2019-2020学年浙江省名校联盟高三(上)9月月考数学试卷-解析版

2019-2020学年浙江省名校联盟高三（上）9月月考数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）（2019•浙江模拟）已知全集{|0}U x x =…，{|1}A x x =…，则(U A =ð ) A ．ϕ
B ．{|1}x x <
C ．{|01}x x <…
D ．{|0}x x …
【解答】解：{|0}U x x =…，{|1}A x x =…； {|01
}U A x x ∴=<…ð． 故选：C ．
2．（4分）（2019•浙江模拟）双曲线2214
y x -=的焦距是( )
A B ．C
D ．
【解答】解：双曲线2
214
y x -=的焦距为：2c ==．
故选：D ．
3．（4分）（2019•浙江模拟）已知i 是虚数单位，则复数
2i
i
+的共轭复数对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【解答】解：
(2)122(2)(2)55
i i i i i i i -==+++-， 其共轭复数为1255i -，对应的点为1
(5
，2)5-，在第四象限．
故选：D ．
4．（4分）（2019•浙江模拟）已知实数x ，y 满足()(2)01x y x y x -+⎧⎨⎩
…
…，则2(x y - )
A ．有最小值，无最大值
B ．有最大值，无最小值
C ．有最小值，也有最大值
D ．无最小值，也无最大值
【解答】解：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示． 设2x y z -=，则2y x z =-，z 表示直线在y 轴上的截距的相反数．
平移直线2y x z =-，可得当直线过点A 时z 取得最小值， z 没有最大值．
故选：A ．
5．（4分）（2019•浙江模拟）已知平面α，β，直线m ，n ，若αβ⊥，l αβ=，m α⊂，
n β⊂，则“m n ⊥”是“m ，n 中至少有一条与l 垂直”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解答】解：先判断充分性，当m n ⊥时，假设m ，n 都不与l 垂直． 在平面α内作了l 的垂线m '，由αβ⊥可得m β'⊥，则m n '⊥． 由m l '⊥，m 不垂直于l 可得m '与m 相交． 由m n '⊥，m n ⊥， 可得n α⊥．
所以n l ⊥，得出矛盾． 所以当m n ⊥时，
可以推出m ，中至少有一条与l 垂直， 即充分性成立． 再判断必要性，
当m ，n 中至少有一条与l 垂直时， 不妨设m l ⊥， 由αβ⊥可得m β⊥， 所以m n ⊥， 即必要性成立．
综上所述，“m n ⊥”是“m ，n 中至少有一条与l 垂直”的充要条件．
故选：C ．
6．（4分）（2019•浙江模拟）已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为ξ，则(E ξ= ) A ．
145
B ．
135
C ．
73 D ．83
【解答】解：ξ的可能取值为2，3，4．
2ξ=表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故339(2)5525
P ξ==⨯=
． 3ξ=表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故
322312
(2)555525
P ξ==⨯+⨯=
． 4ξ=表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故22
4(2)5525
P ξ==⨯=
． 所以9124142342525255
E ξ=⨯+⨯+⨯=． 故选：A ．
7．（4分）（2019•浙江模拟）已知22log (2)log (1)1a b -+-…，则2a b +取到最小值时(ab =
) A ．3
B ．4
C ．6
D ．9
【解答】解：根据题意，22log (2)log (1)1a b -+-…，则有2010a b ->⎧⎨
->⎩， 若22log (2)log (1)1a b -+-…，则有(2)(1)2a b --…
且2
1a b >⎧⎨>⎩
，
则有22(2)(1)55259a b a b +=-+-+=厖
， 当且仅当3a b ==时，等号成立，
即当3a b ==时，2a b +取到最小值，此时9ab =； 故选：D ．
8．（4分）（2019•浙江模拟）已知正三棱锥P ABC -（底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形的中心），直线//BC 平面α，E ，F ，G 分别是棱PA ，AB ，PB 上一点（除端点），将正三棱锥P ABC -绕直线BC 旋转一周，则能与平面α所成的角取遍区间[0，
]2
π
一切值的直线可能是( )
A ．EF
B ．FG
C ．EG
D ．EF ，FG ，EG 中的任意一条
【解答】解：假设EF 满足题意，当EF 与平面α所成的角为2
π
时， EF α⊥，由//BC α可得BC EF ⊥．
在正三棱锥中，可得BC AP ⊥，当BC EF ⊥时可得BC ⊥平面PAB ， 显然这是不可能成立的，所以EF 不满足题意．
同理，EG 与BC 不可能垂直，则EG 与平面α所成的角不可能为2
π
． 综上所述，可以排除A ，C ，D ， 故选：B ．
9．（4分）（2019•浙江模拟）已知平面向量a ，b 不共线，且||1a =，1a b =，记b 与2a b +的夹角是θ，θ最大时，||(a b -= ) A ．1
B
C
D ．2
【解答】解：设||b x =，则22(2)22b a b a b b x +=+=+，
222|2|448a b a a b b x +=++=+；
∴22
(2)cos |||2|b a b b a b x x θ+==++，易得cos 0θ>；
∴22
2
2222222(2)1
1
124
114(8)1
12()(2)2
263
x cos x x x x x θ+==
=
+-
++--+
+++；
当24x =，即2x =时，2cos θ取得最小值，θ取得最大值； 此时222||21243a b a a b b -=-+=-
+=；
∴||3a b -=．
故选：C ．
10．（4分）（2019•浙江模拟）已知数列{}n a 满足10a a =>，2
1(*)n n
n a a ta n N +=-+∈若存在实数t 使{}n a 单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
【解答】解：10a a =>，2
1(*)n n
n a a ta n N +=-+∈，存在实数t 使{}n a 单调递增， ∴
12
t …，2
0n n n a ta a a -+>>…
， 解得：01n a a t <<-…，1t …， 解得01a <<．
a ∴的取值范围是(0,1)．
故选：A ．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分． 11．（6分）（2019•浙江模拟）《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤(16两）还差30文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两 6 文．
【解答】解：设肉价是每两x 文，由题意得1630818x x -=+，解得6x =，即肉价是每两6文．
故答案为：6．
12．（6分）（2019•浙江模拟）若某几何体的三视图（单位：)cm 如图所示，则该几何体
，体积等于 3cm ．
【解答】解：由三视图可得该几何体是截长方体得到的四棱锥11A BDD B -，
其中，最长的棱长是1AB ==
体积111111111221
43520332
ABD A B D A A B D ABD A B D V V V V ---=-==⨯⨯⨯⨯=．
故答案为：（1
（2）.20．
13．（6分）（2019•浙江模拟）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，
c ，2c =，3
A π
=
，则sin a C
a b +的取值范围是 ．
【解答】解：由正弦定理，可得
sin sin
a c A C =
，则sin sin 2sin 3
a C c A π
== 由
sin sin sin a b c
A
B C
==
，可得：sin sin c A a C ==，22sin(
)sin 3sin sin C c B b C C
π
-=
=，
所以：2
21112sin cos tan 222
C
a b C C +=
=+=+=+ 由ABC ∆是锐角三角形，可得：02
C π
<<，2032
C ππ
<
-<，则：62C ππ<<，
所以：
12
4
C π
π
<<
，2tan
12
C
<．
所以：114a b +<+<+
=+
(1+4+． 14．（6
分）（2019•浙江模拟）已知二项式(2n x +的展开式中，第5项是常数项，则n =
6 ．二项式系数最大的项的系数是
． 【解答】解：二项式(2n
x 的展开式的通项为32
12
r n r
n r
r n
T C x
-
-+=，
因为第5项是常数项，所以3
402
n -⨯=，即6n =．
当3r =时，二项式系数6r C
最大，故二项式系数最大的项的系数是3
36
2160C =．
故答案为：6；160．
15．（6分）（2019•浙江模拟）定义{max a ，,},a a b b b a b ⎧=⎨<⎩
…
，已知函数(){||f x max x =，
2(1)}x b --+，b R ∈，f （1）1>，则b 的取值范围是 (1,)+∞ ，若()2f x =有四个不同的实根，则b 的取值范围是 ．
【解答】解：由题意得f （1）{1max =，}b ，当1b …时，f （1）1=，当1b >时，f （1）1b =>，
故b 的取值范围是(1,)+∞．
如图所示，(1,)A b ，令2(1)x b x --+=，解得x =，则B ．
若()2f x =2b <<，解得23b <<，即(2,3)b ∈．
故答案为：(1,)+∞；(2,3)．
16．（6分）（2019•浙江模拟）某超市内一排共有6个收费通道，每个通道处有1号，2号两个收费点，根据每天的人流量，超市准备周一选择其中的3处通道，要求3处通道互不相邻，且每个通道至少开通一个收费点，则周一这天超市选择收费的安排方式共有 108 种．
【解答】解：设6个收费通道依次编号为1，2，3，4，5，6，从中选择3个互不相邻的通道，有135，136，146，246共4种不同的选法．
对于每个通道，至少开通一个收费点，即可以开通1号收费点，开通2号收费点，同时开通两个收费点，共3种不同的安排方式．
由分步乘法计数原理，可得超市选择收费的安排方式共有343108⨯=种． 故答案为：108．
17．（6分）（2019•浙江模拟）已知抛物线24y x =，过点(1,2)A 作直线l 交抛物线于另一
点B ，Q 是线段AB 的中点，过Q 作与y 轴垂直的直线1l ，交抛物线于点C ，若点P 满足
QC CP =，则||OP 的最小值是
． 【解答】解：由2
4y x =，可设2(,)4b B b ．因为(1,2)A ，Q 是AB 的中点，所以24(8b Q +，2
)2
b +．
所以直线1l 的方程为：22b y +=．代入2
4y x =，可得2(2)(16b C +，2)2
b +．
因为QC CP =，所以点C 为PQ 的中点，可得(2b P ，2
)2b +．
所以，222
2(2)11
||(1)4422
b b OP b +=+=++．
所以当1b =-时，2||OP 取得最小值1
2
，即||OP ．
． 三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（2019•浙江模拟）已知函数1
()cos (sin cos )2
f x x x x =+-． （Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间；
（Ⅱ）若()6f α=
，3(,)88
ππ
α∈，求cos2α的值．
【解答】解：（Ⅰ）函数111cos21()cos (sin cos )sin 2)22224
x f x x x x x x π
+=+-
=+-+，
令222242k x k πππππ-++剟，求得388
k x k ππ
ππ-+剟，可得函数的增区间为3[8k ππ-
，]8
k π
π+，k Z ∈，
（Ⅱ）由（Ⅱ）若()f α1sin(2)43
πα+=， 因为(
8
π
α∈，
3)8π，所以2(42
ππ
α+∈，)π，
所以cos(2)43
πα+=-，
所以cos2cos[(2)]cos(2)cos sin(2)sin 444444
ππππππ
αααα=+-=+++=
19．（2019•浙江模拟）如图，在三棱锥P ABC -中，G 是棱PA 的中点，PC AC ⊥，且2PB AB AC BC ====，1PC =．
（Ⅰ）求证：直线BG ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求二面角P AC B --的正弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）连接CG ，因为BP BA =，所以BG PA ⊥．
由已知得12CG PA =
BG =， 所以222BG CG BC +=，所以BG CG ⊥， 又PA
CG G =，所以BG ⊥平面PAC ．
解：（Ⅱ）过点G 作GQ AC ⊥，垂足是Q ， 因为G 是棱PA 的中点，PC AC ⊥， 所以点Q 是AC 的中点． 连接BQ ，所以BQ AC ⊥．
所以CQP ∠就是二面角P AC B --的平面角． 由（Ⅰ）知BG ⊥平面PAC ，所以BG GQ ⊥．
因为BG =
11
22
GQ PC ==，所以BQ =
所以sin CB GQB BQ ∠=
=，
即二面角P AC B --
20．（2019•浙江模拟）已知数列{}n a ，{}n b 的各项均不为零，若{}n b 是单调递增数列，且
12n n n a b b +=，2
11n n n a a b +++=，12a b =，26a b =．
（Ⅰ）求1b 及数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n c 满足11
3
c =-
，1n b n n c c ++=，求数列2{}n c 的前n 项的和n S ．
【解答】解：（Ⅰ）12a b =，1122a b b =，12b ∴=． 2112122n n n n n b b b b b +++++=，∴212
n n n b b
b +++=， ∴数列{}n b 是等差数列．
26a b =，2232a b b =，
则2(25)(2)(22)d d d +=++，2d ∴=． 2n b n ∴=；
（Ⅱ）113c =-，122c c +=，∴273
c =．
当2n …时，12n n n c c ++=，112n n n c c --+=，
∴1112(2)n n n c c n -+--=…
． ∴2422c c -=，4642c c -=，⋯，222222n n n c c ---=，
累加得，当2n …时，1224(41)3n n c c --=-，即21
413n n c =+．
27
3
c =
也适合上式， 故21413
n
n c =
+， ∴2114(14)4(444)(41)33149
n n
n n S n n n -=++⋯++=+=-+-．
21．（2019•浙江模拟）对于椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，有如下性质：若点0(P x ，0)y 是椭
圆外一点，PA ，PB 是椭圆的两条切线，则切点A ，B 所在直线的方程是00221x x y y
a b
+=，
利用此结论解答下列问题：
已知椭圆2
2:12
x C y +=和点(2P ，)()t t R ∈，过点P 作椭圆C 的两条切线，切点是A ，B ，
记点A ，B 到直线(PO O 是坐标原点）的距离是1d ，2d ． （Ⅰ）当0t =时，求线段AB 的长； （Ⅱ）求
12
||
AB d d +的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）因为点(2,)P t ，直线AB 的方程式：212
x
t +=， 即1x ty +=，当0t =时，直线AB 的方程是1x =，
此时||AB =
（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线AB 的方程是1x ty +=，直线PO 的方程是20tx y -=． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y
，则12d d +=
．
又1122
11x ty x ty +=⎧⎨+=⎩由点A ，B 在直线PO 的两侧可得112tx y -与222tx y -异号，
所以212d d +=
又12||||AB y y =-，
所以
12
||
AB d d =+
设22t x +=
，则
12||AB d d ==+， 所以，当
11
4
x =，即4x =，22t =时，则
12||AB d d +
． 22．（2015•南昌校级二模）设函数2()(2)f x x a x alnx =---． ()I 求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若方程()()f x c c R =∈，有两个不相等的实数根1x 、2x ，求证：12
()02
x x f +'>． 【解答】（12分）
解：()I 22(2)(2)(1)
()2(2)(0)a x a x a x a x f x x a x x x x
----+'=---==>．
当0a …时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，函数()f x 的单调增区间为(0,)+∞． 当0a >时，由()0f x '>，得2a x >
；由()0f x '<，得02
a
x <<．
所以函数()f x 的单调增区间为(,)2
a
+∞，单调减区间为(0,)2a ．⋯（4分）
()II 证明：因为1x 、2x 是方程()f x c =的两个不等实根，由（1）知0a >．
不妨设120x x <<，则2111(2)x a x alnx c ---=，2
2
22(2)x a x alnx c ---=． 两式相减得22
1112
22(2)(2)0x a x alnx x a x alnx ----+-+=， 即22
112
21122112222()x x x x ax alnx ax alnx a x lnx x lnx +--=+--=+--． 所以22
1122112222x x x x a x lnx x lnx +--=+--．因为()02
a
f '=，
当(0,)2a x ∈时，()0f x '<，当(,)2
a
x ∈+∞时，()0f x '>，
故只要证12()22
x x a
+>即可，即证明22
112212112222x x x x x x x lnx x lnx +--+>
+--， 即证明2222
12
12121122()()22x x x x lnx lnx x x x x -++-<+--， 即证明ln
11221222x x x x x x -<
+．设12
(01)x
t t x =<<． 令22
()1
t g t lnt t -=-+，则22214(1)()(1)(1)t g t t t t t -'=-=
++． 因为0t >，所以()0g t '…，当且仅当1t =时，()0g t '=，所以()g t 在(0,)+∞上是增函数． 又g （1）0=，所以当(0,1)t ∈时，()0g t <总成立．所以原题得证 ⋯（12分）。