西藏林芝二高2021下学期高二年级第一学段考试(期中)数学试卷(理科)

西藏林芝二高2019－2020学年下学期高二年级第一学段考试（期中）数学试卷（理科）
总分：150分；考试时间：120分钟
第I 卷（选择题）
一、单选题（本题共60分，每小题5分）
1．已知集合A ＝{∈Z |－1＜＜5}，B ＝{|0＜≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{|－1＜≤2} B ．{|0＜＜5}
C ．{0，1，2}
D ．{1，2}
2．已知复数z 满足(2)12-=+i z i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1
B ．－1
C ．0
D ．i
3．如图所示的程序框图，运行后输出的结果为（ ）
A ．4
B ．8
C ．16
D ．32
4．已知函数()y f x =在1x =处的切线与直线30x y +-=垂直，则(1)f '=（ ） A ．2
B ．0
C ．－1
D ．1
5．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x ='的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知函数322
()f x =x ax bx a +++在1x =处的极值为10，则a b -=（ ）． A ．15 B ．15-
C ．6-
D ．6-或15
7．定积分
10
(2)x
x e dx +⎰的值为（ ）
A ．2e +
B ．1e +
C ．e
D ．1e -
8．4(12)x -的展开式中2x 的系数为（ ） A ．6
B ．24
C ．32
D ．48
9．在极坐标系中，点4,6P π⎛⎫
⎪⎝
⎭
对应的直角坐标为（ ） A ．()
2,23
B ．
(
)
3,2
C ．()
23,2
D ．()
2,3
10．已知215n C =，那么2
n A =（ ）
A ．20
B ．30
C ．42
D ．72
11．教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（ ） A ．10种
B ．52种
C ．25种
D ．42种
12．在极坐标系中，圆cos()3
πρ=θ+的圆心的极坐标为（ ） A ．1(,)23
π- B ．1(,
)23
π
C ．(1,)3
π
-
D ．(1,)3
π
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本题共20分，每小题5分）
13．曲线3
24y x x =-+在点(1,3)处的切线的倾斜角为__________ 14．若函数()f x x =，()f x '是()f x 的导函数，则()1f '的值是________
15．已知二项式
的展开式中的常数项为
，则
__________．
16．在极坐标系中，点4,4A π⎛⎫ ⎪⎝
⎭到直线sin 14πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
的距离为________
三、解答题（本题共70分）
17．（10分）复数(1)(1)()z m m m i m R =-+-∈ （1）实数m 为何值时，复数为纯虚数； （2）若m ＝2，计算复数1z
z i
-
+． 18．（12分）已知函数3
2
()392f x x x x =-++-，求： （1）函数()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）()f x 的单调区间及极值．
19．（12分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1人参加； （4）既要有队长，又要有女运动员
20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），椭圆C 的参
数方程为cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）
（1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程；
（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长
21．（12分）在极坐标系下，已知圆C ：cos sin ρθθ=+和直线l ：20x y -+= （1）求圆C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程； （2）求圆C 上的点到直线l 的最短距离．
22．（12分）在直角坐标系Oy 中，曲线C 的参数方程为2cos (22sin x y θ
θθ=⎧⎨=+⎩
为参数).以坐标原点为极点，以
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
()1写出曲线C 的极坐标方程；
()2设点M
的极坐标为4π⎫⎪⎭
，过点M 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，若2MA MB =，求AB 的弦长．
【试题答案】
1．D
列举法表示集合A ，直接进行交集运算 【详解】
∵集合A ＝{∈Z |－1＜＜5}＝{0，1，2，3，4}，
B ＝{|0＜≤2}，
∴A ∩B ＝{1，2}． 故选：D ． 【点睛】
本题考查集合的交集运算，属于基础题 2．A
由复数的除法先求出复数z ，进而可得出结果 【详解】
因为()212i z i -=+，所以()()()()122125z 2225
i i i i
i i i i +++====--+，所以虚部为1 故选A 【点睛】
本题主要考查复数的运算和概念，熟记复数的运算法则即可，属于基础题型 3．C
执行如图程序框图：当n ＝2，b ＝1，当n ＝3，b ＝2，当n ＝4，b ＝4，当n ＝5，b ＝16，当n ＝5则输出b 故选C
4．D 【解析】
分析：根据切线方程和直线垂直的结论即可
详解：由题可知：函数()y f x =在1x =处的切线的斜率为()1f '，直线30x y +-=的斜率为－1，故()1f -'＝－1得()1f '=1，故选D
点睛：考查切线的斜率求法和直线垂直时的斜率关系的结论，属于基础题 5．C
根据导函数图象，确定出函数的单调区间和极值，从而可得结论 【详解】
根据()y f x ='的图象可知， 当0x <或2x >时，()0f x '>，
所以函数()y f x =在区间(),0-∞和()2,+∞上单调递增； 当02x <<时，()0f x '<，
所以函数()y f x =在区间()0,2上单调递减，
由此可知函数()y f x =在0x =和2x =处取得极值， 并且在0x =处取得极大值，在2x =处取得极小值， 所以()y f x =的图象最有可能的是C 故选：C 【点睛】
本题考查导数与函数单调性、极值的关系，考查数形结合思想和分析能力解决此类问题，要根据导函数的图象确定原函数的单调区间和极值，一定要注意极值点两侧导数的符号相反
6．A 由题，可得(1)0
(1)10f f '=⎧⎨=⎩
，通过求方程组的解，即可得到本题答案，记得要检验
【详解】
因为3
2
2
()f x =x ax bx a +++，所以2
()32f x x ax b '=++，由题，得(1)0(1)10f f '=⎧⎨=⎩，即2
320
110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩
，解得411a b =⎧⎨=-⎩或33
a b =-⎧⎨=⎩，因为当3,3a b =-=时，2
()3(1)0f x x '=-≥恒成立，()f x 在R 上递增，无极值，
故舍去，所以4(11)15a b -=--=
故选：A 【点睛】
本题主要考查含参函数的极值问题，得到两组解后检验，是解决此题的关键 7．C
试题分析：1
2122
0100
(2)()|()|()|x x x x x x e x dx e x e x e x ==+=+=+-+⎰
＝(1)1e e +-=故选C
考点：1微积分基本定理；2定积分的计算 8．B
利用二项展开式的通项可得14(2),0,1,2,3,4r r
r T C x r +=-=，令2r
可求得结果
【详解】
因为4
(12)x -的第1r +项展开式14(2),0,1,2,3,4r r r T C x r +=-=，
令2r
，则含2x 项系数为22
4(2)24C -=，
故选：B ． 【点睛】
该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项展开式通项的应用，项的系数，属于简单题目 9．C
设P 点直角坐标为(,)x y ，根据cos ,sin x y ρθρθ==，即可求解 【详解】
设点4,
6P π⎛⎫
⎪⎝
⎭
的极坐标化成直角坐标为(),x y ，
则4cos
6
x π
==，4sin
26
y π
==，
故点4,6P π⎛⎫ ⎪⎝⎭
的极坐标化成直角坐标为()
2 故选：C 【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标互化，属于基础题 10．B
通过215n C =计算n ，代入2
n A 计算得到答案
【详解】
2156n C n =⇒=
22630n A A ==
答案选B 【点睛】
本题考查了排列数和组合数的计算，属于简单题 11．D 【解析】
试题分析：共分4步：一层到二层 2种，二层到三层 2种，三层到四层 2种，四层到五层 2种，一共42＝16种 故选D ．
考点：本题主要考查分步计数原理的应用． 点评：理解好题意，从一层到五层共分四步． 12．A 【解析】
由圆cos()3
π
ρ=θ+，化为21(cos )22ρρθθ=-
，∴22122
x y x y +=-，
化为221
1()(44
x y -++
=，
∴圆心为1
(,4
，半径r ＝12．
∵tan α＝，取极角3
π-
， ∴圆cos()3
πρ=θ+的圆心的极坐标为1(,)2
3
π-． 故选A ． 13．45°
欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知＝y ′|＝1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．
【详解】
y ′＝32－2，切线的斜率＝3×12－2＝1．故倾斜角为45°．
故答案为45°． 【点睛】
本题考查了导数的几何意义，以及利用斜率求倾斜角，本题属于基础题． 14．
12
根据题意，求出函数()f x 的导数，将1x =代入导数的解析式，计算可得答案 【详解】
根据题意，函数()12
f x x x ==，其导数()1
2f x x
'=，
则()112f '=
， 故答案为：12
【点睛】
本题考查函数导数的计算，关键是掌握函数导数的计算公式，属于基础题 15．2
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求
得实数的值．
【详解】 二项式
的展开式中的通项公式为
，
令，求得，可得常数项为，，
故答案为：． 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 16．3
将A 和直线化成直角坐标系下点和方程，再利用点到直线的距离公式计算即可 【详解】
由已知，在直角坐标系下，2,22)A ，直线方程为20x y +-=， 所以A 到直线20x y +=2
2
|22222|
311
+-=+
故答案为：3
【点睛】
本题考查极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离，考查学生的运算求解能力，是一道容易题 17．（1）0m = （2）1122
i - 【解析】 试题分析：
（1）复数为纯虚数，则实部为0，虚部不为零，据此可得0m =； （2）利用复数的运算法则计算可得11122
z z i i -=-+ 试题解析：
（1）欲使为纯虚数，则须()10m m -=且10m -≠，所以得0m = （2）当m ＝2时，＝2＋i ，z ＝2－i ，故所求式子等于221i i i +--
+＝11
22
i - 18．（1）920x y --=；（2）减区间为(,1]-∞-，[3,)+∞，增区间为(1,3)-；极小值为7-，极大值为25．
（1）先求出(0)f ，再对函数求导，将0x =代入，求出(0)f '，利用切线公式即可写出切线方程，
920x y --=；（2）由（1）中的导函数()f x '可知，令()0f x '<，求出()f x 单减区间(,1]-∞-，[3,)+∞；
令()0f x '>，求出()f x 单增区间(1,3)-，进而求出()f x 的极值
【详解】
（1）显然由题意有，(0)0f =，2
()369f x x x '=-++，
∴(0)9f '=
∴由点斜式可知，切线方程为：920x y --=；
（2）由（1）有2
()3693(1)(3)f x x x x x '=-++=-+-
∴()0f x '<时，(,1]x ∈-∞-或[3,)x ∈+∞
()0f x '>时，(1,3)x ∈-
∴()f x 的单减区间为(,1]-∞-，[3,)+∞；单增区间为(1,3)- ∴()f x 在1x =-处取得极小值(1)7f -=-， ()f x 在3x =处取得极大值(3)25f =
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的切线方程，利用导数处理函数的单调区间和极值，要求学生会求解基本初等函数的导函数，会处理理函数的极大值极小值，为容易题函数在点00(,())x f x 处的切线方程为：
000()()()y f x f x x x '-=-
19．（1）120；（2）246；（3）196；（4）191
（1）本题是一个分步计数问题，第一步计算选3名男运动员选法数，第二步计算选2名女运动员的选法数，再利用乘法原理得到结果
（2）利用对立事件，“至少有1名女运动员”的对立事件为“全是男运动员”，得到从10人中任选5人的选法数，再得到全是男运动员选法数，相减即可
（3）分三类讨论求解，第一类“只有男队长”，第二类“只有女队长”，第三类 “男女队长都入选”，然后相加即可
（4）分两类讨论求解，第一类，当有女队长时，其他人选法任意，第二类不选女队长，必选男队长，其中要减去不含女运动员的选法，然后相加即可
【详解】
（1）分两步完成，首先选3名男运动员，有3
620C =种选法，
再选2名女运动员，有246C =种选法，
共有32
64120C C ⋅=种选法
（2）“至少有1名女运动员”的对立事件为“全是男运动员”，
从10人中任选5人，有510252C =种选法，全是男运动员有5
66C =种选法，
所以“至少有1名女运动员”的选法有5510
6246C C -=种选法 （3）“只有男队长”的选法有48C 种，“只有女队长”的选法有48C 种，“男女队长都入选”的选法有3
8C 种，
所以队长中至少有1人参加的选法共有43
882196C C +=种；
（4）当有女队长时，其他人选法任意，共有4
9C 种，
不选女队长，必选男队长，共有48C 种，其中不含女运动员的选法有45C 种，此时共有44
85C C -种， 所以既要有队长，又要有女运动员的选法共有444
985191C C C +-=种
【点睛】
本题主要考查分步，分类计数原理以及组合的分配问题，还考查了理解辨析和运算求解的能力，属于中档题 20．（1
cos sin 0θρθ-=（2）167
AB =
（1）直线l
0y --=， 代入互化公式cos {
sin x y ρθρθ
==可得直线l
cos sin 0θρθ--=
（2）椭圆C 的普通方程为2
214y x +=，将直线l
的参数方程112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，代入22
14y x +=，
得
2
2(
)1
2(1)12
4
t ++
=，即27160t t +=，解得10t =，2167
t =-， 所以12167
AB t t =-=
． 考点：极坐标方程，利用直线参数方程中参数的几何意义可求线段的长
21．（Ⅰ）C :220x y x y +--=，l :cos sin 20ρθρθ-+=
（Ⅰ）根据2
2
2
cos ,sin ,x y x y ρθρθρ==+=进行直角坐标与极坐标互化，（Ⅱ）根据圆心到直线距离减去半径得结果
【详解】
（Ⅰ）圆C ：cos sin ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+， 圆C 的直角坐标方程为：2
2
x y x y +=+，即2
2
0x y x y +--=； 直线l ：20x y -+=，则直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ-+= （Ⅱ）由圆C 的直角坐标方程为2
2
0x y x y +--=可知圆心C 坐标为11,22⎛⎫
⎪⎝⎭，
半径为2
，因为圆心C 到
=
C 上的点到直线l
=【点睛】
本题考查直角坐标与极坐标互化以及直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题 22．（1）4sin ρθ=；（2）3
()1将参数方程转化为直角坐标方程，然后转化为极坐标方程可得曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．
()2设直线l 的参数方程是11x t cos y t sin θ
θ=+⋅⎧⎨
=+⋅⎩
（θ为参数)，与圆的方程联立可得()2220t cos sin t θθ+--=，结合题意和直线参数的几何意义可得弦长123AB t t =-=．
【详解】
()
1曲线C 的参数方程为222x cos y sin θ
θ
=⎧⎨=+⎩（θ为参数)．
∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y y +-=，
∴曲线C 的极坐标方程为240sin ρρθ-=，
即曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．
()2设直线l 的参数方程是11x t cos y t sin θ
θ=+⋅⎧⎨
=+⋅⎩
（θ为参数)①， 曲线C 的直角坐标方程是2
2
40x y y +-=，②，
①②联立，得()2
220t cos sin t θθ+--=，
122t t ∴=-，且2MA NB =，122t t ∴=-，
则12t =，21t =-或12t =-，21t =，
AB ∴的弦长123AB t t =-=．
【点睛】
本题主要考查参数方程与极坐标方程的转化方法，直线参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力。