2019年湖南省衡阳市庙前中学高三数学文上学期期末试题含解析

2019年湖南省衡阳市庙前中学高三数学文上学期期末
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是( )
A．B．C．D．
参考答案：
2. 已知函数（为自然对数的底数）在(0,+∞)上有两个零点，则m的范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
利用参数分离法进行转化，，设（且），
构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．
【详解】解：由得，当时，方程不成立，即，
则，
设（且），
则，∵且，∴由得，
当时，，函数为增函数，
当且时，，函数为减函数，
则当时函数取得极小值，极小值为，
当时，，且单调递减，作出函数的图象如图：
要使有两个不同的根，
则即可，
即实数的取值范围是.
方法2：由得，
设，，
，当时，，则为增函数，
设与，相切时的切点为，切线斜率，则切线方程为，
当切线过时，，
即，即，得或（舍），则切线斜率，
要使与在上有两个不同的交点，则，
即实数的取值范围是.
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数极值的应用，利用数形结合以及参数分离法进行转化，求函数的导数研究函数的单调性极值，利用数形结合是解决本题的关键．
3. 设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)是变量x和y的n个样本
点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是()
A．直线l过点
B．x和y的相关系数为直线l的斜率
C．x和y的相关系数在0到1之间
D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
参考答案：
A
略
4. 过点P（4，8）且被圆x2+y2=25截得的弦长为6的直线方程是（）
A．3x﹣4y+20=0 B．3x﹣4y+20=0或x=4
C．4x﹣3y+8=0 D．4x﹣3y+8=0或x=4
参考答案：
B
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由圆的方程，可知圆心（0，0），r=5，圆心到弦的距离为4，若直线斜率不存
在，则垂直x轴x=4，成立；若斜率存在，由圆心到直线距离d==4，即可求得直线斜率，求得直线方程．
【解答】解：圆心（0，0），r=5，圆心到弦的距离为4，
若直线斜率不存在，则垂直x轴
x=4，圆心到直线距离=|0﹣4|=4，成立；
若斜率存在
y﹣8=k（x﹣4）即：kx﹣y﹣4k+8=0
则圆心到直线距离d==4，解得k=，
综上：x=4和3x﹣4y+20=0，
故选B．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了圆心距，弦半距及半径构成的直角三角形，直线的方程形式及其性质，属于中档题．
5. 已知集合，，则A∩B=（）A．B．
C．D．
参考答案：
D
由题意得：，
∴
故选：D
6. 设是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：
①若，则②若，则
③若，则④若，则
其中，真命题的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
A
7. 已知双曲线的右顶点到渐近线的距离等于虚轴长的则双曲线的离心率是（）
A．B． C. D．3
参考答案：
A
由题意知，，渐近线方程为，则右顶点到渐近线的距离
，即.故选A.
8. 若集合则等于（）
参考答案：
A
9. 设S n是数列{a n}的前n项和，若，，则
（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
当时，，则，
即，则，从而，故
.
10. 已知点F双曲线右焦点，直线与双曲C交于A，B两点，且，则该双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
设右焦点F（c，0），
将直线方程y＝2b代入双曲线方程可得x＝±，
可得A（，2b），B（a，2b），
由＝90°，
即有（c，2b）?（c，2b）＝0，
化简为﹣5a2+c2+4b2＝0，可得5c2＝9a2，∴e=
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数则 .
参考答案：
4
.
12. 若直线是曲线的切线，则a的值是_____．
参考答案：
-1
设切点的横坐标为，，
则有，
令，
则在上单调递增，在上单调递减，
又因为，所以，故答案为．
13. 函数上的最大值为
参考答案：
14. 若函数在内有极小值，则实数的取值范围是.
参考答案：
略
15. 当0<x≤时，4x<log a x，则a的取值范围是_____▲____
参考答案：
略
16. 若函数f(x)=(3－a)x与g(x)=log a x的增减性相同，则实数a的取值范围是_________．
参考答案：
略
17. 的值域为；
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设函数
（1）求的单调区间；
（2）证明：曲线不存在经过原点的切线.
参考答案：
（1）时，在区间及内单调递增，在
内单调递减；时，在内单调递增；（2）证明见解析．
试题分析：（1）研究单调区间，先求导数，接着研究的正负，按或分类可得结论；（2）否定性命题，可用反证法，即假设曲线在点处的切线经过原点，则，即
，下面只要证明这个方程无实数解即可，这又要化简此方程，然后用导数研究函数得结论．
（2）假设曲线在点处的切线经过原点，
则有，即，
化简得：（*）
记，则，
令，解得.
当时，，当时，，
∴是的最小值，即当时，.
由此说明方程(*)无解，∴曲线没有经过原点的切线.
考点：导数与单调性，导数的几何意义，反证法．
【名师点睛】1．求函数的单调区间常用方法：
①确定函数y＝f(x)的定义域；
②求导数y′＝f′(x)；
③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
④解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
2．数学上对否定性命题，含有“至少”、“至多”等词的命题等一般用反证法证明，一般是假设结论的反面成立，然后以此为基础进行推导，最后得出矛盾的结论（与已知、定义、定理矛盾，或推出相互矛盾的结论等等）．从而说明假设错误，原结论正确．
19. 如图，已知AB为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C作半圆的切线CF，过点A作CF的垂线，垂足为D，AD交半圆于点E，连结EC，BC，AC．
（Ⅰ）证明：AC平分；
（Ⅱ）若AB=3，DE=，求的面积．
参考答案：
见解析
考点：几何选讲
试题解析：（Ⅰ）证明：由CD为半圆O的切线，根据弦切角定理得，
又因为，得，
所以AC平分；
（Ⅱ）解：
由CD为半圆O的切线，根据弦切角定理得，
又因为，所以，
可得，则
又因为EC=BC，AB=3，，所以，即
20. 在中，、、分别是三内角A、B、C的对应的三边，已知。

（Ⅰ）求角A的大小;
（Ⅱ）若，判断的形状。

参考答案：
（Ⅰ）在中，，又
∴
（Ⅱ）∵，∴
∴，，
，∴，
∵，∴, ∴为等边三角形。

略
21. 记函数的定义域为，的定义域为.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
参考答案：
解：（1）
（2）
22. 设某旅游景点每天的固定成本为500元，门票每张为30元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比．一天购票人数为25人时，该旅游景点收支平衡；一天购票人数超过100人时，该旅游景点需另交保险费200元．设每天的购票人数为x人，赢利额为y元．
（1）求y与x之间的函数关系；
（2）该旅游景点希望在人数达到20人时即不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元（取整数）？注：①利润=门票收入﹣固定成本﹣变动成本；
②可选用数据：，，．
参考答案：
解：（1）依题意有可设变动成本
答：
当x=25时，有?k=50 故（0＜x≤100，x∈N*）
当x＞100时，
∴
（2）设每张门票至少需要a元，则有
又a取整数，故取a=37．
答：每张门票至少需要37元．。