2016-2017学年湖北省宜昌市县域优质高中高二(下)期末数学试卷(理科)

2016-2017学年湖北省宜昌市县域优质高中高二（下）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A={x|x＜0}，B={x|y=}，则A∩B等于（）
A．（﹣1，0）B．[﹣1，0）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1）
2．（5分）复数1﹣等于（）
A．﹣i B．+i C．+i D．﹣i
3．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）=32x+log5x，则f（﹣）等于（）A．﹣1 B．3 C．1 D．﹣3
4．（5分）“a＞1”是“（x﹣）4（a∈R）的展开式中的常数项大于1”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图中的两段圆弧均为半圆，该几何体的体积为（）
A．8﹣πB．8﹣2πC．8﹣πD．8+2π
6．（5分）已知变量x，y满足约束条件，目标函数z=2x+y，则（）
A．z的最小值为3，z无最大值B．z的最小值为1，最大值为3
C．z的最小值为1，z无最大值D．z的最大值为3，z无最小值
7．（5分）在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b+acosC=0，sinA=2sin（A+C），则的值为（）A．B．C．D．
8．（5分）我国明朝数学家程大位著的《算法统筹》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”以下程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的n的值
为（）
A．20 B．25 C．30 D．75
9．（5分）将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象．在g（x）图象的所有对称中心中，离原点最近的对称中心为（）
A．（﹣，0） B．（，0）C．（﹣，0）D．（，0）
10．（5分）已知F为双曲线C：﹣=1左焦点，过抛物线y2=20x的焦点的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，若线段PQ的长等于双曲线C虚轴长的3倍，则△PQF的周长为（）
A．40 B．42 C．44 D．52
11．（5分）设向量，的夹角为θ，||≥1，||≥3，且||，•，||成等比数列，则cos2θ的最大值为（）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
12．（5分）若函数f（x）=x3﹣2ax2+a在（a﹣1，a+）上有最大值，则正数a的取值范围为（）A．（0，1）B．[，1）C．（0，]D．（）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13．（5分）若正方体的外接球的表面积为6π，则该正方体的表面积为．
14．（5分）若θ为锐角，tanθ=2，则sin（θ﹣）=．
15．（5分）在一次53.5公里的自行车个人赛中，25名参赛选手的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若用简单随机抽样方法从中选取2人，则这2人成绩的平均数恰为100的概率为．
16．（5分）若直线y=k（x+2）﹣3与曲线（|x|﹣1）2+（y﹣2）2=4有公共点，则k的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
17．（12分）在等差数列{a n}中，a4=9，a7=3a2．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和S n．
18．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，EC⊥底面ABCD，AB⊥BC，AB∥CD，AB=1，CB=CD=CE=3．（1）若F在侧棱DE上，且DF=2FE，求证：AF∥平面BCE；
（2）求平面ADE与平面BCE所成锐二面角的余弦值．
19．（12分）某地区拟建立一个艺术搏物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标总是中随机抽取3个总题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正面回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相独立，互不影响的．
（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；
（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率为，过原点的直线l交椭圆C 于M，N两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P为线段MN的中垂线与椭圆C的一个公共点，求△PMN面积的最小值，并求此时直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）=﹣ax2+lnx（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若∃x∈（1，+∞），f（x）＞﹣a，求a的取值范围．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．（10分）在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的极坐标为（ρ0，）．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）过点P作圆C的切线，切点分别为A，B两点，且∠APB=120°，求ρ0．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）＞﹣|x+4|的解集；
（2）若|m﹣1|﹣|x|＞f（x）对x∈R恒成立，求m的取值范围．
2016-2017学年湖北省宜昌市县域优质高中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．解：由B中y=，得到1﹣x2≥0，
解得：﹣1≤x≤1，即B=[﹣1，1]，
∵A=（﹣∞，0），
∴A∩B=[﹣1，0），
故选：B．
2．解：1﹣=1﹣=1﹣=．
故选：A．
3．解：f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）=32x+log5x，则f（﹣）=f（）=+log5=2﹣1=1，
故选：C．
4．解：“（x﹣）4（a∈R）的展开式的通项公式为=x4﹣k•（﹣）k=x4﹣2k•，
则当4﹣2k=0，即k=2时，展开式中的常数项为•=6×=a2，（a∈R），
若展开式中的常数项大于1，则a2＞1，得a＞1或a＜﹣1，
即“a＞1”是“（x﹣）4（a∈R）的展开式中的常数项大于1”的充分不必要条件，
故选：A．
5．解：由三视图可知几何体是正方体，挖去两个半圆柱后的几何体．
如图：
几何体的体积为：2×2×2﹣12π×2=8﹣2π．
故选：B．
6．解：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，
由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（1，﹣1）时
直线在y轴上的截距最小，z最小，为2×1﹣1=1，无最大值．
故选：C．
7．解：由题意b+acosC=0，即b=﹣acosC，
∵sinA=2sin（A+C），
∴sinA=2sinB，即a=2b．
那么：=﹣acosC．
即cosC=．
∴C=120°．
由余弦定理，得：=，
可得：=．
故选：A．
8．解：输入n=20，m=80，s≠100，
n=21，m=79，s≠100，
n=22，m=78，s≠100，
n=23，m=77，s≠100，
n=24，m=76，s≠100，
n=25，m=75，s=100，
输出n=25，
故选：B．
9．解：将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得y=sin （4x+）的图象；
再将所得图象向左平移个单位得到函数g（x）=sin（4x++）=sin（4x+）的图象．
令4x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，令k=1，
可得在g（x）图象的所有对称中心中，离原点最近的对称中心为（，0），
故选：D．
10．解：根据题意，双曲线C：﹣=1的左焦点F（﹣5，0），所以点A（5，0）是双曲线的右焦点，虚轴长为：8；a=4，
双曲线图象如图：|PQ|=|QA|+PA|=6b=18，
|PF|﹣|AP|=2a=8 ①
|QF|﹣|QA|=2a=8 ②
得：|PF|+|QF|=16+|PA|+|QA|=34，
∴周长为：|PF|+|QF|+|PQ|=52，
故选：D．
11．解：向量，的夹角为θ，||≥1，||≥3，且||，•，||成等比数列，
∴||×||=（•）2，
∴cos2θ=≤，
即≤，
∴cos2θ≤﹣，
则cos2θ的最大值为﹣．
故选：C．
12．解：f′（x）=x（3x﹣4a），（a＞0），
令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，
故f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，）递减，在（，+∞）递增，
要使函数f（x）在（a﹣1，a+）上有最大值，
只需a﹣1＜0＜a+且a＞0，解得：0＜a＜1，
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13．解：正方体外接球的表面积是6π，则4πR2=6π，则外接球的半径R=，
所以正方体的对角线的长为，棱长等于，
所以正方体的表面积为6×（）2=12，
故答案为：12．
14．解：∵θ为锐角，tanθ=2，可得：sinθ=2cosθ＞0，
又∵sin2θ+cos2θ=1，
∴4cos2θ+cos2θ=1，可得：cosθ=，sinθ=，
∴sin（θ﹣）=（sinθ﹣cosθ）=×（﹣）=．
故答案为：．
15．解：根据题意知，从25人中选取2人，基本事件数为=300，
其中这2人成绩的平均数恰为100的基本事件为：
（100，100），（95，105），（95，105），
（95，105），（94，106），（93，107）共6个，
所以，所求的概率为P==．
故答案为：．
16．解：直线y=k（x+2）﹣3过定点P（﹣2，﹣3），
曲线（|x|﹣1）2+（y﹣2）2=4
表示圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4（x≥0），
与圆（x+1）2+（y﹣2）2=4（x＜0）的部分如图所示；
直线y=k（x+2）﹣3与曲线（|x|﹣1）2+（y﹣2）2=4有公共点，
计算点A（1，2）到直线kx﹣y+2k﹣3=0的距离为d=r=2，
则=2，解得k=3﹣或k=3+（不合题意，舍去）；
点B（﹣1，2）到直线kx﹣y+2k﹣3=0的距离为d=r=2，
即=2，解得k=﹣或k=（不合题意，舍去）；
∴k的取值范围是k≤﹣或k≥3﹣．
故答案为：k≤﹣或k≥3﹣．
三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a4=9，a7=3a2．
∴，解得a1=3，d=2．
∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．
（2）==．
∴数列{}的前n项和S n=++…+
=
=．
18．解：∵EC⊥底面ABCD，AB⊥BC，AB∥CD，∴CB，CE，CD两两垂直，
故以C为原点，建立如图的空间直角坐标系C﹣xyz，则C（0，0，0），
D（3，0，0），B（0，3，0），E（0，0，3），F（1，0，2）．A（1，3，0），
（1）证明：易得平面BCE的法向量为，
∵，∴，
又AF⊄平面BCE，∴AF∥平面BCE；
（2），
设平面ADE的法向量为
由，可取
cos===
∴平面ADE与平面BCE所成锐二面角的余弦值为．
19．解：（1）由题意可知，所求概率．
（2）设甲公司正确完成面试的题数为X，则X的取值分别为1，2，3.，，
．
则X的分布列为：
∴．
设乙公司正确完成面试的题为Y，则Y取值分别为0，1，2，3.，，
，
则Y的分布列为：
∴．（或∵，∴）
．（）
由E（X）=E（Y），D（X）＜D（Y）可得，甲公司竞标成功的可能性更大．
20．解：（1）由题意可得：，解得．
∴椭圆C的标准方程为；
（2）①当直线l的斜率不存在时，S△PMN=×2b×a=2；
当直线l的斜率为0时，S△PMN=×2b×a=2．
②当直线l的斜率存在且不为0时．
设直线l的方程为：y=kx，
联立，解得x2=，y2=．
∴|MN|=2．
由题意可得：线段MN的中垂线方程为：y=﹣x，
联立，可得x2=，y2=．
∴|OP|=．
S△PMN=×|MN|×|OP|=≥=，
当且仅当k=±1时取等号，此时△PMN的面积的最小值为．
∵2＞，∴△PMN的面积的最小值为，直线l的方程为：y=±x．
21．解：（1）由f（x）=﹣ax2+lnx，得f′（x）=﹣2ax+=（x＞0），
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数；
当a＞0时，由f′（x）=0，得=﹣＜0，=＞0，
∴当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（）时，f′（x）＜0，f（x）为减
函数；
（2）当a≤0时，若x∈（1，+∞），则f（x）+a=﹣ax2+lnx+a=a（1﹣x2）+lnx＞0，满足题意；
当a＞0时，由（1）知，当，即a时，f（x）在（1，+∞）上为减函数，此时f（x）max=f（1）=﹣a，﹣a＞﹣a不成立；
当，即0＜a＜时，f（x）在（1，）上为增函数，在（，+∞）上为减函数，
此时=，
由，得1+ln2a＜2a，
令g（a）=1+ln2a﹣2a，则g′（a）=，
则g（a）在（0，）上为增函数，∴g（a）＜g（）=0，即1+ln2a＜2a恒成立，
∴0＜a＜．
综上，若∃x∈（1，+∞），使得f（x）＞﹣a，a的取值范围为a．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．解：（1）圆的普通方程为（x﹣2）2+y2=4，即x2+y2﹣4x=0，
∴圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．
（2）已知点P的极坐标为（ρ0，），
故P在y轴上，
画出圆在直角坐标系中的图象，如图所示：
，
若P在y轴的上方，由∠APB=120°，
得∠AOP=30°，则tan∠AOP===，
解得：AP=，
故ρ0=，
若P在y轴的下方，则ρ0=﹣．
[选修4-5：不等式选讲]
23．解：（1）∵f（x）＞﹣|x+4|，
即﹣|x﹣2|＞﹣|x+4|，
即|x﹣2|＜|x+4|，
即（x﹣2）2＜（x+4）2，
解得：x＞﹣1，
故不等式的解集是{x|x＞﹣1}；
（2）若|m﹣1|﹣|x|＞f（x）对x∈R恒成立，即|m﹣1|＞|x|﹣|x﹣2|，
而|x|﹣|x﹣2|的最大值是|x﹣x+2|=2，
故|m﹣1|＞2，解得：m＞3或m＜﹣1．。