云南省2020届高三毕业班教学质量摸底考试数学(理)试题

2020届高三毕业班摸底考试
理科数学试题卷
（考试时间：120分钟；全卷满分：150分）
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合2
{|1},{|20},A x x B x x x =<=-<则A B =U （ ）
A. {|1}x x <
B. {|2}x x <
C. {|01}x x <<
D. {|02}x x <<{|12}x x << 2. 复数
21i
i
-++在复平面内表示的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 已知{}n a 为等差数列，若34812a a a ++=，则9S =（ ） A. 24
B. 27
C. 36
D. 54
4．已知双曲线22
13y x m
-=的离心率为233，则m 的值为 （ ）
A. 1错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

B.
6
5
错误!未找到引用源。

C.3 D. 9 错误!未找到引用源。

5.向如图的正方形内随机投掷一质点，则该质点落在阴影部分的概率为（ ） A ．
12 B ．13 C ．2
3
D ．
4
π
6.已知向量a 与向量b 的夹角为60︒，1||=a ，23-=b a ，则=b （ ）
A ．1
B ．2
C ． 22
D ．
12
7. 6
2()x x
-的展开式中的常数项是( )
A. -120
B.-60
C.60
D. 120
第5题图
8. 将函数()cos f x x =的图像横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，再向右平移
6π
个长度单位，得到的函数图像的一条对称轴为（ ） A ．3x π= B ．512x π= C ．712x π= D ．23
x π=
9. 执行如图所示的程序框图，若输出的S 为3
7
，则判断框中应填（ ）
A. 5?i ≤
B. 5?i ≥
C. 7?i ≤
D. 7?i ≥
10. 已知函数=)(x f 21,0
2,0
x e x x x x ⎧-<⎨+≥⎩ ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 取
值范围是（ ）
A. (1,-∞-)),2(+∞Y
B. (1,2-)
C. (2,1-)
D. (2,-∞-)+∞,1(Y )
11. 若:,sin 2p x R x a ∃∈=-，:q 函数32
1()3
f x x x ax =
-+在R 上是增函数，
则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
12.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，
1290F PF ∠=︒。

若12PF F ∆的内切圆面积为
24
c π，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
12 B ．2 C ．23
D ．3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分
13. 若随机变量2
~(1,)N ξσ，且(12)0.4P ξ<<=，则(0)P ξ<= 。

第9题图
14. 设变量x ，y 满足约束条件202020x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-≤⎩
，则2z x y =-的最小值为 。

15. 若α是第二象限的角，且tan
32
α
=，则sin cos αα+= 。

16. 已知P A B C 、、、是球面上的四点，且,22AC BC AB ⊥=，若三棱锥P ABC -的体积的最大值为
4
3
，则球的体积为 。

三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17.（本小题满分12分）在△ ABC 中，C 为锐角，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，R
是外接圆半径，已知向量(,),(cos ,cos )m a b n B A ==u r r
，且R n m =⋅。

（Ⅰ）求角C ；
（Ⅱ）若2b =，△ ABC 的面积为13+，求cos()3
B π
+的值。

18．(本小题满分12分) 普通高中国家助学金，用于资助家庭困难的在校高中生。

在本地，助学金分一等和二等两类，一等助学金每学期1250元，二等助学金每学期750元，并规定：属于农村建档立卡户的学生评一等助学金。

某班有10名获得助学金的贫困学生，其中有3名属于农村建档立卡户，这10名学生中有4名获一等助学金，另6名获二等助学金。

现从这10名学生中任选3名参加座谈会。

（Ⅰ）若事件A 表示“选出的3名同学既有建档立卡户学生，又有非建档立卡户学生”，求A 的概率；
（Ⅱ）设X 为选出的3名同学一学期获助学金的总金额，求随机变量X 的分布列和数学期望．
19.(本小题满分12分) 如图的几何体中，41=AB ．底面ABC 是正三角形，2=AB ．四边形11BCC B 是矩形，且平面11BCC B ⊥底面ABC ．
（Ⅰ）D 在AC 上运动，当D 在何处时，有1AB ∥平面1BDC ，
并且说明理由；
（Ⅱ）当1AB ∥平面1BDC 时，求二面角D BC C --1余弦值．
20.（本小题满分12分）已知P 为抛物线2
:2(0)C y px p =>上一点，点P 到直线
30x y -+=
（Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）作两条互相垂直的直线12l l 、，与抛物线C 分别交于A B D E 、、、，求四边形ADBE 的面积S 的最小值．
21. （本小题满分12分）已知函数()ln 21f x x ax =-+． （Ⅰ）若1x =是()f x 的极值点，确定a 的值； （Ⅱ）当1x ≥时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围．
二选一，请考生在第22、23、二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的极坐标方程为2
4cos 5ρρθ=+,曲线2C 的极坐标方程为
()3
R π
θρ=
∈，曲线1C 、2C 相交于点A ，B 。

（Ⅰ）将曲线1C 、2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求弦AB 的长。

23.（本小题满分10分）已知函数12)(+=x x f ， a x x g +=)( （Ⅰ）当0=a 时，解不等式)()(x g x f ≥；
（Ⅱ）若存在R ∈x ，使得)()(x g x f ≤成立，求实数a 的取值范围.
2020届高三毕业班第二次摸底考试
理科数学参考答案
一、 选择题
二、填空题
13. 0.1 14 . -2 15. 15- 16. 92
π
三、解答题
17.解：（Ⅰ）由m n R =u r r
g
得cos cos a B b A R +=．
………………………1分 由正弦定理可得1sin
cos sin cos 2A B B A +=
，即1
sin 2
C = ………………………5分 C Q 是锐角，
6
C π
∴=
………………………6分
（Ⅱ）由S ∆=
，2b =，可得1a =+………………………7分 所以2
2
2
2cos 2c a b ab C =+-=，即c =………………………8分
sin sin b C B c ∴=
=,b a B A <∴<Q ，cos B ∴= …………………10分 即cos()cos cos
sin sin
3
3
3
4
B B B π
π
π
+
=-=
． ………………………12分 18.（Ⅰ）解：由题意：122137373
107
()10
C C C C P A C +== ………………………4分 （Ⅱ）解：随机变量X 的所有可能值为2250，2750，3250，3750，……………………5分
3
63101
(2250)6
C P X C ===，21643101(2750)2C C P X C ===
12643103(3250)10C C P X C ===，343101
(3750)30
C P X C ===
………………………9分
所以随机变量X 的分布列是
X 2250
2750
3250
3750
P
………………………
10分
所以1131
()22502750325037502850621030
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=．……………12分 19. 解：（Ⅰ）当D 为 AC 中点时,有//1AB 平面1BDC (2分)
证明:连结1B C 交1BC 于O ,连结DO ∵ 四边形11BCC B 是矩形 ∴O 为1B C 中点又D 为AC 中点,从而1//DO AB (4分) ∵1AB ⊄平面1BDC ,DO ⊂平面1BDC ∴//1AB 平面1BDC (6分) （Ⅱ）建立空间直角坐标系B xyz -如图所示,则
(0,0,0)B ,(3,1,0)A ,(0,2,0)C ,33
(
,,0)22
D ,1(0,2,23)C (7分) 所以33
(,,0)22
BD =u u u r ,1(0,2,23)BC =u u u u r ．
(8分)
设),,(1z y x n =为平面1BDC 的法向量,则有33
0222230
x y y z ⎧+=⎪⎪+=⎩，,即 33x z
y z =⎧⎪⎨
=-⎪⎩ 令1=z ,可得平面1BDC 的一个法向量为1(3,3,1)n =-u r
,
而平面1BCC 的一个法向量为2(1,0,0)
n =u u r
(10
分)
所以12
12
12
cos,
||||
n n
n n
n n
⋅
<>==
u r u u r
u r u u r
u r u u r故二面角D
BC
C-
-
1
的余弦值为
13
13
3
(12分) 20解：（1）设
2
(,)
2
y
P y
p
，则点P到直线30
x y
-+=
的距离d=………3分若0
∆≥，则
min
d=不合题意，所以0
∆<即06
p
<<………………………4分
所以当
y p
=
时，
min
d==2
p=………………………5分即抛物线C的方程为24
y x
=；………………………6分（2）因为抛物线C的方程为24
y x
=，所以（1，0）是焦点
设
1
l交抛物线C于
1122
(,),(,)
A x y
B x y，
2
l交抛物线C于
3344
(,),(,)
D x y
E x y
由题意
1
l的斜率k存在且不为0，设
1
l的方程为(1)
y k x
=-，
由
2222
12
22
(1)4
(24)02
4
y k x
k x k x k x x
y x k
=-
⎧
⇒-++=⇒+=+
⎨
=
⎩
………………………8分
则
122
4
4
AB x x p
k
=++=+，同理得2
34
44
DE x x p k
=++=+………………………9分
故22
22
1148
(4)(44)816
22
S AB DE k k
k k
==++=++
即1632
S≥=，
当且仅当2
2
8
81
k k
k
==±
即时，等号成立，所以
min
32
S= (12)
分
21.解：（Ⅰ）()
f x的定义域为(0,)
+∞.
'
1
()2
f x a
x
=-，由题意'
1
(1)0
2
f a
=⇒=. ………………………3分
若12a =
，则'
11()1x f x x x
-=-=，当01x <<时，'()0f x >；当1x >时，'()0f x < 所以1x =是()f x 极大值点，故1
2
a =． ………………………6分 （Ⅱ）'
12()ax
f x x
-=
Q ①若0a ≤，则'
()0f x ≥，()f x 在[1,)+∞上单调递增
()(1)120f x f a ∴≥=->，满足题意． ………………………7分
②若1
02
a <<，则 当112x a <<时，'()0f x >，()f x 单调递增；当12x a
>时，'
()0f x <，()f x 单调递减.
此时当x →+∞时，()0f x <，不合题意. ………………………9分 ③若12
a ≥
，则1x >时，'
()0f x <，()f x 单调递减. ()(1)120f x f a ∴≤=-≤，不合题意. ………………………11分
综上可知，当0a ≤，1x ≥时,()0f x ≥，故(,0]a ∈-∞ …………………12分 22. 解：（1）2
2
2
4cos 545x y x ρρθ=+⇒+=+，即2
2
(2)9x y -+=，
故曲线1C 的直角坐标方程为2
2
(2)9x y -+=； ………………………3分
曲线2C 的直角坐标方程为y =. ………………………5分 （2）曲线1C 表示圆心为（2，0），半径3r =的圆，曲线2C 表示直线，
则圆心到直线的距离d =
………………………7分
所以弦长AB == ………………………10分 23.解：(Ⅰ)当0=a 时，由)()(x g x f ≥得x x ≥+12，两边平方整理得01432≥++x x ，
解得1-≤x 或3
1-
≥x ∴原不等式的解集为)31
[]1(∞+---∞，，
Y …………5分 （Ⅱ）由)()(x g x f ≤得x x a -+≥12，令x x x h -+=12)(，则
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
≥+<<-+-≤--=0,1021,1321,1)(x x x x x x x h
………………………7分
故21)21
()(min -=-=h x h ，从而所求实数a 的范围为2
1-≥a ………………10分。