【配套K12】高三数学专题复习 回扣二 函数 理

回扣二 函 数
陷阱盘点1 对自变量取值考虑不周
求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数．列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．
[回扣问题1]函数f (x )＝1
log 22x －1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 陷阱盘点2 忽视分段函数的相关性质
分段函数是一个函数，对于分段函数的单调性，要注意每段上的单调性与整个定义域上的单调性的关系．
[回扣问题2]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x
，x ＜0，（a －3）x ＋4a ，x ≥0 满足对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2
＜0成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 B ．(1，2] C ．(1，3) D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1 陷阱盘点3 函数的定义域关于原点对称是奇函数、偶函数的必要条件
判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．
[回扣问题3]函数f (x )＝ln （1－x 2
）|x －2|－2
的奇偶性是________． 陷阱盘点4 忽视奇(偶)函数的性质而致误 f (x )是偶函数⇔f (－x )＝f (x )＝f (|x |)；
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)；
定义域含0的奇函数满足f(0)＝0；定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分的条件；判断函数的奇偶性，先求定义域，再找f(x)与f(－x)的关系．
[回扣问题4]若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)＜0的x的取值范围是________．
陷阱盘点5 忽视函数方程中“隐含的周期性”导致计算失误
由周期函数的定义“函数f(x)满足f(x)＝f(a＋x)(a＞0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：
①函数f(x)满足－f(x)＝f(a＋x)，则f(x)是周期为2a的周期函数；
②若f(x＋a)＝
1
f（x）
(a≠0)成立，则T＝2a；
③若f(x＋a)＝－1
f（x）
(a≠0)恒成立，则T＝2a.
[回扣问题5]对于函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝－1
f（x）
，若当2＜x≤3时，f(x)＝x，则f(2 017)＝________．
陷阱盘点6 忽视单调区间的特性致误
求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
[回扣问题6]函数f(x)＝x3－3x的单调增区间是________．
陷阱盘点7 “图象变换问题”把握不清致误
(1)混淆图象平移变换的方向与长度单位；
(2)区别两种翻折变换：f(x)→|f(x)|与f(x)→f(|x|)；
(3)两个函数图象的对称：
①函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；
②函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)
的图象关于直线y ＝0(x 轴)对称．
[回扣问题7]将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π4
个单位，得到函数y ＝f (x )·cos x 的图象，则f (x )＝________．
陷阱盘点8 忽视指数(对数)函数中底的取值范围致误
不能准确理解基本初等函数的定义和性质，如函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的单调性忽视字母a 的取值讨论，忽视a x ＞0；对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)忽视真数与底数的限制条件．
[回扣问题8]函数f (x )＝log a |x |的单调增区间为________．
陷阱盘点9 函数零点概念不清致误
易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值联系起来．
[回扣问题9]函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
回扣二 函 数
1．B [依题意log 22x －1＞0，且x >0.则log 2x ＞1或log 2x ＜－1.
∴x ＞2或0＜x ＜12，f (x )定义域为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．] 2．A [由于∀x 1，x 2且x 1≠x 2，有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2
＜0成立． ∴f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a －3＜0，0＋4a ≤a 0.
解之得0＜a ≤14.] 3．奇函数 [由1－x 2
＞0，且|x －2|－2≠0，
知f (x )的定义域为(－1，0)∪(0，1)，
因此f (x )＝ln （1－x 2）－（x －2）－2＝－ln （1－x 2）x
为奇函数．] 4．(－2，2) [因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．
因为f (x )＜0，f (2)＝0.所以f (|x |)＜f (2)．
又因为f (x )在(－∞，0]上是减函数，
所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，
所以|x |＜2，所以－2＜x ＜2.]
5．－13 [由f (x ＋2)＝－1f （x ）
，得f (x ＋4)＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的最小正周期T ＝4， 因此f (2 017)＝f (1)＝－1f （3）＝－13
.] 6．(－∞，－1)和(1，＋∞) [由f ′(x )＞0，得3x 2－3＞0，则x ＞1或x ＜－1.]
7．－2sin x [y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位，得y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 的图象，
则f (x )·cos x ＝－sin 2x ，∴f (x )＝－2sin x ．]
8．a ＞1时，增区间(0，＋∞)；0＜a ＜1时，增区间为(－∞，0)．
9．B [由|x －2|－ln x ＝0，得ln x ＝|x －2|.
在同一坐标系内作y ＝ln x 与y ＝|x －2|的图象有两个交点，
∴f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内有两个零点．]。