精品【沪科版】初二八年级数学上册《15.3.2 等腰三角形的判定》课件
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（来自《典中点》）
A．△ABD C．△OBC
知1－练
5
如图所示，已知AC⊥BC， BD⊥AD， AC与BD交于点O，AC＝BD.求证： (1)BC＝AD； (2)△OAB是等腰三角形．
（来自《点拨》）
知2－讲
知识点
2 等腰三角形的判定和性质
拓展：根据等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定
理可知，由等腰三角形“三线合一”的性质的逆命题可得 出等腰三角形的三个判定方法： (1)当三角形一边上的中线和高线重合时，利用线段垂直
（来自《典中点》）
1.必做: 完成教材P138 T2
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
知2－讲
总 结
证明线段(或角)相等，以其中一边(或角)所 在三角形作为“基础三角形”在另一边(或角)上作
与其全等的三角形是常用的作辅助线的方法；
如本例是以DF所在的△DFC为“基础三角形”， 以DE为边作与△DFC全等的△DEG；若以DE
所在的△DEB为“基础三角形”，以DF为边作与
△DEB全等的△DFG该怎么作呢？请读者试 一试．
（来自《点拨》）
知2－练
1
(中考· 泰安)如图，AD是△ABC的角平分线， DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线 于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF.给 出下列结论：①DE＝DF；②DB＝DC； ③AD⊥BC；④AC＝3BF， 其中正确的结论共有( A． 4 个 B．3个 ) C． 2个 D． 1个
D．∠A＝80°，∠B＝60°
（来自《典中点》）
知1－练
3
如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝
72°，则图中的等腰三角形有( A． 3个 B．4个 )
C． 5 个
4
D． 6 个
如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上 的高，CE是AB边上的高，它们相交于点O， 则图中除△ABC外一定是等腰三角形 的是( ) B．△ACE D．△OCD
（来自《点拨》）
知1－练
1
已知：如图，AB与CD交于点P，
CP=PD，∠A=42°，∠CPB=
138°，∠B=69°.求证:AC=PB.
（来自教材）
2
在△ABC中，∠A和∠B的度数
如下，能判定△ABC是等腰三角 形的是( )
A．∠A＝50°，∠B＝70°
B．∠A＝70°，∠B＝40° C．∠A＝30°，∠B＝90°
（来自《点拨》）
知1－讲
总 结
(1)本题运用平行线性质以及角平分线的定义证
明角之间的相等关系，进而运用等腰三角形
的判定得出线段之间的长度关系，这是证几 何题常用的方法．
(2)如图中角的一边与角的平分线及角另一边的
平行线所构成的三角形是等腰三角形，这是 一个基本的图形，在以后学习平行四边形时
会经常遇到．
则∠1＝∠F，∠2＝∠3.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠3(等边对等角)． ∴∠B＝∠2. ∴BE＝EG(等角对等边)．
又∵BE＝CF，∴EG＝CF.
4= 5， 在△EDG和△FDC中， 1= F， EG FC ,
∴△EDG≌△FDC(AAS)． ∴DE＝DF.
（来自《点拨》）
平分线的性质，可以判定这个三角形为等腰三角形；
(2)当三角形一边上的中线和对角的平分线重合时，将中 线倍长，利用三角形全等可以判定这个三角形为等腰
三角形；
(3)当三角形一边上的高线和对角的平分线重合时，直接 利用三角形全等可判定这个三角形为等腰三角形．
（来自《点拨》）
知2－讲
例3 如图，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于点E，交
1.定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
(简称“等角对等边”) 应用格式：在△ABC中，∵∠B＝∠C, ∴AB＝AC. 2．等腰三角形的判定与性质的异同 相同点：都是在一个三角形中； 区别：判定是由角到边，性质是由边到角．
性质 等角． 即：等边 判定
（来自《点拨》）
知1－讲
转化为说明其余角相等；对顶角这
一隐含条件在推导角的相等关系中
起了关键的桥在△ABC中，∠ABC，∠CAB的平分线交
于点P，过点P作DE∥AB，分别交BC，AC于点
D，E.求证：DE＝BD＋AE.
导引：要证DE＝BD＋AE，而由图知DE＝DP＋PE.因此 只需证BD＋AE＝DP＋PE即可．即需证BD＝DP，
第15章
轴对称图形与等腰三角形
15.3
等腰三角形
第2课时
等腰三角形 的判定
1 2
课堂讲解
课时流程
逐点 导讲练
等腰三角形的判定 等腰三角形的判定和性质
课堂 小结
作业 提升
知1－导
知识点
1
等腰三角形的判定
思考 “等腰三角形两个底角相等”的逆命题
是真命题吗？请与你的同学研究讨论后
作出判断.
知1－讲
知1－讲
解：△ABC是等腰三角形．理由如下： ∵AQ＝AR，∴∠R＝∠AQR. 又∵∠BQP＝∠AQR，∴∠R＝∠BQP.
在Rt△QPB和Rt△RPC中，
∠B＋∠BQP＝90°，∠C＋∠R＝90°， ∴∠B＝∠C, ∴AB＝AC.
（来自《点拨》）
知1－讲
总 结
本题运用了转化思想，将要说
明的两相等角利用等角的余角相等
AE＝PE，而要证这两组边相等，只需证明它们所
对的角相等，因此我们可以把证角相等作为切入口 进行证明．
知1－讲
证明：∵DE∥AB， ∴∠ABP＝∠DPB, ∠BAP＝∠EPA. ∵∠ABC，∠CAB的平分线交于点P，
∴∠ABP＝∠DBP, ∠BAP＝∠EAP，
∴∠DBP＝∠DPB, ∠EAP＝∠EPA， ∴DP＝DB，EP＝AE， ∴DP＋EP＝DB＋AE，即DE＝BD＋AE.
AC的延长线于点F，交BC于点D，且BE＝CF. 求证：DE＝DF.
导引：要证DE＝DF，可构造以DE和DF为对应边的全等三 角形，不妨过点E作EG∥AC交BC于点G，则只要证 明△EDG≌△FDC即可，缺少的条件可运用等腰三角 形的性质及判定得出．
知2－讲
证明：过点E作EG∥AC交BC于点G，如图，
例1 如图，在△ABC中， P是BC边上一点，过点P作 BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R， 若AQ＝AR，则△ABC是等腰三角形吗？请说明 理由．
导引：要说明△ABC为等腰三角形，由图可知只要说明
∠B＝∠C即可，而∠B，∠C分别在两个直角三角
形中，因此只要说明∠B，∠C的余角∠BQP， ∠R相等即可．
（来自《典中点》）
知2－练
2
如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB 的平分线交于点E，过点E作MN∥BC
交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN
的长为( A． 6 ) B． 7 C． 8 D． 9
3
在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分
成两个小等腰三角形的是( )
（来自《典中点》）
等腰三角形的三种判定方法： (1)当三角形有两条边相等时，应用“有两条边相等的三
角形是等腰三角形”来证明．
(2)当三角形中有两个角相等时，应用“有两个角相等的 三角形是等腰三角形”来证明．
(3)当线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形
时，应用“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 相等”来证明．
A．△ABD C．△OBC
知1－练
5
如图所示，已知AC⊥BC， BD⊥AD， AC与BD交于点O，AC＝BD.求证： (1)BC＝AD； (2)△OAB是等腰三角形．
（来自《点拨》）
知2－讲
知识点
2 等腰三角形的判定和性质
拓展：根据等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定
理可知，由等腰三角形“三线合一”的性质的逆命题可得 出等腰三角形的三个判定方法： (1)当三角形一边上的中线和高线重合时，利用线段垂直
（来自《典中点》）
1.必做: 完成教材P138 T2
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
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总 结
证明线段(或角)相等，以其中一边(或角)所 在三角形作为“基础三角形”在另一边(或角)上作
与其全等的三角形是常用的作辅助线的方法；
如本例是以DF所在的△DFC为“基础三角形”， 以DE为边作与△DFC全等的△DEG；若以DE
所在的△DEB为“基础三角形”，以DF为边作与
△DEB全等的△DFG该怎么作呢？请读者试 一试．
（来自《点拨》）
知2－练
1
(中考· 泰安)如图，AD是△ABC的角平分线， DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线 于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF.给 出下列结论：①DE＝DF；②DB＝DC； ③AD⊥BC；④AC＝3BF， 其中正确的结论共有( A． 4 个 B．3个 ) C． 2个 D． 1个
D．∠A＝80°，∠B＝60°
（来自《典中点》）
知1－练
3
如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝
72°，则图中的等腰三角形有( A． 3个 B．4个 )
C． 5 个
4
D． 6 个
如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上 的高，CE是AB边上的高，它们相交于点O， 则图中除△ABC外一定是等腰三角形 的是( ) B．△ACE D．△OCD
（来自《点拨》）
知1－练
1
已知：如图，AB与CD交于点P，
CP=PD，∠A=42°，∠CPB=
138°，∠B=69°.求证:AC=PB.
（来自教材）
2
在△ABC中，∠A和∠B的度数
如下，能判定△ABC是等腰三角 形的是( )
A．∠A＝50°，∠B＝70°
B．∠A＝70°，∠B＝40° C．∠A＝30°，∠B＝90°
（来自《点拨》）
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总 结
(1)本题运用平行线性质以及角平分线的定义证
明角之间的相等关系，进而运用等腰三角形
的判定得出线段之间的长度关系，这是证几 何题常用的方法．
(2)如图中角的一边与角的平分线及角另一边的
平行线所构成的三角形是等腰三角形，这是 一个基本的图形，在以后学习平行四边形时
会经常遇到．
则∠1＝∠F，∠2＝∠3.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠3(等边对等角)． ∴∠B＝∠2. ∴BE＝EG(等角对等边)．
又∵BE＝CF，∴EG＝CF.
4= 5， 在△EDG和△FDC中， 1= F， EG FC ,
∴△EDG≌△FDC(AAS)． ∴DE＝DF.
（来自《点拨》）
平分线的性质，可以判定这个三角形为等腰三角形；
(2)当三角形一边上的中线和对角的平分线重合时，将中 线倍长，利用三角形全等可以判定这个三角形为等腰
三角形；
(3)当三角形一边上的高线和对角的平分线重合时，直接 利用三角形全等可判定这个三角形为等腰三角形．
（来自《点拨》）
知2－讲
例3 如图，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于点E，交
1.定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
(简称“等角对等边”) 应用格式：在△ABC中，∵∠B＝∠C, ∴AB＝AC. 2．等腰三角形的判定与性质的异同 相同点：都是在一个三角形中； 区别：判定是由角到边，性质是由边到角．
性质 等角． 即：等边 判定
（来自《点拨》）
知1－讲
转化为说明其余角相等；对顶角这
一隐含条件在推导角的相等关系中
起了关键的桥在△ABC中，∠ABC，∠CAB的平分线交
于点P，过点P作DE∥AB，分别交BC，AC于点
D，E.求证：DE＝BD＋AE.
导引：要证DE＝BD＋AE，而由图知DE＝DP＋PE.因此 只需证BD＋AE＝DP＋PE即可．即需证BD＝DP，
第15章
轴对称图形与等腰三角形
15.3
等腰三角形
第2课时
等腰三角形 的判定
1 2
课堂讲解
课时流程
逐点 导讲练
等腰三角形的判定 等腰三角形的判定和性质
课堂 小结
作业 提升
知1－导
知识点
1
等腰三角形的判定
思考 “等腰三角形两个底角相等”的逆命题
是真命题吗？请与你的同学研究讨论后
作出判断.
知1－讲
知1－讲
解：△ABC是等腰三角形．理由如下： ∵AQ＝AR，∴∠R＝∠AQR. 又∵∠BQP＝∠AQR，∴∠R＝∠BQP.
在Rt△QPB和Rt△RPC中，
∠B＋∠BQP＝90°，∠C＋∠R＝90°， ∴∠B＝∠C, ∴AB＝AC.
（来自《点拨》）
知1－讲
总 结
本题运用了转化思想，将要说
明的两相等角利用等角的余角相等
AE＝PE，而要证这两组边相等，只需证明它们所
对的角相等，因此我们可以把证角相等作为切入口 进行证明．
知1－讲
证明：∵DE∥AB， ∴∠ABP＝∠DPB, ∠BAP＝∠EPA. ∵∠ABC，∠CAB的平分线交于点P，
∴∠ABP＝∠DBP, ∠BAP＝∠EAP，
∴∠DBP＝∠DPB, ∠EAP＝∠EPA， ∴DP＝DB，EP＝AE， ∴DP＋EP＝DB＋AE，即DE＝BD＋AE.
AC的延长线于点F，交BC于点D，且BE＝CF. 求证：DE＝DF.
导引：要证DE＝DF，可构造以DE和DF为对应边的全等三 角形，不妨过点E作EG∥AC交BC于点G，则只要证 明△EDG≌△FDC即可，缺少的条件可运用等腰三角 形的性质及判定得出．
知2－讲
证明：过点E作EG∥AC交BC于点G，如图，
例1 如图，在△ABC中， P是BC边上一点，过点P作 BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R， 若AQ＝AR，则△ABC是等腰三角形吗？请说明 理由．
导引：要说明△ABC为等腰三角形，由图可知只要说明
∠B＝∠C即可，而∠B，∠C分别在两个直角三角
形中，因此只要说明∠B，∠C的余角∠BQP， ∠R相等即可．
（来自《典中点》）
知2－练
2
如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB 的平分线交于点E，过点E作MN∥BC
交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN
的长为( A． 6 ) B． 7 C． 8 D． 9
3
在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分
成两个小等腰三角形的是( )
（来自《典中点》）
等腰三角形的三种判定方法： (1)当三角形有两条边相等时，应用“有两条边相等的三
角形是等腰三角形”来证明．
(2)当三角形中有两个角相等时，应用“有两个角相等的 三角形是等腰三角形”来证明．
(3)当线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形
时，应用“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 相等”来证明．