2020届北京市丰台区高三上学期期末数学试题(解析版)

2021届北京市丰台区高三上学期期末数学试题
一、单项选择题
1,假设集合A {x|1 x 3}, B {x| 1 x 2},那么AI B ( )
A. {x| 1 x 3}
B. {x| 1 x 1}
C. {x|1 x 2}
D. {x|2 x 3}
【答案】C
【解析】利用交集的定义可求AI B.
【详解】
A B x|1 x 2 ,
应选：C.
【点睛】
此题考查集合的运算(交),此类问题属于根底题.
2 .命题“ x(j (0, ) , ln % x0 1〞的否认是()
A. x(o (0, ) , ln x(o x(o 1 B, x0 (0, ) , ln x0 x0 1 C. x (0, ), lnx x 1 D. x (0, ), ln x x 1
【答案】C
【解析】试题分析：特称命题的否认是全称命题,并将结论加以否认,所以命题的否认为：x (0, ) , lnx x 1
【考点】全称命题与特称命题
3.以下函数中,既是偶函数又在区间(0,)上单调递增的是(
(2)
A. y x
B. y x 1
1
C. y cosx
D. y x"
【答案】B
【解析】先考虑函数的定义域是否关于原点对称, 再利用根本初等函数性质判断各选项
中的函数是否为偶函数、是否为增函数 .
【详解】
1
对于D,由于函数的定义域为 0,
,故函数y x-不是偶函数,故 D 错误.
对于A , y
X 的定义域为R 且它是奇函数,故 A 错误.
对于C, y COSX 的定义域为R,它是偶函数,但在〔0,〕有增有减,故C 错误. 对于B, y X 2 1的定义域为R,它是偶函数,在〔0,〕为偶函数,故B 正确. 应选：B. 【点睛】
此题考查根本初等函数的奇偶性和单调性, 解题的关键是熟悉根本初等函数的性质,
本
题属于根底题.
4 .一个四面体的顶点在空间直角坐标系
O xyz 中的坐标分别是〔0,0,0〕 , 〔0,0,1〕,
〔1,1,0〕, 〔1,0,1〕,那么此四面体在xOy 坐标平面上的正投影图形的面积为〔
【解析】求出〔1,0,1〕、〔0,0,1〕在xOy 坐标平面上的投影点的坐标后可求四面体的正投 影的面积.
〔1,0,1〕、〔0,0,1〕在xOy 坐标平面上的投影点的坐标分别为 1,0,0 , 0,0,0 ,
A 0,0,0 ,
B 1,0,0 ,
C 1,1,0 构成的三角形 ABC,
~ , 一 ,一一…
1 1
所以 ABC 为等腰直角三角形,故 S ABC - 1 1 -, 2
2
应选：B.
1 A .一
4
【答案】B
1
B.一
2
D. 1
故四面体的正投影为
由于 AB 1, AC J2, BC 1,故|庆8
2
2
BC , AB BC
2
AC
的夹角；〔2〕利用坐标来求,把数量积的计算归结坐标的运算,必要时需建立直角坐标 系；〔3〕利用基底向量来计算,也就是用基底向量来表示未知的向量,从而未知向量数
运算,把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量.
此题考查空间直角坐标系中的几何图形的面积, 注意根据利用解直角三角形
〔有时是解
三角形〕的方法来求解,此题属于容易题
5.菱形ABCD 边长为
uuir uuir 那么 BDgCD=(
)
B. D.
的值.
uur uuur 以AB, AD 为基底向量表示 uuir uuir 一^— , BD,CD 后利用向量数量积的运算律可求
uur uur BDgD D
uuur uuur
BD AD
uur uur AB,CD uuu AB, uuir uuir 故 BDgCD
unr uuu AD AB uur g
AB uur uuur uuu 2 ADgAB AB
应选：A.
向量的数量积的计算,有四种途径:
〔1〕利用定义求解,此时需要知道向量的模和向量
量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算;
〔4〕靠边靠角,也就是利用向量的线性
【点
(2)
6.双曲线4x
2 ............................. y 1的离心率为〔
A,而 C. V3 D.«2
应选：B. 【点睛】
等差数列或等比数列的处理有两类根本方法:
根本量的方程或方程组,再运用根本量解决与数列相关的问题；
(2)利用数列的性质求
解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择适宜的数列性质处理数学问题.
6
1 8.在 1
x 2
的展开式中,常数项是(
)
x
A. 20
B.
15
C. 15
D. 30
【解析】利用二项展开式的通项公式可求常数项
.
【解析】将双曲线方程化成标准方程后求出 【详解】
a,b, c 可求离心率
双曲线4x 2 y 2
1的标准方程为:
2
2
x y y 彳 4
故实半轴长为a 1,虚半轴长为b 1,故半焦距c 1- 1 2 . 4
故离心率为e 、5 , 应选：A. 【点睛】
此题考虑双曲线的离心率, 注意先把方程化成标准方程后再求根本量, 7,公差不为0的等差数列 a n ,前n 项和为S n ,满足S 3
等比数列,那么a 3
(
)
B. 6
C. 5或6
【解析】将题设条件转化为根本量的方程组,求出根本量后可求
此题属于根底题.
>1 10 ,且4, a 2,a 4成
D. 12
a 3.
设等差数列的公差为 3a 1 d ,那么
ai 3d a 1 10
2
d
a 1
a 1
3d
“ a a
解得
d
2
或a 1 5 〔舍〕,故 a 3 2 2
3 1 6,
(1)利用根本量即把数学问题转化为关于
6 6 r
3r 6
1 x2的展开式的通项公式为T r 1 C；1x
2 r
x x
2
令3r 6 0 ,那么r = 2 ,故常数项为T3 1 C6 15 ,
应选：C.
此题考查二项展开中的指定项,注意利用通项公式帮助计算,此题为根底题 ^
9.大西洋鞋鱼每年都要逆流而上, 游回到自己出生的淡水流域产卵.记鞋鱼的游速为v 〔单位：m/s〕,鞋鱼的耗氧量的单位数为Q.科学研究发现v与iog3-Q_成正比.当100
v 1m/s时,鞋鱼的耗氧量的单位数为900.当丫= 2m/s时,其耗氧量的单位数为
〔〕
A. 1800
B. 2700
C. 7290
D. 8100
【答案】D
【解析】设v k log 3-^-,利用当v 1m/s时,鞋鱼的耗氧量白单位数为900求出k 100
后可计算v= 2m/s时鞋鱼耗氧量的单位数.
【详解】
设v klog3~Q~,由于v 1m/s时,Q 900 ,故1 klog3900 2k , 100100
1 1 Q
所以k 一,故v= 2m/s时,2 -log3 ------------------ 即Q 8100.
2 2 100
应选：D.
【点睛】
此题考查对数函数模型在实际中的应用, 解题时注意利用的公式来求解, 此题为基础题.
10 .在边长为2的等边三角形ABC中,点D, E分别是边AC, AB上的点,满足
AD
DE〃BC且——〔〔0,1〕〕,将VADE沿直线DE折到VA DE的位置.在翻折过AC
程中,以下结论成立的是〔〕
A.在边AE上存在点F ,使得在翻折过程中,满足BF〃平面ACD
1
B,存在0,-,使得在翻折过程中的某个位置,满足平面ABC 平面BCDE
2
1
—,当二面角 A DE B 为直二面角时, 2 D.在翻折过程中,四棱锥A BCDE 体积的最大值记为f ( ) , f ( )的最大值为 — 9
【答案】D
1 【解析】利用反证法可证实A 、B
错误,当2且二面角A
DE
B 为直二面角时,
计算可得 AB /0,从而C 错误,利用体积的计算公式及放缩法可得
f ( )
3
,从而可求f ()的最大值为 空,因此D 正确.
9
【详解】
对于A,假设存在F AE ,使得BF 〃平面ACD , 如图1所示,
由于BF 平面ABE ,平面ABE 平面ACD AA,故BF 〃AA,
但在平面ABE 内,BF,AA 是相交的, 故假设错误,即不存在 F AE ,使得BF 〃平面ACD ,故A 错误. 对于B,如图2,
取BC,DE 的中点分别为I ,H ,连接IH , A I, A H , AI ,
C.假设 AB 40
由于ABC为等边三角形,故AI BC,
由于DE〃BC,故
ADE A DE ACB 60 , A ED AED ABC 60 ,
所以ADE, ADE均为等边三角形,故AH DE , AH DE ,
由于DE〃BC, AI BC, AI BC ,故A, H , I 共线,
所以IH DE ,由于A H IH H ,故DE 平面A HI ,
而DE 平面CBED ,故平面A HI 平面CBED ,
假设某个位置,满足平面A BC 平面BCDE ,那么A在平面BCDE的射影在IH上,也在BC上,故A在平面BCDE的射影为H ,所以AH IH ,
AD AH A H 1 1
此时CD JAH AH,,这与0,—矛盾,故B错误.
AC AI AH+IH 2 2
对于C,如图3 〔仍取BC,DE的中点分别为I ,H,连接IH ,A H,AB,BH 〕
由于AH DE,IH BC ,所以AHI为二面角A DE I的平面角,
由于二面角A DE B为直二面角,故AHI 90 ,所以AH AH ,
而IH DE H,故AH 平面CBED,因BH 平面CBED ,故A H BH
由于—,所以A H IH —AI —.
2 2 2
在Rt IHB 中,BH .^~1 ,
, 4 2
在Rt AHB中,A B J37近0,故C错. ■ 4 42
对于D,如图4 〔仍取BC,DE的中点分别为I ,H ,连接IH ,AH,AB, AC〕,
作A在底面CBED上的射影O,那么O在IH上.
故D 正确. 应选：D.
【点睛】
此题考查平面图形的折叠问题、 折叠过程的线面、面面关系的判断以及体积最值的计算, 解题注意折叠前面变化的量与不变量的量, 而线面、面面关系的判断要依据性质定理或 判定定理,体积最值的计算首先要有目标函数, 其次根据线段长度的大小关系放缩为一 元函数,再利用导数求最值,此题为难题 .
、填空题
1 -
11 .复数——的实部为
1 i
… __ 1
,— r 一…
【解析】利用复数的除法可算——,从而得到其实部
由于AD
, BC 〃DE ,所以
AC
、3
「
11 - 又 V A CBED
DE CB IH
3 2
1 一
1 2 2.31 AO -
6
6
令 f
3
, 0,1 ,那么 f 0,43时,f 0；当
3
所以f 在0,—为增函数,在
3
且—— ,所以AH J3其DE 2 . 2
AO
2
2 V
3 1 於 3
,
3
2
1,
立,1时,f 0. 3
—,1为减函数,故f max f — 空3.
3
3
9
1 \
—―1
--,故所求实部为-. 22
2
- - 1 故答案为：二 2
【点睛】
此题考查复数的除法以及复数的概念, 注意复数的实部和虚部都是实数, 此题属于根底
题.
12 .我国古代典籍?周易?用
卦〞描述万物的变化.每一 重卦〞由从下到上排列的6
个爻组成,爻分为阳爻 ----------- 〞和阴爻二-------- ",以下图就是一重卦.如果某重卦
【解析】根据组合的定义可得重卦的种数
由题设,卦的种数为 C ； 15, 故答案为：15.
此题考查组合的应用,解题时注意将实际问题抽象为组合问题,此题属于根底题 .
1 一一
13.a,b,c 分别为VABC 内角A, B,C 的对边,c 2 2ab 且s\nA -s\nC,那么
2
cosA
【答案】7
8
1 一一 ................ 【斛析】由s\n A - s\n C 结合正弦定理可得
2
最后利用余弦定理可求 cos A . 【详解】
.......... . a . c a
由正弦得s\nA ——,s\n C ——,故——
2R 2R 2R
又 c 2 2ab ,故 b 2a ,
2
2
2
2
由余弦定理可得cosA b —c —- 乌 2bc 8a
【详解】
1 1~\
中有2个阳爻,那么它可以组成 种重卦.〔用数字作答〕
c 2a,再利用c 2 2ab 得到三边的关系,
— 一〔R 为外接圆的半径〕,故c 2a,
2 2R
故答案为：7.
8
【点睛】
三角形中共有七个几何量〔三边三角以及外接圆的半径〕 ,一般地,知道其中的三个量
〔除三个角外〕,可以求得其余的四个量.
〔1〕如果知道三边或两边及其夹角,用余弦定理；
〔2〕如果知道两边即一边所对的角, 用正弦定理〔也可以用余弦定理求第三条边〕 〔3〕如果知道两角及一边,用正弦定理
.
14 .我们称一个数列是 有■趣数列〞,当且仅当该数列满足以下两个条件： ①所有的奇数项满足 a 2n 1 a 2n 1 ,所有的偶数项满足 a 2n a 2n 2； ②任意相邻的两项 a 2n 1 , a 2n 满足a 2nl a 2n .
根据上面的信息完成下面的问题:
依据定义检验可得正确的结论
故123,4,5,6为 宥趣数列
故a 2n
故答案为：是,是.
(i)数列 1,2,3,4,5,6 “有趣数列"〔填是“或者不是〞〕；
(ii)假设
n
2
a n n ( 1)那么数列 a n
n
有趣数列"〔填 是“或者 不是〞〕.
假设数列为
123,4,5,6,那么该数列为递增数列,满足 宥趣数列〞的定义,
右a n
n
2 ―
(1) 一,那么 a 2n
n
2n
1
J^,a 2n 2n 1
1
2n 1
a 2n 2n 2 ,a 2n 2n
2 2n
a 2n
a 2n
2 2n 1 2n 2 2n
4 4n 2
a 2n 1 a 2n 1 .
a 2n a 2n 2
2n 2n 2
a 2n 1
a 2n
2n
1工 2n 1
2n 2
2n 2n 1
2
2n
,故 a 2n 1 a 2n .
综上,
a n 为有■趣数列〞
【点睛】
此题以宥趣数列〞为载体,考虑数列的单调性, 注意根据定义检验即可, 此题为中档题
2
15 .抛物线C: y 4x的焦点为F ,那么F的坐标为；过点F的直线交
抛物线C于A,B两点,假设AF 4,那么VAOB的面积为.
【答案】〔1,0〕4J
3
【解析】由抛物线的标准方程可得焦点的坐标, 利用焦半径公式可得A的横坐标,求出其纵坐标后可求出直线AB的方程,联立直线方程和抛物线方程后求出B的坐标,最后可求AOB的面积.
【详解】
由抛物线C: y2 4x可得p 2 ,故焦点坐标1,0 .
设A X o, y0 ,那么AF X o R X o 1 4,故x0 3. 2
根据抛物线的对称性,不妨设A在第一象限,那么y02J3 ,
故嚷述73 ,故直线AB:y V3 x 1 . 3 1
1 2 . x —
y 4x x 3 3
由「可得3x2 10x 3 0,故厂或厂, y .3 x 1 y 2.3 23
y T
所以S AOB 1 1 2向友逑
2 3 3
故答案为：1,0 ,迤. 3
【点睛】
此题考查抛物线的焦点、焦半径公式及抛物线中与三角形有关的面积计算,一般地,抛
物线y22px p 0上的点P x0,y0到焦点的距离为x°—；抛物线
2
x22py p 0上的点P x0,y0到焦点的距离为y卫.直线与抛物线相交后的交2
点坐标,一般是联立方程组求解,此题属于中档题^
16 .定义域为R的函数f x同时满足以下两条性质:
①存在x° R,使得f沏0 ；
②对于任意x R ,有f (x 1) 2 f (x).
根据以下条件,分别写出满足上述性质的一个函数^
(i)假设f x是增函数,那么f x ；
(ii)假设f x不是单调函数,那么f x .
……_k 1 _
【答案】2x2 x k - x k,k1,kZ 2
【解析】先给出0,1上符合条件的函数,再求出其他范围上的解析式,注意验证构造
出的函数是否满足单调性的要求.
【详解】
由①可知f x为非零函数,
由②可知,只要确定了f x在0,1上的函数值,就确定了f x在其余点处的函数值,
假设f x是增函数,令f x在0,1上的解析式为f x 2x,
那么当x k,k 1 ,k Z 时,那么x k 0,1 ,故f x 2k2x k2x.
故f x 2x,x R,此时f x为R上的增函数.
. __ _ ・,-.,,,.一,, 1
假设f x不是单调函数,令f x在0,1上的解析式为f x x -,
2
它不是单调函数,
又当x k,k 1 ,k Z 时,那么x k 0,1 ,
,.一一 2 k k 1
故fx 2f x 1 2 f x 2 L 2 f x k 2 x k -.
2
.. L 1
故fx 2 x k —, x k, k 1 , k Z .
2
................ _ x_ k 1 _
故答案为：2x,2k x k - x k,k 1 ,k Z .
2
【点睛】
此题考查函数的性质,该性质和函数的周期性类似, 因此可采取类似周期函数的处理方
法即先确定主区间上满足性质的函数,再根据类周期性可求其他范围上的解析式, 此题属于难题.
三、解做题
17 .函数 f x sinxcosx 33 cos x .
- , ■.、・ 兀 ・一一 ・一
(n)求f x 在区间o,2上的取大值
【答案】(I) 〞( 口) 1立.
【解析】(I)利用特殊角的三角函数值计算即可
围后利用正弦函数的性质可求最大值 【详解】
解：(I) f(m sin - cos- 73 cos 2 — 3 3 3 3
地 1 、3
1 2
2 2
2
.
2
(n ) f x sin x cosx 出cos 2x
1 一 cos2x 1 -sin2x 3 -----------------
2 2
sin 2x 」口 3 2
一 兀^ _ 兀
由于x 0,7 ,所以2x
一 2 3
、〞一 兀 兀一
冗,
当2x ——,即x —时,
3 2 12
f x 取得最大值1
【点睛】
2
xcos x Ccos x 的函数,可以利用降帚公式和辅
(n )利用降哥公式和辅助角公式可得
f x sin
2x - 虫,求出2x -的范 3 2 3
jt 4乳 , 3 3
A ・2
Asin x Bsin
求该函数的单调区间、最值、对称轴方程和对称中央等. 18.如图,在三棱柱 ABC AB 1C 1中,AA 平面ABC, BAC —,
2
AA i AB AC 1, CC i 的中点为 H .
〔I 〕求证：AB AC ；
〔n 〕求二面角A BC A 的余弦值;
AN
〔出〕在棱A i B i 上是否存在点N ,使得HN//平面ABC?假设存在,求出
■的值;
Ai Bi
假设不存在,请说明理由.
【答案】〔I 〕详见解析；〔n 〕Y3 ；〔出〕在^AB i 上存在点N ,使得HN //平面ABC ,
3
AN 1 . A i B i 2
【解析】〔I 〕可证实AB 平面A i AC ,从而得到 AB AC .
〔n 〕利用AB , AC , AA i 两两互相垂直建立如下图空间直角坐标系 A xyz ,求
出平面ABC 的法向量平面 ABC 的法向量后可求二面角的余弦值.
证实：〔I 〕由于AA 平面ABC , AB i 平面ABC ,所以AA i AB .
助角公式将其化为 f X A'sin 2 x
B'的形式,再根据复合函数的讨论方法
uuur uuuu
〔出〕设A N A i
B 1〔o
i 〕,那么可
umr
umr
表小HN ,利用HN 与平面ABC 的法向量
垂直可求
A i N A
B i
的值.
由于BAC —,所以AC AB. 2
又由于AC I AA A ,
所以AB 平面A1AC .
由于AC 平面A i AC ,所以AB AC .
(n )由(I )可知AB , AC , AA i两两互相垂直, 如图,建立空间直角坐标系A xyz .
由于AA1 AB AC 1 ,
所以A 0,0,0 , B 1,0,0 , C 0,1,0 , A 0,0,1
由于AA 平面ABC ,
uuir
所以AA (0,0,1)即为平面ABC的一个法向量
r
设平面ABC的一个法向量为n (x,y,z),
uuir uur
AB (1,0, 1), AC (0,1, 1),
v UULV
皿n AB 0, x z 0,
那么v uUuv 即
n AC 0. y z 0.
令z 1 ,那么x 1, y 1.
r
于是n (1,1,1).
由题知二面角 A BC A 为锐角,所以其余弦值为
〔出〕假设棱AB 上存在点N 〔x,y,z 〕,使得HN 〃平面A i BC .
uuur uuuu
uum
uuir
由 AN AB(0
1), AB 1
(1,0,0)得 A 1N ( ,0,0).
L,
1
由于C i 〔0,11〕, H 为CCi 的中点,所以H 0,1-
又由于HN 平面ABC .
线线垂直和二面角的计算, 线线垂直可以通过线面垂直而
得到,平行与垂直关系也可以通过方向向量、法向量的关系而得到,二面角的计算可以 构建二面角的平面角,从而将空间角转化为平面角进行计算,也可以合理建系,把二面 角的计算转化为法向量的夹角来计算 .
19.目前,中国有三分之二的城市面临
垃圾围城〞的窘境.我国的垃圾处理多采用填埋
的方式,占用上万亩土地,并且严重污染环境 .垃圾分类把不易降解的物质分出来,减
轻了土地的严重侵蚀,减少了土地流失
.2021年5月1日起,北京市将实行生活垃圾分
类,分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类
.生活垃圾中有
30%~40%可以回收利用,分出可回收垃圾既环保,又节约资源 .如：回U ^利用1吨废 纸可再造出0.8吨好纸,可以挽救 17棵大树,少用纯碱 240千克,降低造纸的污染排 放75%,节省造纸能源消耗 40%〜50% .
现调查了北京市 5个小区12月份的生活垃圾投放情况,其中可回收物中废纸和塑料品 的投放量如下表：
A 小区
B 小区
C 小区
D 小区
E 小区
.uur r 所以
cos ： AA i ,n
uur r
AA 1 n
uuri r
AA 1 n
,3
3 .
uuur uuir 所以HN HA 1
uuur
1 AN
,-1, 2
uuir r
假设HN//平面ABC ,那么HN n
1 - 1
-1 + - 0 ,解得
一0,1
2
2
所以在棱A 1B ［上存在点N ,
使得 HN 〃平面 ABC ,
AN A 1B
1
此题考查空间中的线面平行、
废纸投放量〔吨〕 5 5.1 5.2 4.8 4.9
塑料品投放量〔吨〕
3.5 3.6 3.7 3.4 3.3
〔I 〕从A,B,C,D,E 这5个小区中任取1个小区,求该小区12月份的可回收物中, 废纸投放量超过 5吨且塑料品投放量超过 3.5吨的概率；
〔n 〕从A,B,C,D,E 这5个小区中任取2个小区,记X 为12月份投放的废纸可再造 好纸超过4吨的小区个数,求 X 的分布列及期望.
2
【答案】〔I 〕 士；〔 n 〕详见解析.
5
【解析】〔I 〕根本领件的总数为 5,随机事件中含有的根本领件的个数为 2,从而可得
随机事件的概率.
〔n 〕利用超几何分布可求 X 的分布列及期望. 【详解】
解：〔I 〕记 该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过 5吨且塑料品投放量超过 3.5
吨〞为事件A.
由题意,有B,C 两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过 5吨且塑料品投放量超 2 过3.5吨,所以P 〔A 〕 -. 5
〔n 〕由于回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸, 所以12月份投放的废纸可再造好纸超过 4吨的小区有B,C ,共2个小区.
X 的所有可能取值为0, 1, 2.
X
1
2
P(X 0)
C ；2 3
--- ---------- - C 2 10’ P(X 1)
-1 -1
C
3 2
6 10
P(X
2)
C 22
1
cf 10
3
3 1
P
10
5
7c
3 3
1 4 E(X) 0 — 1 -
2 -
10 5
10 5
【点睛】
此题考查古典概型的概率的计算, 关键是根本领件的总数和随机事件中根本领件的个数 的计算,
计算时应利用排列组合的方法来考虑,另外,随机变量的分布列可借助于常见 分布来计算概率.
1
0)的离心率为-,以原点为圆心,椭圆C 的短半轴
(I )求椭圆方程;
于S),直线PS, QS 分别交直线x 4于A, B 两点.求证：A, B 两点的纵坐标之 积为定值.
2 2
x y 【答案】(I ) 一工1 ； ( n )详见解析.
4 3
【解析】(I )求出a,b,c 后可得椭圆方程.
(n )当直线
l 的斜率不存在,计算可得 A, B 两点的纵坐标之积为 9 .当直线l 的斜率
存在时,可设直线 l 的方程为 y k(x 1)(k 0) , P(x 1, y 1),Q(x 2,y 2)(x 1,x 2 0),那么
2
xx 2 (x 1 x 2) 1 ,一 一, 、一 ,
y A y B
4k
泌2(x 1 x 2)4 ,联立直线万程和椭圆万程,消去y 后利用韦达定理化
简y A y B 后可得定值
解：(I )由于以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x y J 6 0相切,
一、-
1 C 1
c c
由离心率e — 可知一一,且a b
2 a 2
2
2
故椭圆C 的方程为—1.
4
3
(n )由椭圆
C 的方程可知S(2,0).
2 ,,一 x 20.椭圆C :—
a 2 y
\ 1(a b b 2
长为半径的圆与直线
0相切.
(n)设S 为椭圆右顶点,过椭圆 C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于P , Q 两点(异
所以半径b 等于原点到直线的距离
d , b .3.
c 2,得 a 2.
假设直线l 的斜率不存在,那么直线l 方程为x 1 ,
3 - 3
所以 P 1,— , Q 1,—.
2 2
那么直线PS 的方程为3x 2y 6 0,直线QS 的方程为3x 2y 6 0. 令 x 4,得 A(4,-3), B(4,3). 所以A, B 两点的纵坐标之积为
9.
依题意 0恒成立. 设 P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)(x 1,x 2
0),
2
2
8k 2
4k 2
12
x 1 x 2 ----------------------- y,x 1x 2 ----------- 亍
3 4k 2 3 4k 2
设 A(4»A ) B(4,y B ),
由题意PSA 三点共线可知六六
2y 1 一 . ...
2y 2
所以点A 的纵坐标为y A 「.同理得点B 的纵坐标为y
B 厂2
4k 2
x^ (x 〔 x 2) 1 x 1x 2 2(x 1 x 2) 4
2
4k 2 12 8k 2 4k 2 3 2
9
9
9
9
4k
^7
4k 2 12 2 8k 2 4(4k 2 3)
4k
2
综上,A, B 两点的纵坐标之积为定值 【点睛】
求椭圆的标准方程,关键是根本量确实定,方法有待定系数法、定义法等
.直线与圆锥
曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题,一般可通过联立方程组,消元后得到关于
x 或y 的一元二次方程,再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标
的关系式,该关系式中含有x 1x 2,x 1 x 2或丫1丫2,丫1 y 2 ,最后利用韦达定理把关系式转 化为假设干变量的方程(或函数),从而可求定点、定值、最值等问题 .
r 1 3 (a 1) 2
21.函数 f x - x --------------------------- x ax .
3 2
假设直线l 的斜率存在,设直线
l 的方程为y k(x 1)(k 0),
y k(x 1)
由 2
2
得(3 3x 2 4y 2 12 0 (
2
2 _ 2 2 _
4k )x 8k x 4k 12
0,
所以Y A Y B
2y 2 y 2 x 2 x 2 2
(I)当a 1时,求曲线y f x在点(0, f(0))处的切线方程；
(n)讨论函数f x的单调性；
___ _ ____ _ 2 ——(出)对于任意X , X2 [0,2],都有f(x1) f(x2)-,求实数a的取值范围.
3
1 5
【答案】I y x ；n 分类讨论,详见解析；m -,-.
3 3
【解析】(I )当a 1时,求出f x可得切线的斜率,从而得到切线方程.
(n)求出f x后就a 1,a 1,a 1讨论其符号后可得函数的单调区间. (出)就a0、0a1、a1、1a2、a 2分类讨论后可得f x的最大值
和最小值,从而得到关于a的不等式组,其解即为所求的取值范围.
【详解】
. . .一 .- 1 Q 9
解：(I )当a 1时,由于f x - x x x
3
2
所以f x x 2x 1, f (0) 1.
又由于f(0) 0,
所以曲线y f (x)在点0, f (0)处的切线方程为y x. … 13 (a 1) 2
(n )由于f x -x ----------------------- -x ax ,
3 2
所以f (x) x2 (a 1)x a 0.
令f (x) 0 ,解得x a或x 1.
假设a 1,当f x 0即x 1或x a时,
故函数f(x)的单调递增区间为,1 , a, ；
当f x 0即1 x a时,故函数f(x)的单调递减区间为1,a .
假设 a 1 ,那么f (x) x2 2x 1 (x 1)2 0,
当且仅当x 1时取等号,故函数f(x)在,上是增函数.
假设a 1 ,当f (x) 0即x a或x 1时,
故函数f(x)的单调递增区间为,a , 1, ；
当f (x) 0即a x 1时,故函数f(x)的单调递减区间为a,1 .
综上,a 1时,函数f(x)单调递增区间为(,1),(a,+ ),单调递减区间为(1,a)；
a 1时,函数f(x)单调递增区间为(,)；
a 1时,函数f(x)单调递增区间为(,a),(1,+ ),单调递减区间为(a,1).
2
(出)由题设,只要f X f X 一即可.
max min
令f (x) x2 (a 1)x a 0 ,解得x a 或x 1 .
x00,111,22 f x0
f x0减极小值增2 3
当a 0时,随x变化,f(x),f(x)变化情况如下表:
...—. (2)
由表可知f(0) 0 f(1),此时f (2) f (1)—,不符合题意3
x00,a a a,111,22 f x00
f x0增极大值减极小值增2 3
当0 a 1时,随x变化,f' x ,f x 变化情况如下表:
由表可得f (0) 0, f(a) 1 3 1 2 1 1 2 -a -a , f (1) -a 一,f (2) 一, 6 2 2 6 3
且f(0) f(a), f(1) f(2),
2 ~ 工
所以只需3 f(a)
f(1)
f(2)
f(0)
1 3 一a 6
1 -a
2 工a2 2
2 3,解得1
10 3 6
当a 1时,由(n )知f x在0,2为增函数,
2时,
y i y i , y 2
黄,y i
V2 ；
X i X i X 2 X 2,y i y 2.
【答案】(I) 2,3,4； ( n) (i)详见解析；(ii)详见解析. 【解析】(I )列出所有的整点后可得 X i X 2的所有可能值.
» •一 一 、.一
. . •、一
*•、..一一.
(n )对于(i),可用反证法,对于(ii),可设直线y i i < i < n,i N 上选择了 a i
个的点,计算可得诸直线上不同两点的横坐标和的不同个数的最小值为
i,2,3, 用中任意不同两项之和的不同的值恰有
2n 3个可得至少有一个和出现两次,
从而可证结论成立.
解：(I )当 n 2 时,4 个整点分别为(1,1),(1,2),(2,1),(2,2). 所以X i
X 2的所有可能值2,3,4 .
此时f x
max
min
2
f 2 f
0 -,符合题意
同理只需
f(1) f(a)
f(2)
,即
f(0)
i
-a 2 i 3 -a 6
1 6 1 -a 2
当 a 2 时,f (i)
f(2)
综上,实数a 的取值范围是
此题考查曲线的切线、 函数的单调性以及不等式的恒成立, 注意导数符号的讨论需按导
数的零点是否存在、根存在的条件下根的大小关系来分类讨论,此题属于难题
-.*
22 . n N , n > 2 ,给定 n n 个整点(x, y)淇中 i < x,y < n, x, y N .
(I)当n 2时,从上面的2 2个整点中任取两个不同的整点 (X i , y i ),(X 2,y 2),求
X i X 2的所有可能值;
(n)从上面n n 个整点中任取 m 个不同的整点, m> 5n i .
2
(i)证实：存在互不相同的四个整点
x i ,y i , x i , y i , X 2, y 2 , X 2,y 2 ,满足
(ii)证实：存在互不相同的四个整点
X i , y i , x,y , X 2,y 2 , X 2, y 2,满足
2n 2,结合
),(X2, y2), (n)⑴假设不存在互不相同的四个整点(X i,y i),(x1,y i),(X2,y2
满足y i y i,y2 丫2,乂y2.
.. . ... * 、•—・ ................................................................................................................................................................... ......... - .・・、・ . ............................................................... ......................... 即在直线y i K i< n,i N 中至多有一条直线上取多于1个整点,其余每条直线上
至多取一个整点, 此时符合条件的整点个数最多为n 1 n 2n 1.
+ 5 . . 5 一一
而2n 1 - n 1 ,与m > - n 1矛盾. 2 2
故存在互不相同的四个整点(为,0),国,y1),(X2,y2),(X2,y2),满足y〔V〞V2 y2, y y2.
… 、一. . . . . . * » »
(ii)设直线y i 1 < i < n,i N 上有a i个选定的点.
假设a > 2 ,设y i上的这句个选定的点的横坐标为X, X?, , % ,且满足
X1 X2
X1 X3 X2 X3 X2 X4 X3 X4
知为,*2, ,Xq中任意不同两项之和至少有2a i 3个不同的值,这对于a i 2也成立.
由于1,2,3,,门中任意不同两项之和的不同的值恰有2n 3个,
n
而2a j 3 2m 3n 5n 2 3n 2n 3,
i 1
可知存在四个不同的点(为,必),(.丫1),他,丫2),%,V2),
满足X1 X1 X2 X2,y1 y2.
【点睛】
此题考查集合中的计数问题,对于存在性问题,可从反面讨论或从不同和的个数切入,
此题类似于组合数学的抽屉原理,此题竞赛味浓烈,属于难题 ^。