长寿区高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题(1)

长寿区高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 已知三个数1a -，1a +，5a +成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{}n a 的前三 项，则能使不等式1212111
n n
a a a a a a +++≤
+++L L 成立的自然数的最大值为（ ） A ．9 B ．8 C.7
D ．5
2． 已知直线34110m x y +-=：与圆2
2
(2)4C x y -+=：交于A B 、两点，P 为直线3440n x y ++=：上任意
一点，则PAB ∆的面积为（ ） A ．23 B. 3
32
C. 33
D. 43 3． 设x ，y ∈R ，且满足，则x+y=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4． 设a=0.5，b=0.8
，c=log 20.5，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）
A ．c ＜b ＜a
B ．c ＜a ＜b
C ．a ＜b ＜c
D ．b ＜a ＜c
5． 已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为（ ）
A ．24
B ．80
C ．64
D ．240
6． 如图所示，在三棱锥P ABC -的六条棱所在的直线中，异面直线共有（ ）111]
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．6对
7． 若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有
()()
2121
0f x f x x x -<-，则
（ ）
A ．()()()213f f f -<<
B ．()()()123f f f <-<
C ．()()()312f f f <<
D ．()()()321f f f <-< 8． 已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}0
1
2
|{≥--=x x x B ，则)(B C A R I 等于（ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1[ D ．]2,1[
【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.
9． 如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形．则该几何体表面积等于（ ）
A ．12+
B ．12+23π
C ．12+24π
D ．12+π
10．“
”是“
”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．已知2->a ，若圆1O ：0158222
2
=---++a ay x y x ，圆2O ：044222
2
2
=--+-++a a ay ax y x 恒有公共点，则a 的取值范围为（ ）.
A ．),3[]1,2(+∞--Y
B ．),3()1,35
(+∞--Y C ．),3[]1,3
5[+∞--Y D ．),3()1,2(+∞--Y 12．函数()log 1x
a f x a x =-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A ．()1,10
B ．()1,+∞
C ．()0,1
D ．()10,+∞
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．函数
的最小值为_________.
14．数列{ a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋c （c 为常数），{a n }的前10项和为S 10＝200，则c ＝________．
15．设函数()()()31
321
x a x f x x a x a x π⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩，，，若()f x 恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．
16．已知圆C 的方程为2
2
230x y y +--=，过点()1,2P -的直线与圆C 交于,A B 两点，若使AB
最小则直线的方程是 ．
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．设集合{}
{}2|8150,|10A x x x B x ax =-+==-=．
（1）若1
5
a =，判断集合A 与B 的关系； （2）若A B B =I ，求实数组成的集合C ．
18．数列{a n }满足a 1=
，a n ∈（﹣
，
），且tana n+1•cosa n =1（n ∈N *）．
（Ⅰ）证明数列{tan 2a n }是等差数列，并求数列{tan 2a n }的前n 项和； （Ⅱ）求正整数m ，使得11sina 1•sina 2•…•sina m =1．
19．数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足*
2120()n n n a a a n N ++-+=∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设12||||||n n S a a a =++L ，求n S .
20．已知A （﹣3，0），B （3，0），C （x 0，y 0）是圆M 上的三个不同的点． （1）若x 0=﹣4，y 0=1，求圆M 的方程；
（2）若点C 是以AB 为直径的圆M 上的任意一点，直线x=3交直线AC 于点R ，线段BR 的中点为D ．判断直线CD 与圆M 的位置关系，并证明你的结论．
21．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲1111]
如图，点C 为圆O 上一点，CP 为圆的切线，CE 为圆的直径，3CP =.
（1）若PE 交圆O 于点F ，16
5
EF =
，求CE 的长； （2）若连接OP 并延长交圆O 于,A B 两点，CD OP ⊥于D ，求CD 的长.
22．（本题10分）解关于的不等式2
(1)10ax a x -++>.
长寿区高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 【答案】C
【解析】
试题分析：因为三个数1,1,5a a a -++等比数列，所以()()()2
115,3a a a a +=-+∴=，倒数重新排列后恰
好为递增的等比数列{}n a 的前三项，为111,,
842，公比为，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以为首项，1
2为公比的等比数列，则
不等式1212111n n a a a a a a +++≤+++L L 等价为()1181122811212
n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤--，整理，得
722,17,n n n N +≤∴≤≤≤∈，故选C. 1
考点：1、等比数列的性质；2、等比数列前项和公式. 2． 【答案】 C
【解析】解析：本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算.
圆心C 到直线m 的距离1d =
，||AB ==m n 、之间的距离为3d '=，∴PAB ∆
的面积为
1
||2
AB d '⋅=，选C ． 3． 【答案】D
【解析】解：∵（x ﹣2）3+2x+sin （x ﹣2）=2， ∴（x ﹣2）3+2（x ﹣2）+sin （x ﹣2）=2﹣4=﹣2，
∵（y ﹣2）3+2y+sin （y ﹣2）=6， ∴（y ﹣2）3+2（y ﹣2）+sin （y ﹣2）=6﹣4=2，
设f （t ）=t 3+2t+sint ， 则f （t ）为奇函数，且f'（t ）=3t 2+2+cost ＞0， 即函数f （t ）单调递增．
由题意可知f （x ﹣2）=﹣2，f （y ﹣2）=2，
即f （x ﹣2）+f （y ﹣2）=2﹣2=0， 即f （x ﹣2）=﹣f （y ﹣2）=f （2﹣y ），
∵函数f （t ）单调递增 ∴x ﹣2=2﹣y ， 即x+y=4，
故选：D ． 【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用条件构造函数f （t ）是解决本题的关键，综合考查了函数的性
质．
4． 【答案】B 【解析】解：∵a=0.5，b=0.8，
∴0＜a ＜b ， ∵c=log 20.5＜0， ∴c ＜a ＜b ， 故选B ．
【点评】本题主要考查了对数值、指数值大小的比较，常常与中间值进行比较，属于基础题．
5． 【答案】B 【解析】 试题分析：805863
1
=⨯⨯⨯=
V ,故选B. 考点：1.三视图；2.几何体的体积. 6． 【答案】B 【解析】
试题分析：三棱锥P ABC -中，则PA 与BC 、PC 与AB 、PB 与AC 都是异面直线，所以共有三对，故选B ．
考点：异面直线的判定． 7． 【答案】D 8． 【答案】C
9． 【答案】C
【解析】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱， 其表面积为
S=[×（2+8）×4﹣2×4]+[×π•（42﹣12）+×（4π×﹣π×）+×8π]
=12+24π．
故选：C ．
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．
10．【答案】B 【解析】解：，解得
或x ＜0，
∴“
”是“
”的必要不充分条件．
故选：B ．
11．【答案】C
【解析】由已知，圆1O 的标准方程为222
(1)()(4)x y a a ++-=+，圆2O 的标准方程为 222
()()(2)x a y a a ++-=+，∵ 2->a ，要使两圆恒有公共点，则122||26O O a ≤≤+，即
62|1|2+≤-≤a a ，解得3≥a 或1
35
-≤≤-a ，故答案选C
12．【答案】B 【解析】
试题分析：函数()f x 有两个零点等价于1x
y a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
与log a y x =的图象有两个交点，当01a <<时同一坐标
系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当1a >时同一坐标系中做出两函数图象如图
（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.
123
-1
-2-3-1
-2
1
2
x
y
O
1234
-1
-2-3-4-1
-2
1
2
x
y
O
（1） （2）
考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.
【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方程()y f x =零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化
法：函数()y f x =零点个数就是方程()0f x =根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周
期性、对称性） 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．【答案】﹣ 【解析】∵f （x ）=log 2•log
（2x ）
∴f （x ）=log •log （2x ）
=log x •log （2x ） =log x （log x+log 2） =log x （log
x+2）
=，
∴当log x+1=0
即x=
时，函数f （x ）的最小值是。

故答案为：﹣ 14．【答案】
【解析】解析：由a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋c ，知数列{a n }是以2为首项，公差为c 的等差数列，由S 10＝200得 10×2＋10×9
2×c ＝200，∴c ＝4.
答案：4
15．【答案】11[3)32⎡⎤
+∞⎢⎥⎣⎦
U ，，
【解析】
考
点：1、分段函数；2、函数的零点.
【方法点晴】本题考查分段函数，函数的零点，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想、数形结合思想和转化化归思想，综合性强，属于较难题型.首先利用分类讨论思想结合数学结合思想，对()3x g x a =-于轴的交点个数进行分情况讨论，特别注意：1.在1x <时也轴有一个交点式，还需31a ≥且
21a <；2. 当()130g a =-≤时，()g x 与轴无交点，但()h x 中3x a =和2x a =，两交点横坐标均满足1x ≥.
16．【答案】30x y -+= 【解析】
试题分析：由圆C 的方程为2
2
230x y y +--=，表示圆心在(0,1)C ，半径为的圆，点()1,2P -到圆心的距
2，小于圆的半径，所以点()1,2P -在圆内，所以当AB CP ⊥时，AB 最小，此时
11,1CP k k =-=，由点斜式方程可得，直线的方程为21y x -=+，即30x y -+=.
考点：直线与圆的位置关系的应用.
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．【答案】（1）A B ⊆；（2）{}5,3,0=C . 【解析】
考点：1、集合的表示；2、子集的性质.
18．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵对任意正整数n，a n∈（﹣，），且tana n+1•cosa n=1（n∈N*）．
故tan2a n+1==1+tan2a n，
∴数列{tan2a n}是等差数列，首项tan2a1=，以1为公差．
∴=．
∴数列{tan2a n}的前n项和=+=．
（Ⅱ）解：∵cosa n＞0，∴tana n+1＞0，．
∴tana n=，，
∴sina1•sina2•…•sina m=（tana1cosa1）•（tana2•cosa2）•…•（tana m•cosa m）
=（tana2•cosa1）•（tana3cosa2）•…•（tana m•cosa m﹣1）•（tana1•cosa m）
=（tana1•cosa m）==，
由，得m=40．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
19．【答案】（1）102n a n =-；（2）229(5)940(5)
n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩． 【解析】
试题分析：（1）由2120n n n a a a ++-+=，所以{}n a 是等差数列且18a =，42a =，即可求解数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）令0n a =，得5n =，当5n >时，0n a <；当5n =时，0n a =；当5n <时，0n a >，即可分类讨论求解数列n S ．
当5n ≤时，12||||||n n S a a a =++L 2129n a a a n n =+++=-L ∴229(5)940(5)
n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩.1 考点：等差数列的通项公式；数列的求和．
20．【答案】
【解析】解：（1）设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0
圆的方程为x 2+y 2﹣8y ﹣9=0…
（2）直线CD 与圆M 相切O 、D 分别是AB 、BR 的中点
则OD ∥AR ，∴∠CAB=∠DOB ，∠ACO=∠COD ，
又∠CAO=∠ACO ，∴∠DOB=∠COD
又OC=OB ，所以△BOD ≌△COD
∴∠OCD=∠OBD=90°
即OC ⊥CD ，则直线CD 与圆M 相切． …
（其他方法亦可）
21．【答案】（1）4CE =；（2）613CD =
. 【解析】
试题分析：（1）由切线的性质可知ECP ∆∽EFC ∆，由相似三角形性质知::EF CE CE EP =,可得4CE =；
（2）由切割线定理可得2(4)CP BP BP =+，求出,BP OP ,再由CD OP OC CP ⋅=⋅,求出CD 的值. 1 试题解析：
（1）因为CP 是圆O 的切线，CE 是圆O 的直径，所以CP CE ⊥，090CFE ∠=，所以ECP ∆∽EFC ∆, 设CE x =，29EP x =
+，又因为ECP ∆∽EFC ∆，所以::EF CE CE EP =， 所以221695
x x =+，解得4x =.
考点：1.圆的切线的性质；2.切割线定理；3.相似三角形性质.
22．【答案】当1a >时，),1()1,(+∞-∞∈Y a x ，当1a =时，),1()1,(+∞-∞∈Y x ，当1a 0<<时，
),1
()1,(+∞-∞∈a x Y ，当0a =时，)1,(-∞∈x ，当0a <时，)1,1
(a x ∈.
考点：二次不等式的解法，分类讨论思想.。