AB 的方程为y =6a 9a−m (x −m) ②
由①、②解得，C(2am m−7a ,6am m−7a )，
∴S(m)=S △OBC =12|OB||y c |=12×m ×6am m −7a =3am 2m −7a (m >7a);
(2)S(m)=3am2
m−7a =3a[(m−7a)+49a2
m−7a
+14a]≥84a2,当且仅当m−7a=49a2
m−7a
，即m=14a>7a
时，等号成立，
故当m=14a海里时，补给最合适．
解析：本题主要考查解三角形的实际应用、三角形的面积公式、基本不等式的应用．考查函数的建模思想和转化思想．
先以O为原点，正北方向为轴建立直角坐标系，
(1)先求出直线OZ的方程，然后根据β的正余弦值和OA的距离求出A的坐标，进而可以得到直线AB的方程，然后再与直线OZ的方程联立求出C点的坐标，根据三角形的面积公式可得到答案; (2)根据(1)中S(m)的关系式，进行变形整理，然后利用基本不等式求出最小值．
20.答案：(1)证明：连结ME----------(1分)
∵M、E分别是A1B1、D1C1中点
∴A1D1//ME，A1D1=ME
又∵A1D1//AD，A1D1=AD
∴ME//AD，ME=AD
故得平行四边形ADEM-----------------------(4分)
∴AM//DE
又∵DE⊂平面NED
AM⊄平面NED
∴AM//平面NED-----------------------(6分)
(2)解：取AB中点F，连结B1F，则B1F//AM
∴AM与平面BCC1B1所成角即为B1F平面BCC1B1所成角．
∵AB⊥平面BCC1B1
∴∠FB1B是直线AM与平面BCC1B1所成角---------------------------------(9分)
∵BF=1
2AB=1
2
BB1
∴tan∠FB1B=FB
BB1=1
2
故直线AM与平面BCC1B1所成角的正切值为1
2
-------------------------(12分)
解析：(1)连结ME，证明ADEM为平行四边形，从而得到AM//DE，即可证明AM//平面NED；
(2)取AB 中点F ，连结B 1F ，则B 1F//AM ，AM 与平面BCC 1B 1所成角即为B 1F 平面BCC 1B 1所成角，即可求出直线AM 与平面BCC 1B 1所成角的正切值．
本题考查证明线面平行的方法，求直线AM 与平面BCC 1B 1所成角的正切值，属于中档题． 21.答案：解：(1)f(x)max =2，
当f(x)=2时，有sin(2x +π3)=1，∴2x +π3=2kπ+π2(k ∈Z)，解得x =kπ+π12，
∴f(x)取最大值时x 值的集合为{x|x =kπ+π12,k ∈Z}．
(2)由2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2,k ∈Z ，解得kπ−5π12≤x ≤kπ+π12，
∴f(x)的单调递增区间为：[kπ−5π12,kπ+π12],k ∈Z ．
解析：本题考查三角函数的单调性与三角函数的最值，考查正弦函数的性质，考查分析与运算能力，属于中档题．
(1)由正弦函数的性质得出函数的最值，再整体代换解出x 的值，写成集合形式；
(2)将2x +π3整体代入正弦函数的单调递增区间，解出x 的范围写成区间形式． 22.答案：解：(Ⅰ)设动点M(x,y)，P(x 0,y 0)，则N(x 0,0)，
NP
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2NM ，得(0,y 0 )=√2(x −x0，y)， ∴{x 0=x y 0=√2y
，代入x 02+y 02=2，得x 2+2y 2=2． (Ⅱ)依题意可设直线l 方程为：x =my +1 ①，
把①代入x 2+2y 2=2得：(m 2+2)y 2+2my −1=0，
设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，
y 1+y 2=−2m m 2+2，y 1y 2=−1
m 2+2
∵AQ
⃗⃗⃗⃗⃗ +3BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴(1−x 1,−y 1)=3(x 2−1,y 2)，
⇒{y 1=−3y 2x 1+3x 2=4⇒{y 1=−3m m 2+2y 2=m m 2+2代入y 1y 2=−1m 2+2可得m =±1． ∴直线l 的方程为y =±x +1．
解析：
(Ⅰ)设动点M(x,y)，P(x 0,y 0)，则N(x 0,0)，由足NP
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2NM ，得到代入 x 02+y 02=2， (Ⅱ)直线l 与曲线G 联立方程可得x 1，x 2，结合AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +3BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0
⃗ 可求得斜率k ，即可得直线l 的方程．
本题考查定点轨迹方程的求法，考查向量的应用，属于中档题，。