导数在函数中的应用——题型总结

导数在函数中的应用
一.基础知识
1.函数的导数与单调性
在某个区间内，若()f x '>0，则函数)(x f y =在这个区间内单调递增；若()f x '<0, 则函数)(x f y =在这个区间内单调递减.
2.函数的导数与极值
（1）极大值：如果在0x 附近的左侧()f x '>0，右侧()f x '<0，且()f x '=0，那么0()f x 是极大值；
（2）极小值：如果在0x 附近的左侧()f x '<0，右侧()f x '>0，且()f x '=0，那么0()f x 是极小值；
3.函数的导数与最值
(1)函数)(x f y =在区间[a,b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a,b]上，函数)(x f y =的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2) 求函数)(x f y =在区间[a, b]上最大值与最小值的步骤：
①求函数)(x f y =在区间（a,b ）内的极值；
②将函数)(x f y =的各个极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值
4．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)回归实际问题作答．
注意事项
1.直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点．
2.(1)f′(x)＞0在(a ，b)上成立是f(x)在(a ，b)上单调递增的充分条件．
(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x ＝x0处有极值的必要不充分条件．
3.求函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x 的范围．
当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．
4.(1)注意实际问题中函数定义域的确定．
(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．
二.题型训练
题型一 求曲线切线的方程
例1.已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.
(1)求曲线f (x )在x ＝2处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．
变式1.曲线y ＝x e x ＋1在点(0,1)处的切线方程是( )
A ．x －y ＋1＝0
B ．2x －y ＋1＝0
C ．x －y －1＝0
D ．x －2y ＋2＝0
2.直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则a －b 的值为( )
A ．－4
B ．－1
C ．3
D ．－2
题型二.求函数的单调区间
例2. 已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.
(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．
练习：1. 设函数f (x )＝x (e x －1)－12x 2，则函数f (x )的单调增区间为________．
2. 已知函数f(x)＝13x 3＋ax 2＋bx(a ，b ∈R )．
(1)当a ＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(1)＝13
，且函数f(x)在⎝⎛⎭⎫0，12上不存在极值点，求a 的取值范围．
题型三.分类讨论求函数的单调区间
例3. 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ln x (x >0，实数a ，b 为常数)．
(1)若a ＝1，b ＝－1，求函数f (x )的极值；(2)若a ＋b ＝－2，讨论函数f (x )的单调性．
练习：
1. 已知函数f(x)＝x 2－(a ＋2)x ＋a ln x ＋2a ＋2，其中a ≤
2.
(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0，2]上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．
2. 已知a ∈R ，函数3()42f x x ax a =-+
（1）求()f x 的单调区间（2）证明：当0≤x ≤1时，()f x + 2a -＞0.
3. 设函数()x f x e ax 2=－－(Ⅰ)求()f x 的单调区间
(Ⅱ)若a=1，k 为整数，且当x>0时，()()x k f x x 10'>-++，求k 的最大值
小结：
利用导数研究函数的单调性关注四点
(1)利用导数研究函数的单调性，大多数情况下归结为对含有参数的不等式的解集的讨论．
(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论．
(3)在不能通过因式分解求出根时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．
(4)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．
题型四.单调性的逆用
例4. 已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .
(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；
(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间．
练习：
1. 已知函数f (x )＝(x ＋a )2－7b ln x ＋1，其中a ，b 是常数且a ≠0.
(1)若b ＝1时，f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围；
(2)当b ＝47
a 2时，讨论f (x )的单调性．
2. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12
，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞) C ．[0,3] D ．[3，＋∞)
3. 函数f (x )＝13x 3－x 2
＋ax －5在区间[－1,2]上不单调，则实数a 的范围是________． 4. 已知函数f （x ）=
3213
x x ax b -++的图像在点P （0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2 (Ⅰ)求实数a,b 的值；(Ⅱ)设g （x ）=f(x)+1m x -是[2,+∞]上的增函数，求实数m 的最大。

5. 已知函数)0(ln 1)(>+-=a x ax
x x f （1）若函数)(x f 在),1[+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；
（2）当1=a 时，求)(x f 在]2,2
1[上的最大值和最小值.
题型五.求函数的极值、最值
例5. 已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c -
（1）求a 、b 的值；（2）若()f x 有极大值28，求()f x 在[3,3]-上的最大值．
练习：
1. 关于x 的方程x 3－3x 2
－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________．
2. 已知a b ，是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．
（1）求a 和b 的值；
（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；
（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，
，求函数()y h x =的零点个数．
3. 已知函数f (x )＝x －1＋a e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；(2)求函数f (x )的极值；
(3)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，求k 的最大值．
4. 已知函数f (x )＝ax －2x
－3ln x ，其中a 为常数． (1)当函数f (x )的图象在点(23，f (23))处的切线的斜率为1时，求函数f (x )在[32
，3]上的最小值； (2)若函数f (x )在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围．
题型六.导数与方程
例6. 设a 为实数，函数32()f x x x x a =--+
（1）求()f x 极值 （2）求()f x 与x 轴只有一个交点时a 的取值范围
变式：若与 x 轴有2个交点时a 的取值范围？
练习：
1. 设函数
R x x x x f ∈+-=,56)(3 （Ⅰ）求)(x f 的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围. （Ⅲ）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围.
2. 已知函数),2()(3
1)(,2)1(31)(23+∞-=+-=在区间且x f kx x g x k x x f 上为增函数. （1）求k 的取值范围；（2）若函数)()(x g x f 与的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围.
3. 已知函数f （x ）=xlnx ，
(Ⅰ)求f(x)的最小值；(Ⅱ)讨论关于x 的方程f(x)-m=0(m ∈R)的解的个数；
4. 已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f (x )＝－ax ＋b ＋ax ln x ，f (e)＝2(e ＝2.718 28…是自然对
数的底数)．
(1)求实数b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；
(3)当a ＝1时，是否同时存在实数m 和M (m ＜M )，使得对每一个t ∈[m ， M ]，直线y ＝t
与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由．
题型七.利用导数证明不等式
例7. 设a 为实数，函数f (x )＝e x
－2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a ＞ln 2－1且x ＞0时，e x ＞x 2－2ax ＋1.
练习：
1. 已知m ∈R ，函数f (x )＝(x 2＋mx ＋m )e x
(1)若函数没有零点，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝0时，求证f (x )≥x 2＋x 3.
2. 已知函数(x)1
x
x e f xe =+.证明：0(x)1f <≤；
3. 已知()1ln ++-=a x x x f
（1）若存在 ()+∞∈,0x 使得()f x ≥0成立，求a 的范围
（2）求证：当x ＞1时，在（1）的条件下，
2
1ln 212+>-+x x a ax x 成立
题型八.恒成立问题
例8. 已知函数f (x )＝x ln x .
(1)求f (x )的最小值．(2)若对所有x ≥1都有f (x )≥ax －1，求实数a 的取值范围．
练习：
1. 已知函数f (x )＝a ln x ＋1x
(a >0)． (1)求函数f (x )的单调区间和极值；
(2)已知对任意的x >0，ax (2－ln x )≤1恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．
2. 已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2
＋ax －3. (1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t ＞0)上的最小值；
(2)对一切的x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＞1e x －2e x .
3. 已知函数f (x )＝ax ln x 图像上点(e ，f (e))处的切线与直线y ＝2x 平行(其中e 为自然对数的底数)，
g(x)＝x2－tx－2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[n，n＋2](n>0)上的最小值；
(3)若对一切x∈(0，e]，3f(x)≥g(x)恒成立，求实数t的取值范围．题型九.存在性任意性问题
例9.已知函数f(x)＝ax
x2＋1
＋a，g(x)＝aln x－x(a≠0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当a>0时，对于任意x1，x2∈(]
0，e，总有g(x1)<f(x2)成立．
练习：
1. ()()1ln 10a f x x ax a x
-=-+->. （1）设01a <<，试讨论()f x 单调性；
（2）设()224g x x bx =-+，当14a =时，若()10,2x ∀∈，存在[]21,2x ∈，使()()12f x g x ≥，求实
数b 的取值范围.
2. 设()ln a f x x x x
=+, 32()3g x x x =--. （Ⅰ）当2a =时,求曲线()y f x =在1x =处的切线的方程;
（Ⅱ）如果存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立,求满足上述条件的最大整数M ; （Ⅲ）如果对任意的1,[,2]2
s t ∈,都有()()f s g t ≥成立,求实数a 的取值范围.
题型十.实际应用（最优化问题）
例10. 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中，每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为：y ＝
1128 000x 3－380
x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米． (1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
练习：某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件．．
，需另投入成本C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x
－1 450(万元)．每件．．商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件．．
)的函数解析式； (2)年产量为多少千件．．
时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
题型十一.综合训练
1.（2013）已知函数2()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈
(Ⅰ)设0a ≥，求)(x f 的单调区间
(Ⅱ) 设0a >，且对于任意0x >，()(1)f x f ≥。

试比较ln a 与2b -的大小
2. (2012)已知函数f (x )＝ln x ＋k e x (k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y
＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．
(1)求k 的值；
(2)求f (x )的单调区间；
(3)设g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数， 证明：对任意x >0，g (x )<1＋e －2.。