2021年高考数学二轮复习 点、直线、平面之间的位置关系测试题

2021年高考数学二轮复习 点、直线、平面之间的位置关系测试题
【解析】
构造如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，取l 1为AD ，l 2为AA 1，l 3为A 1B 1，当取l 4为B 1C 1
时，l 1∥l 4，当取l 4为BB 1时，l 1⊥l 4，故排除A 、B 、C ，选D.
【答案】 D
2．(预测题)设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】 利用面面垂直的性质定理及空间直线的位置关系，判定充分必要条件． 当α⊥β时，由于α∩β＝m ，b ⊂β，b ⊥m ，由面面垂直的性质定理知，b ⊥α.又∵a ⊂α，∴b ⊥a .∴“α⊥β”是“a ⊥b ”的充分条件．
而当a ⊂α且a ∥m 时，∵b ⊥m ，∴b ⊥a .而此时平面α与平面β不一定垂直，∴“α⊥β”不是“a ⊥b ”的必要条件，故选A.
【答案】 A
3．(xx·江西高考)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m ＋n ＝( )
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
【解析】 取CD 的中点H ，连接EH ，HF .在四面体CDEF 中，CD ⊥EH ，CD ⊥FH ，所以CD ⊥平面EFH ，所以AB ⊥平面EFH ，所以正方体的左、右两个侧面与EF 平行，其余4个平面与EF 相交，即n ＝4.又因为CE 与AB 在同一平面内，所以CE 与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m ＝4，所以m ＋n ＝4＋4＝8.
【答案】 A
4．(xx·云南第一次检测)在三棱锥SABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB 、BC 、SC 、SA 交于D 、E 、F 、H 、D 、E 分别是AB 、BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为( )
A.452
B.4532
C ．45
D ．45 3 【解析】 取AC 的中点G ，连接SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB
∥FE .又D 、E 分别为AB 、BC 的中点，则H 、F 也为AS 、SC 的中点，从而得HF 綊1
2
AC 綊DE ，
所以四边形DEFH 为平行四边形．又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH
为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12SB ＝45
2
.
【答案】 A
5．(创新题)已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )
A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直
B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直
C ．存在某个位置，使得直线A
D 与直线BC 垂直
D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直 【解析】 找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量．
对于选项A ，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，过点C 作CF ⊥BD ，垂足为F ，在图(1)中，由边AB ，BC 不相等可知点E ，F 不重合．在图(2)中，连接CE ，若直线AC 与直线BD 垂直，又∵AC ∩AE ＝A ，∴BD ⊥面ACE ，∴BD ⊥CE ，与点E ，F 不重合相矛盾，故A 错误．
对于选项B ，若AB ⊥CD ，又∵AB ⊥AD ，AD ∩CD ＝D ，∴AB ⊥面ADC ，∴AB ⊥AC ，由AB ＜BC 可知存在这样的等腰直角三角形，使得直线AB 与直线CD 垂直，故B 正确．
对于选项C ，若AD ⊥BC ，又∵DC ⊥BC ，AD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥面ADC ，∴BC ⊥AC .已知BC ＝2，AB ＝1，BC ＞AB ，∴不存在这样的直角三角形．∴C 错误．
由上可知D 错误，故选B. 【答案】 B 二、填空题
6．(xx·浙江金华模拟)在图中，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)
【解析】 图①中，直线GH ∥MN ；
图②中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉面GHN ， 因此直线GH 与MN 异面；
图③中，连线MG ，则GM ∥HN ， 因此GH 与MN 共面；
图④中，G ，M ，N 共面，但H ∉面GMN ， ∴GH 与MN 异面．
∴图②、④中GH 与MN 异面． 【答案】 ②④
7．(原创题)已知正方形ABCD 的边长是1，对角线AC 与BD 交于O ，将正方形ABCD 沿对角线BD 折成60°的二面角，并给出下面结论：①AC ⊥BD ；②AD ⊥CO ；③△AOC 为正三角形；
④cos ∠ADC ＝3
4
，则其中的真命题的序号是________．
【解析】 由于BD ⊥AO ，BD ⊥CO ，所以BD ⊥平面AOC ，于是AC ⊥BD ，所以①正确；因为折成60°的二面角，所以∠AOC ＝60°，又OA ＝OC ，因此△AOC 为正三角形，故③正确；cos
∠ADC ＝1＋1－
222
2＝3
4
，故④也正确．故选①③④.
【答案】 ①③④
8．(xx·安徽合肥二模)设m 、n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，给出下列四个命题：
① 若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ； ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.
其中正确命题的序号是________．
【解析】 ①②正确；③中，若m ∥α，m ∥β，则α与β还有可能相交，故③不正确；④中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β还有可能相交，故④不正确．
【答案】 ①② 三、解答题
9．四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .
(1)求四面体ABCD 的体积； (2)证明：四边形EFGH 是矩形．
(1)【解】 由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝CD ＝2，AD ＝1，∴AD ⊥平面BDC ，
∴四面体体积V ＝13×12×2×2×1＝2
3
.
(2)【证明】 ∵BC ∥平面EFGH ，
平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ，∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH . 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形．
又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG ， ∴四边形EFGH 是矩形．
10．(xx·深圳调研考试)如图(1)，⊙O 的直径AB ＝2，圆上两点C ，D 在直径AB 的两侧，
且∠CAB ＝π4，∠DAB ＝π
3
.沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直(如图(2))，F 为
BC 的中点，E 为AO 的中点．根据图(2)解答下列各题：
(1)求三棱锥CBOD 的体积； (2)求证：CB ⊥DE ；
(3)在BD 上是否存在一点G ，使得FG ∥平面ACD ？若存在，试确定点 G 的位置；若不存
在，请说明理由．
【解】 (1)∵C 为圆周上一点，且AB 为直径，
∴∠ACB ＝π
2，
∵∠CAB ＝π
4
，∴AC ＝BC .
∵O 为AB 的中点，∴CO ⊥AB . ∵AB ＝2，∴CO ＝1.
∵两个半圆所在平面ACB 与平面ADB 互相垂直且其交线为AB ， ∴CO ⊥平面ABD ，∴CO ⊥平面BOD . ∴CO 就是点C 到平面BOD 的距离．
S △BOD ＝12S △ABD ＝12×12×1×3＝34，
∴V CBOD ＝13S △BOD ·CO ＝13×34×1＝312
.
(2)证明：在△AOD 中，∠OAD ＝π
3
，OA ＝OD ，
∴△AOD 为正三角形．
又∵E 为OA 的中点，∴DE ⊥AO ，
∵两个半圆所在平面ACB 与平面ADB 互相垂直且其交线为AB ， ∴DE ⊥平面ABC . ∴CB ⊥DE .
(3)存在满足题意的点G ，G 为BD 的中点．证明如下：
连接OG ，OF ，FG ， 易知OG ⊥BD ，
∵AB 为⊙O 的直径， ∴AD ⊥BD ，∴OG ∥AD ，
∵OG ⊄平面ACD ，AD ⊂平面ACD ， ∴OG ∥平面ACD .
在△ABC 中，O ，F 分别为AB ，BC 的中点， ∴OF ∥AC ，∵OF ⊄平面ACD ，AC ⊂平面ACD ， ∴OF ∥平面ACD ，∵OG ∩OF ＝O ， ∴平面OFG ∥平面ACD ，
又FG ⊂平面OFG ，∴FG ∥平面ACD .第13讲(理) 空间向量与立体几何27098 69DA 槚27714 6C42 求(37006
908E 邎 32009 7D09 紉35666 8B52 譒28075 6DAB 涫 30754 7822 砢20123 4E9B 些40046 9C6E 鱮29946 74FA 瓺29500 733C 猼。