(3)《探索图形》

《探索图形》教学设计
教学目标：
1.借助正方体涂色问题，通过实际操作、演示、想象等活动发现小正方体涂色情况的位置特征和规律。

2.在探索规律的过程中，经历从特殊到一般的归纳过程，获得一些研究数学问题的方法和经验。

3.在解决问题的过程中，感受数学的有趣，激发主动探索、勇于实践的精神和实事求是的科学态度。

教学重点：
学会从简单的情况找规律，解决复杂问题的化繁为简的思想方法。

教学难点：
探索规律的归纳方法。

教学过程：
一、复习导入
1、小兔子们得到了一块涂满果酱的正方体蛋糕。

小兔子们要分这块蛋糕，每个棱长平均分成了10份。

同学们思考一下一共会有多少块蛋糕呢？这些蛋糕都会涂上果酱吗？那会有几种情况呢？
生：有一面果酱的，有两面果酱的，有三面果酱的。

这就引发了兔子们的争吵，有的想要一面果酱的，有的不想要果酱，有的想要三面果酱的。

那到底每一类情况会有多少个呢？每类小正方体的位置？每
个小正方体都一样吗？这节课我们就展开这样的研究。

师：这个图形太复杂了，我们很难数出。

这样吧，我们先来研究
简单的图形，探索图形中蕴含的规律，再利用规律去解决复杂的图形，这种方法叫做化繁为简。

（板书课题：探索图形）
二、探索新知
1、发现规律。

以小组为单位，我们用摆一摆、涂一涂、数一数、看一看。

将①、②、③号正方体的情况分别记录在表格中。

并留意一下每一类小正方体的位置和数量有着什么样的规律呢？
你们组真是分工明确，大大提高了学习效率。

你们来汇报一下你们得到的答案吧！
核对一下你们的答案都正确了吗？答案正确就不会影响我们寻找规律了。

现在重点讨论每一类小正方体在大正方体中的位置和数量的关系？
哪个小组来汇报一下你们小组探讨的结果？你发现了什么样的规
律呢？
（3）汇报交流
各小组汇报时，配合演示，集体订正。

A、三面涂色：我们先看三面涂色小正方体的个数，无论是边长
是2厘米的还是3厘米4厘米的，三面涂色的小正方体的个数都是8.这
跟小正方体的位置有什么关系呢？
学生说出三面涂色的小正方体在原来大正方体8个顶点的位置。

那边长是5厘米的正方体呢？有几个三面涂色的正方体。

边长是n 厘米呢？
原来三面涂色的正方体同顶点数相同就是8.
B、两面涂色：我们再来看看两面涂色的，都在什么位置上。

生：两面涂色的在棱中间。

量就和棱长有关系呢？
你发现了吗？
你用2×12求出了边长是3厘米的正方体中两面涂色的小正方体的个数。

说说你是怎么想的？
生：通过观察，边长是3厘米，那两面涂色的正方体1条棱上有1个，12条棱要乘以12。

师：你的认真观察让我们找到了边长是3厘米的正方体的特征。

用这样的方法看看边长是4厘米的正方体呢？一条棱上有几个两面涂色的小正方体？（2个）
师：怎么求总共两面涂色的个数呢？用2×12.
师：每条棱上两面涂色小正方体的个数会不会有着什么样的规律呢？善于动脑才能解决更复杂的数学问题。

师：我们先把边长是5厘米的小正方体。

每条棱上有几个两面涂色的小正方体。

（3个）
生：每个都用边长减2。

师：为什么都减2呢？减去的是什么意义的2。

师：是啊！顶点上的小正方体是三面涂色的，一条棱上有两个这样的小正方体，所以我们的计算方法可以变成（3-2）×12、（4-2）×12、（5-2）×12。

师：那如果边长是n呢？（擦除蒙层）
现在你是不是可以解决任意边长的两面涂色的小正方体的个数了。

这个小正方体的棱上块数是10，那每条棱上有几个两面涂色的小正方体个数。

12条棱有多少个两面涂色的小正方体。

C、一面涂色：师：接着用我们刚才确定位置，寻找规律，公式
表达的学习方法去研究一下一面涂色的小正方体。

师：一面涂色的在什么位置？
生：在面的中间。

师：边长是3的怎么就6个一面涂色的小正方体。

生：每个面只有1个。

所以1×6=6（个）
师：如果确定了一个面的个数然后用这个数乘以6就可以了。

师：也就是我们能确定一个面有几个这样的正方体就行了。

然后
用每个面涂色块数×6。

师：每个面的块数与什么有关呢？边长是4中间是4块，边长是5的中间有6块。

师：仔细思考我们如何才能确定任意边长中间一面涂色正方体的
块数。

生：中间的图形是正方形，我们只要确定它的边长就可以。

师：这个边长和原来正方体的边长有什么关系。

师：棱长－2就是中间正方形的边长。

边长×边长也就是棱长减2的平方就是一个面上一面涂色的个数。

再乘以6就是总共的数量。

用这个规律去验证我们刚才得到的数吧！
师：当棱长为n时,你能求出一面涂色的小正方体的个数吗？
兔子们捡到的蛋糕一面涂色的有多少块呢？（练习题）
D、利用经验自主探究没有涂色的小正方体与原来大正方体的
关系。

a引导学生自主提出新问题：没有涂色的小正方体有多少个？
生：这4种情况合起来就是总共小正方体的个数，可以用总个数减去刚才三种情况的个数。

师:我们还有更简便的方法。

我们一起来看一下。

（实物演示）
师：剩下的就是没有涂色的小正方体。

这剩下的个数怎么求呢？
师：它是一个正方体，个数是边长的立方。

边长是多少呢？
生：通过剥离的过程可看出上下减2个，左右减2个，所以边长是原棱长减2，那总个数就是棱长减2的立方。

2、填表格。

（1）现在用我们找到的规律将表格填写完整。

（2）你能过继续写出第⑥、⑦、⑧个大正方形中四类小正方形的块数吗？
3、演示，总结规律。

三面涂色的小正方体都在大正方体的顶点的位置。

不论棱长是几，分割后三面涂色的小正方体的个数都是8个。

两面涂色的小正方体都在大正方体的棱的位置。

只要用每条棱中间两面涂2色的小正方体的个数乘12，就得出两面涂色的小正方体的总个数，即（n-2）x12。

一面涂色的小正方体都在大正方体的面的位置。

（每一面上除去
外圈的位置）只要用每个面上一面涂色的小正方体的个数乘6，就得
出一面涂色的小正方体的总个数，即（n-2）x（n-2）x6。

没有涂色的
小正方体在正方体里面除去表面一层的位置。

所以有用小正方体的总
个数减去三面、两面、一面涂色的小正方体的总个数。

或演示将三面、两面、一面涂色的小正方体是（n-2）x（n-2）x（n-2）。

三、巩固拓展
现在能解决我们开始遇到的问题了吗？
三面涂色：8块；
两面涂色：（10-2）x12=96（块）；
一面涂色：（10-2）x（10-2）x6=384（块）；
没有涂色：（10-2）x（10-2）x（10-2）=512（块）。

学习长知，练习长技。

下面让我们共同走进练习环节
四、课堂小结
五、教师小结：当我们遇到比较复杂的问题，解决起来有困难时，
可以尝试先从简单的情况开始，看能否发现规律，再应用规律去
解决复杂的问题，这是一种解决问题常用的思想方法。

（化繁为简）
在我们的数学课即将结束的时候，我希望你们能够记住：数学不仅仅是一堆公式和定理，它是一种可以开拓我们的思维，提高我们的解决问题的能力。

让我们保持对数学的好奇心，继续探索和学习，用数学的力量来改变我们的世界。