信号的幅值相关功率谱分析
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第6章 信号的幅值、相关功率谱分析 6.1 随机信号的基本概念 6.2 幅值域分析 6.3 相关分析 6.4 功率谱密度分析 6.5 其他信号分析技术简介
总结
第6章 信号的幅值、相关功率谱分析 6.1 随机信号的基本概念
1、样本函数、样本记录、随机过程 样本函数：对随机信号进行多次长时间的观察记录， 其中每次长时间观察记录所获得的时间历程
p( x)
lim
x
p( x x ( t ) xx ) x
p( x)
lim
x 0
1 x
[
T
lim
Tx T
]
p(x)的计算方法
概率密度函数恒为正实数。
正弦信号
6.2 幅值域分析
正弦信号加随机噪声
不同信号的 概率密度函数是不同的
窄带随机噪声
宽带随机噪声
6.2 幅值域分析
三、概率密度函数的工程应用
6.4 功率谱密度分析
4）谱估计方法 用有限长度T的样本记录计算样本功率谱，作为信号 功率谱的初步估计值。 模拟信号
数字信号
6.4 功率谱密度分析
经典谱估计（周期图法）
离散化
x(t)
x(k) DFT
幅值谱 X ( f )
Sx( f )
1 N
X( f )2
改进算法：
把原样本记录长度T总分段
T
T总 q
6.3 相关分析 三、自相关函数
定义自相关系数
Rx
(
)
lim
T
1 T
T
x(t)x(t )dt
0
6.3 相关分析 四、相关函数的性质
相关函数描述了两个信号间或信号自身不同时刻的相似 程度，通过相关分析可以发现信号中许多有规律的东西。 1、自相关函数的性质
（1）偶函数，RX()=Rx(- )；
（4）两随机信号无同频成分时， （不同频不相关）
6.3 相关分析 五、相关分析的工程应用
案例：机械加工表面粗糙度自相关分析
被测工件
相关分析
性质3，性质4：提取出回转误差等周期性的故障源。
案例：燃气轮机噪声信号的自相关分析
6.3 相关分析
案例：自相关分析测量转速
理想信号
实测信号
自相关系数
干扰信号
2 x
[x
x
]2
p(
x)dx
获得了概率密度函数就是得到了有关 的数字特征参数。
6.2 幅值域分析
图谱
6.2 幅值域分析
在工程实际中，信号的概率密度分析主要应用在以 下几个方面： （1）判别信号的性质 （2）作为产品设计的依据，也可用于机械零件疲劳寿
命的估计和疲劳试验。 （3）机器的故障诊断
第6章 信号的幅值、相关功率谱分析
6.4 功率谱密度分析
3）自功率谱密度函数与幅值谱间的关系
结论： （1）信号x(t)的自功率谱密度函数Sx(f)不仅可从其自相关 函数的傅立叶积分变换中获得，也可以从信号的幅值谱获 得。 （2）自功率谱密度函数Sx(f)和信号的幅值谱都反映了信号 x(t)的频率结构，但有各自的量纲。 （3） Sx(f)反映的是信号的幅值频谱的平方，使信号中的 高幅值分量更突出。
定义 为x(t)的自功率谱密度函数， 即
6.4 功率谱密度分析
2）功率谱的物理意义
若τ=0，则根据自相关函数和自功率谱密度函数的定义，
可得到
Rx
0
lim
T
1 T
T x2 tdt
0
Sx
f
df
可见，自功率谱密度函数的曲线下和频率轴所包围的面积
就是信号的平均功率。
自功率谱密度表示了信号的功率随频率的分布规律
Sxy f Sxf
（2）可在强噪声背景下分析系统的特性
案例：查找电析
总结信号分析方法（一）
数字特 幅 征参数
非值
确 谱 概率密
定
度函数
性 信 号
相 关
自相关
分 析 互相关
总结信号分析方法（二）
非 功率
确 谱密
定 度函
性数
信 号
其它 分析
方法
自谱
（2）当 =0 时，自相关函数具有最大值。
均方值
Rx
(0)
2 x
（3）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号， 但不保留原信号的相位信息。
（4）随机信号的自相关函数将随 的增大快速衰减。
6.3 相关分析 2、互相关函数的性质
（1）互相关函数不是偶函数。 （2）当τ=0，互相关函数不一定取得最大值 （3）周期信号的互相关函数仍是同频的周期函数， 还保留了原信号的相位信息。（同频相关）
定义相关系数 有
两波形不存在相似关系 两波形完全相似 两波形相似，相位相反
6.3 相关分析
计算时，令x(t)、y(t)二个信号之间产生时差τ，再相乘和 积分，就可以得到τ时刻二个信号的相关性。
x(t) y(t)
图例
时 延 器
y(t-τ)
x(t)y(t-τ)
乘 法 器
积 Rxy(τ)
分 器
*
6.3 相关分析
为一个样本函数
样本记录：在有限长时间区间（t1,t2）上的样本函数xi(t) 随机过程：在试验条件不变时所有样本函数的集合。
6.1 随机信号的基本概念 2、集合平均、时间平均
集合平均：利用随机过程|x(t)|中所有样本函数xi(t) 在ti时刻的观察值进行运算再取其平均的方法。
例：某随机过程在t1时刻的均值
6.3 相关分析
设两个信号x(t),y(t),把两个信号等间隔分成N个离散值，记 即
Q=0 两信号相等 Q大 两信号不相似 Q小 两信号相似
令
考虑信号时间
的起始点，在其中一个信号中
引入时间平移量，则
6.3 相关分析
二、互相关函数
可以定量的分析两个信号波形之间的相似程度。由离散 值变为连续值进行计算，有定义：
3、功率谱的工程应用
可能值 0 1
0∽1
可能性 输入信号与输入信号不相干
输入信号与输入信号完全相干，系统 不受干扰且系统是线性的 测试中有外界噪声干扰 输出y(t)是输入x(t)和其他的综合输出 系统是非线性的
（1）可利用互谱求系统的传递函数
Hf
Hf
f
H
f
y f x f
y f x f
X f X f
1、概率分布函数 概率分布函数是信号幅值小于或等于某值R的概率，
其定义为：
R
F ( x) p( x)dx
概率分布函数又称之为累积概率，表示了落在某一区 间的概率。
利用概率密度函数可以完成各态历经 过程的数字特征计算
均 值 ：
x
xp( x)dx
均 方 值 ：
2 x
x2 p( x)dx
方 差 ：
6.2 幅值域分析
2）均方值
信号的均方值E[x2(t)]，表达了信号的强度；其正平 方根值，又称为有效值(RMS)，也是信号平均能量的一种
表达。
2 x
E[x2(t)]
lim
1 T
T x2(t)dt
0
T
（连续量）
常用样本记录来估计：
工程测量中仪器的表头示值就是信号的有效值。
6.2 幅值域分析
对每段分别用周期图法求 其功率谱的初步估计值
求诸段功率谱的初 步估计值的平均值
6.4 功率谱密度分析
2、互功率谱密度函数
1）互功率谱密度函数的定义
定义为信号x(t),y(t)的互相关函数的傅立叶变换。
Sxy ( f )
Rxy
(
)e
j
2
f
d
Syx ( f )
Ryx
(
)e
j
2
f
d
其逆变换为
6.3 相关分析 一、相关函数的意义
例如，玻璃管温度 计液面高度(Y)与环 境温度(x)的关系就 是近似理想的线形 相关，在两个变量 相关的情况下，可 以用其中一个可以 测量的量的变化来 表示另一个量的变 化。
相关指变量之间的相依关系，统计学中用相关系数来
描述变量x，y之间的相关性。Rxy是两随机变量之积的数学 期望，称为相关性，表征了x、y之间的关联程度。
Rxy ( )
Sxy
(
f
)e
j 2
f
df
Ryx ( )
S
yx
(
f
)e
j
2
f
df
估计式
S
xy
(
f
)
1 T
X( f )•Y( f )
6.4 功率谱密度分析
2）相干函数
2
定义
2 xy
(
f
)
Sxy ( f ) Sx( f )Sy(
f
)
0
2 xy
(
f
)
1
评价输出与输入间的因果关系
6.4 功率谱密度分析
3）方差
信号x(t)的方差定义为：
2 x
E[(x(t)
E[x(t)])2 ]
lim
1 T
T 0
(
x(t
)
x
)2
dt
T
大方差
小方差
方差：反映了信号绕均值的波动程度。
6.2 幅值域分析
二、概率密度函数分析
以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的概 率为纵坐标进行统计分析的方法。它反映了信号落在不 同幅值强度区域内的概率情况。
互谱 功时谱分析 时序分析 小波分析
作业：P117
6.5 6.6 6.7
幅值域分析 随机信号分析 时域分析
均值 均方值 方差 概率密度函数 自相关函数
互相关函数
频域分析
自功率谱分析 互功率谱分析
一、数字特征参数
1）均值：均值E[x(t)]表示集合平均值或数学期望值。
T
x
E[x(t)]
lim
1 T
T
0
x( t )dt
（连续量）
常用样本记录来估计：
A
0
t x
均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为直流分量。
某随机过程在t1时刻的均方值
时间平均：利用随机过程|x(t)|中第i个样本函数xi(t)， 当观察时间T→∞,对所有观察值进行运算再取其平 均的方法。
6.1 随机信号的基本概念
3、随机过程的分类 （1）平稳随机过程和非平稳随机过程
若一随机过程的集合平均统计参数不随时间 变化，则该随机过程称为平稳随机过程
（2）各态历经随机过程和非各态历经随机过程
在平稳随机过程中，若某随机过程用集 合平均得到的统计参数与任一单个样本用 时间平均得到的统计参数相同，则称为各 态历经随机过程。
第6章 信号的幅值、相关功率谱分析 6.2 幅值域分析
随机信号既不是能量有限，又不是功率有限信 号，因此，原则上讲不能进行傅立叶变换。
自相关分析的主要应用：
用来检测混肴在干扰信号 中的确定性周期信号成分。
性质3，性质4：提取周期性转速成分。
6.3 相关分析
案例：确定水管漏水部位
案例：互相关测速
第6章 信号的幅值、相关功率谱分析 6.4 功率谱密度分析
1、自功率谱密度函数
1）自功率谱密度函数的定义 定义：设随机信号X(t)，有 则x(t)的自相关函数满足傅立叶积分变换条件：
总结
第6章 信号的幅值、相关功率谱分析 6.1 随机信号的基本概念
1、样本函数、样本记录、随机过程 样本函数：对随机信号进行多次长时间的观察记录， 其中每次长时间观察记录所获得的时间历程
p( x)
lim
x
p( x x ( t ) xx ) x
p( x)
lim
x 0
1 x
[
T
lim
Tx T
]
p(x)的计算方法
概率密度函数恒为正实数。
正弦信号
6.2 幅值域分析
正弦信号加随机噪声
不同信号的 概率密度函数是不同的
窄带随机噪声
宽带随机噪声
6.2 幅值域分析
三、概率密度函数的工程应用
6.4 功率谱密度分析
4）谱估计方法 用有限长度T的样本记录计算样本功率谱，作为信号 功率谱的初步估计值。 模拟信号
数字信号
6.4 功率谱密度分析
经典谱估计（周期图法）
离散化
x(t)
x(k) DFT
幅值谱 X ( f )
Sx( f )
1 N
X( f )2
改进算法：
把原样本记录长度T总分段
T
T总 q
6.3 相关分析 三、自相关函数
定义自相关系数
Rx
(
)
lim
T
1 T
T
x(t)x(t )dt
0
6.3 相关分析 四、相关函数的性质
相关函数描述了两个信号间或信号自身不同时刻的相似 程度，通过相关分析可以发现信号中许多有规律的东西。 1、自相关函数的性质
（1）偶函数，RX()=Rx(- )；
（4）两随机信号无同频成分时， （不同频不相关）
6.3 相关分析 五、相关分析的工程应用
案例：机械加工表面粗糙度自相关分析
被测工件
相关分析
性质3，性质4：提取出回转误差等周期性的故障源。
案例：燃气轮机噪声信号的自相关分析
6.3 相关分析
案例：自相关分析测量转速
理想信号
实测信号
自相关系数
干扰信号
2 x
[x
x
]2
p(
x)dx
获得了概率密度函数就是得到了有关 的数字特征参数。
6.2 幅值域分析
图谱
6.2 幅值域分析
在工程实际中，信号的概率密度分析主要应用在以 下几个方面： （1）判别信号的性质 （2）作为产品设计的依据，也可用于机械零件疲劳寿
命的估计和疲劳试验。 （3）机器的故障诊断
第6章 信号的幅值、相关功率谱分析
6.4 功率谱密度分析
3）自功率谱密度函数与幅值谱间的关系
结论： （1）信号x(t)的自功率谱密度函数Sx(f)不仅可从其自相关 函数的傅立叶积分变换中获得，也可以从信号的幅值谱获 得。 （2）自功率谱密度函数Sx(f)和信号的幅值谱都反映了信号 x(t)的频率结构，但有各自的量纲。 （3） Sx(f)反映的是信号的幅值频谱的平方，使信号中的 高幅值分量更突出。
定义 为x(t)的自功率谱密度函数， 即
6.4 功率谱密度分析
2）功率谱的物理意义
若τ=0，则根据自相关函数和自功率谱密度函数的定义，
可得到
Rx
0
lim
T
1 T
T x2 tdt
0
Sx
f
df
可见，自功率谱密度函数的曲线下和频率轴所包围的面积
就是信号的平均功率。
自功率谱密度表示了信号的功率随频率的分布规律
Sxy f Sxf
（2）可在强噪声背景下分析系统的特性
案例：查找电析
总结信号分析方法（一）
数字特 幅 征参数
非值
确 谱 概率密
定
度函数
性 信 号
相 关
自相关
分 析 互相关
总结信号分析方法（二）
非 功率
确 谱密
定 度函
性数
信 号
其它 分析
方法
自谱
（2）当 =0 时，自相关函数具有最大值。
均方值
Rx
(0)
2 x
（3）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号， 但不保留原信号的相位信息。
（4）随机信号的自相关函数将随 的增大快速衰减。
6.3 相关分析 2、互相关函数的性质
（1）互相关函数不是偶函数。 （2）当τ=0，互相关函数不一定取得最大值 （3）周期信号的互相关函数仍是同频的周期函数， 还保留了原信号的相位信息。（同频相关）
定义相关系数 有
两波形不存在相似关系 两波形完全相似 两波形相似，相位相反
6.3 相关分析
计算时，令x(t)、y(t)二个信号之间产生时差τ，再相乘和 积分，就可以得到τ时刻二个信号的相关性。
x(t) y(t)
图例
时 延 器
y(t-τ)
x(t)y(t-τ)
乘 法 器
积 Rxy(τ)
分 器
*
6.3 相关分析
为一个样本函数
样本记录：在有限长时间区间（t1,t2）上的样本函数xi(t) 随机过程：在试验条件不变时所有样本函数的集合。
6.1 随机信号的基本概念 2、集合平均、时间平均
集合平均：利用随机过程|x(t)|中所有样本函数xi(t) 在ti时刻的观察值进行运算再取其平均的方法。
例：某随机过程在t1时刻的均值
6.3 相关分析
设两个信号x(t),y(t),把两个信号等间隔分成N个离散值，记 即
Q=0 两信号相等 Q大 两信号不相似 Q小 两信号相似
令
考虑信号时间
的起始点，在其中一个信号中
引入时间平移量，则
6.3 相关分析
二、互相关函数
可以定量的分析两个信号波形之间的相似程度。由离散 值变为连续值进行计算，有定义：
3、功率谱的工程应用
可能值 0 1
0∽1
可能性 输入信号与输入信号不相干
输入信号与输入信号完全相干，系统 不受干扰且系统是线性的 测试中有外界噪声干扰 输出y(t)是输入x(t)和其他的综合输出 系统是非线性的
（1）可利用互谱求系统的传递函数
Hf
Hf
f
H
f
y f x f
y f x f
X f X f
1、概率分布函数 概率分布函数是信号幅值小于或等于某值R的概率，
其定义为：
R
F ( x) p( x)dx
概率分布函数又称之为累积概率，表示了落在某一区 间的概率。
利用概率密度函数可以完成各态历经 过程的数字特征计算
均 值 ：
x
xp( x)dx
均 方 值 ：
2 x
x2 p( x)dx
方 差 ：
6.2 幅值域分析
2）均方值
信号的均方值E[x2(t)]，表达了信号的强度；其正平 方根值，又称为有效值(RMS)，也是信号平均能量的一种
表达。
2 x
E[x2(t)]
lim
1 T
T x2(t)dt
0
T
（连续量）
常用样本记录来估计：
工程测量中仪器的表头示值就是信号的有效值。
6.2 幅值域分析
对每段分别用周期图法求 其功率谱的初步估计值
求诸段功率谱的初 步估计值的平均值
6.4 功率谱密度分析
2、互功率谱密度函数
1）互功率谱密度函数的定义
定义为信号x(t),y(t)的互相关函数的傅立叶变换。
Sxy ( f )
Rxy
(
)e
j
2
f
d
Syx ( f )
Ryx
(
)e
j
2
f
d
其逆变换为
6.3 相关分析 一、相关函数的意义
例如，玻璃管温度 计液面高度(Y)与环 境温度(x)的关系就 是近似理想的线形 相关，在两个变量 相关的情况下，可 以用其中一个可以 测量的量的变化来 表示另一个量的变 化。
相关指变量之间的相依关系，统计学中用相关系数来
描述变量x，y之间的相关性。Rxy是两随机变量之积的数学 期望，称为相关性，表征了x、y之间的关联程度。
Rxy ( )
Sxy
(
f
)e
j 2
f
df
Ryx ( )
S
yx
(
f
)e
j
2
f
df
估计式
S
xy
(
f
)
1 T
X( f )•Y( f )
6.4 功率谱密度分析
2）相干函数
2
定义
2 xy
(
f
)
Sxy ( f ) Sx( f )Sy(
f
)
0
2 xy
(
f
)
1
评价输出与输入间的因果关系
6.4 功率谱密度分析
3）方差
信号x(t)的方差定义为：
2 x
E[(x(t)
E[x(t)])2 ]
lim
1 T
T 0
(
x(t
)
x
)2
dt
T
大方差
小方差
方差：反映了信号绕均值的波动程度。
6.2 幅值域分析
二、概率密度函数分析
以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的概 率为纵坐标进行统计分析的方法。它反映了信号落在不 同幅值强度区域内的概率情况。
互谱 功时谱分析 时序分析 小波分析
作业：P117
6.5 6.6 6.7
幅值域分析 随机信号分析 时域分析
均值 均方值 方差 概率密度函数 自相关函数
互相关函数
频域分析
自功率谱分析 互功率谱分析
一、数字特征参数
1）均值：均值E[x(t)]表示集合平均值或数学期望值。
T
x
E[x(t)]
lim
1 T
T
0
x( t )dt
（连续量）
常用样本记录来估计：
A
0
t x
均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为直流分量。
某随机过程在t1时刻的均方值
时间平均：利用随机过程|x(t)|中第i个样本函数xi(t)， 当观察时间T→∞,对所有观察值进行运算再取其平 均的方法。
6.1 随机信号的基本概念
3、随机过程的分类 （1）平稳随机过程和非平稳随机过程
若一随机过程的集合平均统计参数不随时间 变化，则该随机过程称为平稳随机过程
（2）各态历经随机过程和非各态历经随机过程
在平稳随机过程中，若某随机过程用集 合平均得到的统计参数与任一单个样本用 时间平均得到的统计参数相同，则称为各 态历经随机过程。
第6章 信号的幅值、相关功率谱分析 6.2 幅值域分析
随机信号既不是能量有限，又不是功率有限信 号，因此，原则上讲不能进行傅立叶变换。
自相关分析的主要应用：
用来检测混肴在干扰信号 中的确定性周期信号成分。
性质3，性质4：提取周期性转速成分。
6.3 相关分析
案例：确定水管漏水部位
案例：互相关测速
第6章 信号的幅值、相关功率谱分析 6.4 功率谱密度分析
1、自功率谱密度函数
1）自功率谱密度函数的定义 定义：设随机信号X(t)，有 则x(t)的自相关函数满足傅立叶积分变换条件：