2015年衡阳市初中毕业学业水平考试数学试卷(附答案)

2015 年衡阳市初中毕业学业水平考试一试卷
数学
考生注意： 1．本学科试卷共三道大题，满分120 分，考试时量 120 分钟。

2．本试卷的作答一律答在答题卡上，选择题用2B 铅笔按涂写要求将你以为正确的选项涂黑；
非选择题用黑色墨水署名笔作答，作答不可以高出黑色矩形边框。

直接在试题卷上作答无效。

一、选择题（本大题共12 个小题，每题3 分，满分 36 分。

在每题给出的四个选项中只有一项为哪一项
切合
题目要求的。

）
D 】
01．计算12 的结果是【
A ．3
B ．1C．1D．3
02．以下计算正确的选项
是【 A 】
2
A ．a a 2a B．b3gb32b3C．a3 a a3D．a57a 03．以下左图的几何体是由一个圆柱体和一个长方体构成的，则这个几何体的俯视图是【C】
A．B．
1
C． D ．
04．若分式x2
的值为 0 ，则x的值为【C】x1
A．2或1B．0C．2D．1
05．函数y x1中自变量 x 的取值范围为【B】
A ．x≥0
B ．x≥1C．x＞1 D ．x≥1
≥2
06．不等式组B
＜的解集在数轴上表示为【】
x1
A ．B．C． D ．
07．若等腰三角形的两边长分别为 5 和 6 ，则这个等腰三角形的周长为【 D 】
A ．11B．16C．17D．16或17
08．若对于x的方程x23x a0 有一个根为1，则另一个根为【A】
A ．2
B ．2C．4D．3
09．以下命题是真命题的是【A】
A ．对角线相互均分的四边形是平行四边形
B ．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线相互垂直的四边形是菱形D．对角线相互垂直均分的四边形是正方形
10．在今年全国助残日捐钱活动中，某班级第一小组七名同学踊跃捐出自己的零花费，奉献自己的爱心。

他们捐钱的数额分别是50、20、50、30、25、50、55 （单位：元），这组数据的众数和中位数分别是
A．50元，30元B．50元，40元C．50元，50元D．55元，50元【 C】11．绿苑小区在规划设计时准备在两栋楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地且长比宽多10米，设绿地的宽为x 米，依据题意，可列方程为【B】
A ．x x 10900B．x x 10 900C．10 x 10900D．2 x x10900 12．如图，为了测得电视塔的高度A
B ，在 D 处用高为 1米的测角仪CD 测得
电视塔顶端 A 的仰角为30o，再向电视塔方向行进100米抵达 F处又测得
电视塔顶端 A 的仰角为60o，则这个电视塔的高度AB为【 C】
A．50 3米B．51米C．503 1 米D．101米
二、填空题（本大题共 8 个小题，每题 3 分，满分24 分。

）
13．在1、0、2这三个数中最小的数是2。

14．如图，若直线a∥直线b， 1 120o，则 2 的度数是60o。

2
15．计算： 8 2
2 。

16．方程
1 3 的解为 x
1 。

x x 2
17．圆心角为 120o
的扇形的半径为
3 ，则这个扇形的面积为 3
（结果保存 ）。

18．如图，小明为了丈量学校里一池塘的宽度
AB ，选用能够直抵 A 、B 两点的
点 O 处，再分别取 OA 、OB 的中点 M 、N ，若量得 MN 20m ，则池塘的 宽度 AB 为 40 m 。

19．若 a
b 3 ， a b
1，则 a 2 b 2 的值为3 。

20．如图，
A 1
B 1 A 2 、 A 2B 2 A 3 、 A 3 B 3A 4 、⋯、 A n B n A n 1 都是等腰直角三角形，
此中点 A 1 、A 2 、⋯ 、A n 都在 x 轴上，点 B 1 、B 2 、⋯ 、B n 都在直线 y x 上。

已知 OA 1
1，则 OA 2015 的长为
22014。

三、解答题 （本大题共 8 个小题，满分 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 21．（本小题满分 6 分）
a a 2b
a
2
，此中 a 1 、 b
2 。

先化简，再求值：
b 解：原式
a 2 2a
b a 2 2ab b 2
2a 2 b 2 ；
2
当 a
1 、 b
2 时，原式
2
2 1 2 2 1 2 4 。

22．（本小题满分 6 分）
为了进一步认识义务教育阶段学生的体质健康状况，教育部对我市某中学九年级的部分学生进行了体质抽测，体质抽测的结果分为四个等级：优异、优异、合格、不合格。

依据检查结果绘制了以下两幅不完好的统计图，请你依据统计图供给的信息回答以下问题。

⑴在扇形统计图中，“合格”的百分比为
40%
；
⑵本次体质抽测中，抽测结果为“不合格”等级的学生有 16 人；
⑶若该校九年级有 400 名学生，预计该校九年级体质为“不合格”等级的学生约有
128 人。

解：⑴∵“优异”的百分比为
16% ，“优异”的百分比为 12% ，“不合格”的百分比为 32% ，
∴“合格”的百分比为
1 16% 12% 32% 1 60% 40% ；
⑵∵本次体质抽测中抽测结果为“优异”等级的学生有 8 人，占抽测总人数的 16% ，
∴本次体质抽测总人数为 8 16% 50 人，
∵在扇形统计图中，“不合格”的百分比为 32% ， 50 32% 16人；
∴本次体质抽测中，抽测结果为“不合格”等级的学生有
⑶∵在扇形统计图中，“不合格”的百分比为 32% ， 32% ，
∴本次体质抽测中，抽测结果为“不合格”等级的样本均匀数为
∴用样本预计整体， 该校九年级 400 名学生体质为 “不合格” 等级的学生约有 400 32% 128 人。

23．（本小题满分 6 分）
ABC 的三个极点坐标分别为 如图，在平面直角坐标系中，
A 3，2 、
B 3，5 、
C 1，2 。

3
⑴在平面直角坐标系中画出ABC 对于x轴对称的A1BC11；
⑵把ABC 绕点 A 顺时针旋转必定的角度获得图中的AB2 C2，
此中点 C2在AB上。

①旋转角为多少度？
②写出点 B2的坐标。

解：⑴答案以下图，作图方法略。

⑵①由题意知CAC 2是旋转角。

∵ABC 的三个极点坐标分别为 A 3，2 、B 3，5、C 1，2
∴ABC 是直角三角形且CAB90o，∴旋转角CAC2CAB90o；
②∵ABC 的三个极点坐标分别为 A 3，2 、B 3，5、C 1，2，
∴ AB y A y B 2 5 3，∴ AB2AB 3 ，
∴ x B
2x A AB23 3 6， y B y A 2 ，∴点 B2的坐标为6，2。

2
24．（本小题满分 6 分）
某校学生会正筹办一个“庆毕业”文艺汇演活动，现准备从四名（此中两男两女）节目主持候选人中随机选用两人担当节目主持人，请用列表法或画树状图求选出的两名主持人恰巧为一男一女的概率。

解：列表以下，全部等可能的状况有12
种，此中一男一女的状况有
8
种，故
一男一女 2 。

P8123
男 1男 2女 1女 2男 1——（男 2，男 1）（女 1，男 1）（女 2，男 1）
男 2（男 1，男 2）——（女 1，男 2）（女 2，男 2）
女 1（男 1，女 1）（男 2，女 1）——（女 2，女 1）
女 2（男 1，女 2）（男 2，女 2）（女 1，女 2）——或许画树状图如右所示，其他略。

25．（本小题满分8 分）
某药品研究所开发一种抗菌新药。

经多年动物实验，初次用于临床人体试验。

测得成人服药后血液中药物浓度y （微克/毫升）与服药时间x（小时）之间
的函数关系以下图（当4≤ x≤10 时， y 与x成反比率）。

⑴分别求出血液中药物浓度上涨和降落阶段y 与x之间的函数关系式；
⑵血液中药物浓度不低于 4 微克/毫升的连续时间为多少小时？
解：⑴∵当0≤x≤4 时，血液中药物浓度是上涨阶段，图象是经过原点的线段，
∴ y 与x成正比率，设它们之间的函数关系式为y1 k1 x ，
∵此时的图象经过点4，8，∴ 8 4k1，∴ k1 2 ，∴ y12x 。

∵当 4≤x≤10时，血液中药物浓度是降落阶段，y 与x成反比率，∴设y2k2，
k232x
∵当 4≤x≤10时的图象经过点4，8，∴ 8，∴ k232 ，∴y2。

4x
⑵∵当
0≤x≤4时，令y12x 4
，则
x1 2
；当
4 x 10
时，令
y2324
，则
x28。

≤ ≤x
4
∴血液中药物浓度不低于微克 /毫升的连续时间为x2x18 2 6小时。

26．（本小题满分8 分）
如图， AB 是⊙O 的直径，点C、D是半圆 O 的三均分点，过点C作CE AD ，交 AD 的延伸线于点 E 。

4
⑴求证： CE 是 ⊙O 的切线；
⑵判断四边形 AOCD 能否为菱形并说明原因。

?
?
? 60
o ? 120
o 解：⑴∵点 C 、D 是半圆 O 的三均分点，∴ AD
DC
CB
，
DCB
∴ A
1 ?
o BOC
?
60 o ，∴ A
BOC ，∴ OC ∥AD
DCB
60 ， CB
2
∵ CE AD ，∴ OC CE ，∴ CE 是 ⊙O 的切线； ⑵四边形 AOCD 是菱形，原因以下：
连接 OD ，∵在 OAD 中， OA OD ， A 60o ，∴ OAD 是等边三角形，∴ OA AD
? ?
DC ，∵ OA OC ，∴ OA AD
DC
CO ，∴四边形 AOCD 是菱形。

∵ AD
DC ，∴ AD
27．（本小题满分 10 分）
x 1订交于 A 、B 两点， 如图，极点 M 在 y 轴上的抛物线与直线
y
点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 2 ，连接 AM 、BM 。

⑴求抛物线的函数分析式；
⑵判断 ABM 的形状并说明原因； ⑶把抛物线与直线
y x 的交点称为抛物线的不动点。

若将⑴中的
抛物线平移，使其极点为
m ，2m ，请问：当 m 知足什么条件时
平移后的抛物线总有不动点。

解：⑴∵点 B 在直线 y x 1上且
x B 2 ，∴
y B x B 1213 ，∴点 B 的坐标为
，
A
2 3 ， ∵ x 轴上的点
在直线 y
x 1上，∴令
y
A ，即 x A 1 0，故 x A 1 ，∴点 A 的坐标为
1 0
∵抛物线的极点 M 在 y 轴上，∴不如设抛物线的分析式为
y
ax 2 k
∵抛物线经过点
A 1，0 和点
B 2，3 ，∴ a
k 0 ，解得 a 1 ，∴抛物线的分析式为 y x 2 1；
4a k 3 k 1
⑵ ABM 是直角三角形，原因以下：
∵抛物线的极点 M 在 y 轴上，∴令 x M
0 ，则 y M
1 ，∴点 M 的坐标为 0，1 ，∴ OM 1
∵点 A 的坐标为
1，0 ，∴ OA 1，∴ OA
OM ，∴在等腰 Rt OAM 中，
OAM
45o
∵点 A 和点 B 都在直线 y x 1上，∴
OAB
45o ，∴
MAB
OAM
OAB 45o 45o 90o
∴ ABM 是直角三角形；
⑶∵将⑴中的抛物线平移，使其极点为
m ，2m ，∴不如设平移后抛物线的分析式为 y
x 2
2m
m
2
2m
能够获得 x 2
∵由方程组
y
x m 2m 1 x m 2
2m
y x
∴欲使平移后的抛物线总有不动点， 必使对于 x 的一元二次方程 x 2
2m 1 x m 2 2m 0总有实根
∴令 ≥0 ，即 2m 1
2
2m ≥0 ，解得 m ≤
1
4 m 2
∴当 m ≤
1
4
时，平移后的抛物线总有不动点。

4
28．（本小题满分 10 分）
如图，四边形 OABC 是边长为 4 的正方形，点 P 是边 OA 上随意一点（与点 O 、A 不重合），连接 CP ，过点 P 作 PM PC 交 AB 于点 D
5
且 PM PC ，过点 M 作 MN∥OA交 OB 于点 N ，连接BM、DN，
设 OP t 。

⑴求点 M 的坐标（用含t的代数式表示）；
⑵判断线段 MN 的长度能否随点 P 的地点的变化而变化并说明原因；
⑶当 t 为什么值时，四边形BNDM的面积最小。

解：⑴过点 M 作 MH x 轴于点 H ，则MHP90o
90o， AOB45o，∵四边形OABC是边长为4的正方形，∴OC OA AB， POC DAP
4
∵ PM PC ，∴CPM90o，∴1290o，∵在Rt POC 中，1390o，∴23，∵在POC 和MHP 中，POC MHP90o，23， PC PM，∴POC ≌MHP ，∴ PH OC 4， MH OP t ，∴ OH OP PH t4，∴点 M 的坐标为t 4，t；
⑵线段 MN 的长度不会随点P 的地点的变化而变化，原因以下：
∵ AOB45o，∴直线OB的分析式为y x ，∵ MN∥ OA，∴y N y M t ，
∵点 N 在直线 OB 上，∴当y N t 时， x N t ，∴MN x M x N t 4t 4 ，
∴线段 MN 的长度不会随点 P 的地点的变化而变化；
⑶∵ MHP DAP 90o，∴DA∥MH，∴POC≌MHP，∴AD
MH ，即 AD
t
，故 AD t 4 t AP PH 4 t44
∵ MN∥OA， AB OA ，∴ MN BD ，设BD、MN订交于点 G ，
g g MN BG DG g MN g AB AD ∴S
四边形BNDM S
BMN
S
DMN
MN BG MN DG MN BD
22222 44
t 4 t
4t 4t
1
1
t 22
t 22t8
2
86
222
∴当 t 2 时，四边形 BNDM 的面积最小，为 6 个平方单位。

6。