江西省南昌市2019届高三第一学期期中联考文科数学试卷

江西省南昌市第八中学、第二十三中学、第十三中学 2018-2019学年第一学期高三期中联考（文科）(数学)
1.设集合A ＝{(x ，y)|4x ＋y ＝6}，B ＝{(x ，y)|3x ＋2y ＝7}，则A∩B＝ A. {x 1=或y 2}= B. (){}1,2 C. {}1,2 D. ()1,2
【答案】C 【解析】 联立46327x y x y ì+=ïí
+=ïî，解得(){}1
,1,22x A B y ì=ï\?í
=ïî
，故选C.
【名师点晴】本题主要考查的集合的表示方法和集合的交集运算，属于容易题．解题时要看清楚是求“Ç”还是求“È”和要注意代表元素法的元素是点还是数，否则很容易出现错误． 2.sin 2cos3tan 4鬃的值 （ ）
A. 小于0
B. 大于0
C. 等于0
D. 不存在 【答案】B 【解析】
本题考查三角函数值的符号，由于弧度为2、3的角的终边位于第二象限，故。

，故选B.
3.已知2=a ，b 是单位向量，且a 与b 的夹角为60°，则()
a a
b ?等于
A. 1
B.
C. 3
D. 【答案】C 【解析】
由题意得，()
2421cos603a a b a a b ?=-?-创?，
本题选择C 选项.
4.已知角a 的终边过点0(8,6sin30)P m --，且4
cos 5
a =-
,则m 的值为（ ）
A. 12-
B. 2-
C. 12
D. 2
【答案】C 【解析】
分析：根据三角函数定义得
45-
=
，解方程得m 的值. 详解：三角函数定义得
45-，所以21
1
042
m m m =>\=
选C.
点睛：本题考查三角函数定义，考查基本求解能力.
5.已知向量12e ,e 不共线，向量1212a ke e ,b e ke =+=+，若a b 与共线，则实数k 的值为 A. 1 B. 1- C. 1± D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】
根据两个向量共线的充要条件，整理出关于k 和λ的关系式，把λ用k 表示，得到关于k 的方程，解方程组即可．
【详解】根据向量向量1212a ke e ,b e ke =+=+，若a b 与共线， ∴k 12e e +=λ（1e +k 2e ）， ∴k 12e e +=λ1e +λk 2e ）， ∴k ＝λ，1＝λk ， ∴k 2＝1，即k ＝1± 故选C.
【点睛】本题考查两个向量共线的条件、平面向量基本定理的应用． 6.函数f( x)＝x 2
－2ln x 的单调递减区间是( ) A. ()0,1 B. ()1,¥+ C. (),1¥- D. ()1,1-
【答案】A 【解析】 【分析】
求出原函数的导函数，由导函数小于0求出自变量x 在定义域内的取值范围，则原函数的单调减区间可求． 【详解】由f （x ）＝x 2﹣2lnx ，得：f ′（x ）＝（x 2﹣2lnx ）′＝2x 2
x
-． 因为函数f （x ）＝x 2﹣2lnx 的定义域为（0，+∞）， 由f ′（x ）＜0，得：2x 2
x
-＜0，即（x +1）（x ﹣1）＜0， 解得：0＜x ＜1．
所以函数f （x ）＝x 2﹣2lnx 的单调递减区间是（0，1）．
故选：A ．
【点睛】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，是中档题．
7.计算2πtan αcos2α
4π2cos α4骣??琪桫骣??
琪桫
的值为 A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】
利用互余两角正余弦的关系，将分母cos （
4p -α）化成sin （4p +α）
，再将tan （4
p
+α）化成正弦除以余弦，进行约分化简，最后用
2
p
+α的诱导公式化简，可得分子与分母相同，故原式的值为1． 【详解】∵4p +α与4p -α互余，∴cos （4p -α）＝sin （4
p
+α） ∴原式＝
tan （4p +α）•224244sin cos sin cos p
a a p p a a 骣??琪桫=骣骣?麋+?琪琪桫桫•22222224442cos cos cos sin sin cos sin a a a p p p p a a a a ==
骣骣骣骣?麋+麋+麋+?琪琪琪琪桫桫桫桫
∵sin （
2
p
+α）＝cos α， ∴
22222cos cos cos sin a a
p a a ==骣??琪
桫
1，即原式＝1
故选：D ．
【点睛】本题将一个三角函数的分式化简整理，从而求出它的值，考查了同角三角函数的关系和诱导公式，以及二倍角的正弦公式等知识，属于基础题． 8.等比数列{a n }中，若a 4a 5＝1，a 8a 9＝16，则a 6a 7等于 A. 4- B. 4 C. 4± D. 17
2
【答案】B 【解析】 【分析】
由数列{a n }为等比数列，利用等比数列的性质得到a 8a 9＝q 8•a 4a 5，将已知a 4a 5＝1，a 8a 9＝16代入求出q 8的值，开方求出q 4的值，然后把所求的式子再利用等比数列的性质化简后，将q 4的值与a 4a 5＝1代入，即可求出值．
【详解】∵数列{a n }为等比数列，a 4a 5＝1，a 8a 9＝16， ∴a 8a 9＝q 8•a 4a 5，即q 8＝16， ∴q 4＝4，
则a 6a 7＝q 4•a 4a 5＝4． 故选B ．
【点睛】此题考查了等比数列的性质，利用了整体代入的思想，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键． 9.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ＃时，()2(1)f x x x =-，则5
()2
f -
=（ ） A. 12-
B. 14-
C. 14
D. 12
【答案】A 【解析】 试题分析：5511111
()(4)()()2(1)2222222
f f f f -
=-+=-=-=-?=-，选A. 考点：函数的性质的应用
.
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10.设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－
n
1
a ，记数列{a n }的前n 项之积为T n ，则T 2 018的值为 A. 1- B. 1
2
C. 1
D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】
由已知a n +1＝11
n
a -
，a 1＝2，可求数列的前几项，进而可得数列的周期性规律，代入即可求得答案． 【详解】由a 1＝2，a n +1＝11n a -
，得a 2＝11112a -=，a 3＝121a -=-1，a 4＝13
1
a -=2，…，
由上可知，数列的项重复出现，呈现周期性，周期为3． 且T 3=a 1a 2a 3=-1，2018=3×672+2， ∴T 2018=（-1）672
·a 1·a 2=1． 故选C.
【点睛】本题考查数列的递推公式，数列的函数性质：周期性，根据前几项归纳出周期性是本题的关键，是中档题．
11.如图，已知函数f (x) =()
π3cos ωx φ(ω0,φ0)2+>-<<的部分图像与x 轴的一个交点为A(π
6
-,0)，与y 轴的交点为3B 0,2
骣琪琪
桫，那么π
f 2骣琪=琪桫
A.
12 B. 32 C. 12- D. 3
2
- 【答案】D 【解析】 【分析】
由题意利用余弦函数的图象和性质求得f （x ）的解析式，可得f （
2
p
）的值．
【详解】由题意可得ω×（6p -）+φ＝k π2p +，φ32
=， 结合ω＞0，2
p
-＜φ＜0， 可得φ6p =-
，∴6w p -=k π26
p p ++，
即ω＝﹣6k ﹣4，∴ω＝2，f （x ）（2x 6
p
-），
∴f （
2p ）=5362
p =-， 故选：D ．
【点睛】已知函数()sin (0,0)y A x B A w j w =++>>的图象求解析式
(1)max min max
min
,22
y y y y A B -+=
=. (2)由函数的周期T 求2,.T p
w w
=
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求j ，一般用最高点或最低点求。

12.若函数y ＝f(x)(x∈R)满足f(1+x)＝f(1-x)且x∈[－1，1]时，f(x)＝1－x 2
，函数g(x)＝lgx,x 0,1,x 0,x
ì>ïí-<ïî则
函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5，5]内的零点的个数为 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】
由f （x +2）＝f （x ），知函数y ＝f （x ）（x ∈R ）是周期为2的函数，进而根据f （x ）＝1﹣x 2与函数
g （x ）()()010lgx x x x
ìï=í-ïïî＞＜
的图象得到交点为8个．
【详解】因为f （x +2）＝f （x ），所以函数y ＝f （x ）（x ∈R ）是周期为2函数，
因为x ∈[﹣1，1]时，f （x ）＝1﹣x 2，所以作出它的图象，则y ＝f （x ）的图象如图所示：（注意拓展它的区间）
再作出函数g （x ）()()010lgx x x x
ìï
=í-ïïî＞＜
的图象，
容易得出到交点为8个． 故选：B ．
【点睛】注意周期函数的一些常见结论：若f （x +a ）＝f （x ），则周期为a ；若f （x +a ）＝﹣f （x ），则周期为2a ；若f （x +a ）()
1
f x =
，则周期为2a ；另外要注意作图要细致． 13.(1) 已知函数()
()
22f x log x a =+，若()
f 31=，则a =_____． (2)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝2，a 11－a 4＝7，则S 13＝________.
(3)若命题“∃x∈R，使得x 2
+（a ﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是______．
(4)在△ABC 中，tanA ＋tanB _______． 【答案】 (1). -7 (2). 91 (3). a>3或a<-1 (4). 等边三角形 【解析】 【分析】
（1）利用表达式及条件解出a 值即可；（2）由条件先求出a 9进而得到公差d ，求出7a ，结合前n 项和与项的关系得到结果；（3）因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x ∈R ，使得x 2+（a ﹣1）x +1＜0”，
则相应二次方程有不等的实根；（4）由tanA ＋tanB C ，再利用sinA·cosA
A ，从而判断出三角形的形状. 【详解】（1）函数f （x ）＝log 2（x 2+a ），若f （3）＝1， 可得：log 2（9+a ）＝1，可得a ＝﹣7． 故答案为：﹣7．
（2）由题意a 2+a 11－a 4＝2+7， 即a 4+a 9-a 4=9，所以a 9=9， 所以92
d 192
a a -=
=-,所以a 7=a 9-2d=7， ()1137
1371313213912
2
a a a S a +´=
=
==. 故答案为91.
（3）∵“∃x ∈R ，使得x 2+（a ﹣1）x +1＜0 ∴x 2+（a ﹣1）x +1＝0有两个不等实根 ∴△＝（a ﹣1）2﹣4＞0 ∴a ＜﹣1或a ＞3
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
（4）∵tan A +tan B A •tan B ，即tan A +tan B =-1﹣tan A tan B ），
∴
1tanA tanB
tanAtanB
+=-tan （A +B ）=-A 与B 都为三角形的内角，
∴A +B ＝120°，即C ＝60°，
∵sin A cos A 222
14
sinAcosA tanA sin A cos A tan A =
==++，
∴tan A =A ＝60°， 则△ABC 为等边三角形． 故答案为：等边三角形
【点睛】本题考查了函数的解析式的应用，等差数列的通项公式及前n 项和公式，“三个二次”间的关系，三角形形状的判断，考查推理能力及运算能力，属于中档题.
14.已知三角形ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，且222b c a bc +-=， （1）求角A 的大小
（2）等比数列{}n a 中，153a cosA,a 4a ==．求{}n a 的通项公式； 【答案】（1）π3
；（2）()n 2
n a 2-=--或n 2n a 2-=. 【解析】 【分析】
（1）根据题意由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可求得cos A 的值，再利用A 为△ABC 中的角，即可求得A ;
(2) 利用等比数列的基本量即可求出数列{a n }的通项公式
【详解】(1)由余弦定理得222b c a 1
cosA ,2bc 2
-==＋
又A 为三角形内角，π
A 3
\=； （2）由已知得11
a 2
=，42q 4q =，解得q 0=（舍去）,q 2=-或q 2=． 故()
n 2
n a 2
-=--或n 2n a 2-=
【点睛】本题考查了余弦定理的应用，考查了等比数列基本量的运算，属于基础题.
15.已知关于x 的不等式：
()a 1x 3x 1
+--＜1．
（1）当a=1时，解该不等式； （2）当a ＞0时，解该不等式．
【答案】（1）{x|1<x<2}（2）a ＝2时，解集为Æ；0<a<2时，解集为2|1x x a 禳镲
<<睚镲铪，a>2时，解集为2|1x x a 禳镲>>睚镲铪
【解析】
(1)当a ＝1时，不等式化为
231x x －－<1，化为2
1
x x -－<0， ∴1<x<2，解集为{x|1<x<2}．
(2)a>0时，由(1)3
1
a x
x
＋－
－
<1得
2
1
ax
x
-
－
<0，
(ax－2)(x－1)<0，方程(ax－2)(x－1)＝0的两根x1＝2
a
，x2＝1.
①当2
a
＝1即a＝2时，解集为Æ；
②当2
a
>1即0<a<2时，解集为
2
|1
x x
a
禳
镲
<<
睚
镲
铪
；
③当2
a
<1即a>2时，解集为
2
|1
x x
a
禳
镲
>>
睚
镲
铪
16.已知函数f(x)＝x3＋ax2 －4x＋5，若x＝2
3
时，y＝f(x)有极值．
(1)求a的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．【答案】（1）a＝2；（2）13.
【解析】
【分析】
（1）利用f′
2
3
骣
琪
琪
桫
＝0，得到a的值；（2）确定y＝f（x）在[﹣3，1]上的单调性，求出极值与端点的函数
值，即可求最大值和最小值．
【详解】(1)f′(x)＝3x2＋2ax-4，当x＝2
3
时，y＝f(x)有极值，则f′
2
3
骣
琪
琪
桫
＝0，
可得4a-12＋4＝0.解得a＝2.
(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4，
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2
3
.当x变化时，y、y′的取值及变化如下表：
∴y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13.
【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数解析式的确定，考查函数的极值与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
17.已知A 、B 、C 为锐角三角形ABC 的三个内角，若向量p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量q ＝(1＋sinA ，cosA-sinA)互相垂直. （Ⅰ）求角A ；
（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2
B ＋cos
C 3B
2
-的最大值. 【答案】（Ⅰ）π
3
；（Ⅱ）2 . 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由两向量的坐标，以及两向量共线，利用平面向量的坐标运算法则列出关系式，整理求出sin A 的值，即可确定出角A 的大小；（Ⅱ）由A 的度数求出B +C 的度数，用B 表示出C ，代入原式化简，整理为一个角的正弦函数，根据这个角的范围，利用正弦函数的值域，即可确定出所求式子的值域． 【详解】（1）∵()
p 22sinA cosA sinA q =-+，，=（sinA-cosA ，1+sinA ）， 且m n 与共线，
可得（2-2sinA ）（1+sinA ）-（sinA-cosA ）（cosA+sinA ）=0，
化简可得
又△ABC πA 3
=． （II ）由A=
π3得B+C=2π3，即C=2π
3
-B ， y=2sin 2
B+cos
2C 3B π
2sin B cos 2B 23骣-琪=+-琪桫
=1-cos2B+cos ππcos2B sin 33+sin2B =1+sin2Bcos
πππ
cos2Bsin sin 2B 1666骣琪-=-+琪桫
， ∵
ππA B 22-＜＜，∴ππB 62＜＜，∴π3＜2B ＜π，∴ππ5π
2B 666
-＜＜， ∴1πsin 2B 12
6骣琪-?琪
桫＜．故3π
sin 2B 1226骣琪-+?琪桫
＜． 因此函数y=2sin 2
B+cos
C 2B 2-的值域为（3
2
，2]，故函数y 的最大值等于2． 【点睛】本题考查了两个向量共线的坐标形式，二倍角公式，两角差正弦公式，正弦型函数的值域，属于中档题.
18.已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4=14，且a 1，a 3，a 7成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设T n 为数列{n n 1
1a a +}的前n 项和，若T n ≤λa n+1对∀n∈N *恒成立，求实数λ的最小值． 【答案】（Ⅰ）a n =n+1；（Ⅱ）
116. 【解析】
【分析】
（I ）设出此等差数列的公差为d ，根据等差数列的前n 项和公式化简S 4＝14得到关于首项和公差的关系式，又a 1，a 3，a 7成等比数列，根据等比数列的性质得到关于首项和公差的另一关系式，两关系式联立即可求出首项和公差，根据首项和公差写出等差数列{a n }的通项公式即可；（II ）把（I ）中求出的数列{a n }的通项公式代入数列中，根据()()1
111212
n n n n =-++++，列举出数列的前n 项和的每一项，抵消后得到T n 的通项公式，将求出的T n 的通项公式和a n +1的通项公式代入已知的不等式中，解出λ大于等于一个关系式，利用基本不等式求出这个关系式的最大值，即可得到实数λ的最小值．
【详解】（I ）设公差为d ，由已知得：4
S 142317a a a =ìï=íïî
， 即()1434a d 1422111(a 2d)a a 6d ´+=ìïï+=+íïïî
， 解得：d=1或d=0（舍去），
∴a 1=2，
故a n =2+（n-1）=n+1；
（II ）∵n n 11a a +=()()1n 1n 2++=1n 1+-1n 2
+， ∴T n =12-13+13-14+…+1n 1+-1n 2+=12-1n 2+=()
n 2n 2+， ∵T n ≤λa n+1对∀n∈N *恒成立，即()
n 2n 2+≤λ（n+2），λ≥2n 2(n 2)+∀n∈N *恒成立， 又2n 2(n 2)+=142n 4n
骣?+?琪桫≤()1244+=116，
∴λ的最小值为116
． 【点睛】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n 项和公式化简求值，掌握等比数列的性质，掌握不等式恒成立时满足的条件，会利用基本不等式求函数的最小值，是一道中档题．学生在求数列{11n n a a +}的前n 项和时，注意利用()()1
111212
n n n n =-++++． 19.已知函数21()x ax x f x e
+-=． （1）求曲线()y f x =在点（01-，）处的切线方程；
（2）证明：当1a ³时，()0f x e +?。

【答案】（1）210x y --= (2)见解析
【解析】
【分析】
（1）()()()22
211'()x x
x ax e ax x e f x e +-+-=，由f′（0）=2，可得切线斜率k=2，即可得到切线方程；
（2）可得()()()22211'()x x
x ax e ax x e f x e +-+-==﹣()()12x ax x e +-．可得f （x ）在（﹣1a
?，），（2，+∞）递减，在（﹣1a
，2）递增，注意到a ≥1时，函数g （x ）=ax 2+x ﹣1在（2，+∞）单调递增，且g （2）=4a +1＞0，只需（x ）1
a min e =-≥﹣e ，即可．
【详解】（1）()(
)()22211'()x x x ax e ax x e f x e +-+-==﹣()()12x
ax x e +-． ∴f′（0）=2，即曲线y=f （x ）在点（0，﹣1）处的切线斜率k=2，
∴曲线y=f （x ）在点（0，﹣1）处的切线方程方程为y ﹣（﹣1）=2x ．
即2x ﹣y ﹣1=0为所求．
（2）证明：函数f （x ）的定义域为：R ，
可得()()()22211'()x x
x ax e ax x e f x e +-+-==﹣()()12x
ax x e +-． 令f′（x ）=0，可得12120x x a ==-
，＜， 当x 1a 骣
琪??琪桫，时，f′（x ）＜0，x 12a
骣琪?琪桫，时，f′（x ）＞0，x ∈（2，+∞）时，f′（x ）＜0．
∴f （x ）在（﹣1a ?，），（2，+∞）递减，在（﹣1a
，2）递增， 注意到a ≥1时，函数g （x ）=ax 2+x ﹣1在（2，+∞）单调递增，且g （2）=4a +1＞0
函数f （x ）的图象如下：
∵a≥1，∴(]101a
Î，，则11a f e a
骣琪-=-琪桫≥﹣e ， ∴f （x ）1
a min e =-≥﹣e ， ∴当a ≥1时，f （x ）+e≥0．
【点睛】本题考查了导数的几何意义，及利用导数求单调性、最值，考查了数形结合思想，属于中档题．。